第21讲 三角函数的图象和性质.doc
第21讲 三角函数的图象和性质 【考点解读】1 会用“五点法”作正弦、余弦函数的图象，会用“七点法”作正切函数的图象；2 掌握三角函数的性质：奇偶性，单调性和周期性；3 了解三角函数的对称中心和对称轴；4 会求三角函数的定义域和值域。【知识扫描】1用“五点法”作正弦、余弦函数的图象；“五点法”作图实质上是选取函数的一个 ，将其四等分，分别找到图象的 点， 点及“平衡点”由这五个点大致确定函数的位置与形状2 三角函数的图像与性质 图象：性质：定义域值 域奇偶性有界性周期性单调性最大(小)值3函数ysinx的对称性与周期性的关系 若相邻两条对称轴为xa和xb，则T 若相邻两对称点(a，0)和(b，0) ，则T 若有一个对称点(a，0)和它相邻的一条对称轴xb，则T 【考计点拨】牛刀小试：1函数f(x)tan(x)的单调增区间为()A(k，k)，kZ B(k，(k1)，kZC(k，k)，kZ D(k，k)，kZ解析：选C.由k<x<k(kZ)，得单调增区间为，kZ.2已知函数f(x)sin(x)(xR)，下面结论错误的是()A函数f(x)的最小正周期为2B函数f(x)在区间0，上是增函数C函数f(x)的图象关于直线x0对称D函数f(x)是奇函数解析：选D.ysin(x)cosx，T2，A正确；ycosx在0，上是减函数，ycosx在0，上是增函数，B正确；由图象知ycosx关于直线x0对称，C正确ycosx是偶函数，D错误3若函数y2cos(2x)是偶函数，且在(0，)上是增函数，则实数可能是()A B0C. D解析：选D.依次代入检验知，当时，函数y2cos(2x)2cos2x，此时函数是偶函数且在(0，)上是增函数4函数ysin(x)的单调递增区间为_解析：由ysin(x)得ysin(x)，由2kx2k，kZ，得3kx3k，kZ，故函数的单调增区间为3k，3k(kZ)答案：3k，3k(kZ)5已知向量，求函数的表达式解析： ，考点一：辅助角公式及其应用例1. 已知函数（1）求函数的最小值和最小正周期；（2）设的内角的对边分别为且，若，求的值【解析】解： ，则的最小值是， 最小正周期是； ，则， ， ，由正弦定理，得， 由余弦定理，得，即，由解得变式练习：已知向量，其中，函数的最小正周期为，最大值为3。 （1）求和常数的值； （2）求函数的单调递增区间。解析：（1）， ， 由，得。 又当时，得.（2）由（1）当， 即，故的单调增区间为，。变式训练：已知函数 ；（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求使函数f(x)取得最大值的x的集合 解：(1)(2)当f(x)取最大值时，sin(2x)1有2x2k 即xk(kz)故所求x的集合为规律小结：本题是考查三角函数性质的基础题，要求熟练掌握倍角公式，两角和与差的三角公式，以及周期的概念，掌握正弦曲线的单调区间。辅助角公式最重要，是常考内容。考点二：三角函数的性质例2已知函数f (x) 求f (x)的定义域 用定义判断f (x)的奇偶性 在，上作出函数f (x)的图象 指出f (x)的最小正周期及单调递增区间解：(1) 由1cos2x0得2cos2x0cosx0即xk，(kz)函数f (x)的定义域为xxk，kz(2)定义域关于原点对称，且对任意的定义域中x，f (x)f (x)为奇函数.xy0-(3) f (x)又x，且xf(x)f (x)的图象如右：(4) 由图知，f(x)的最小正周期为2f (x)的单调递增区间是()(kz)变式训练2：求下列函数的定义域：（1）y=lgsin(cosx);（2）y=.解 （1）要使函数有意义，必须使sin(cosx)0.-1cosx1,0cosx1.方法一 利用余弦函数的简图得知定义域为x|-+2kx+2k,kZ.方法二 利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0OM1,OM只能在x轴的正半轴上，其定义域为.（2）要使函数有意义，必须使sinx-cosx0.方法一 利用图象.在同一坐标系中画出0,2上y=sinx和y=cosx的图象，如图所示.在0，2内，满足sinx=cosx的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2,所以定义域为.方法二 利用三角函数线，如图MN为正弦线，OM为余弦线，要使sinxcosx,即MNOM，则x（在0，2内）.定义域为.方法三 sinx-cosx=sin0，将x-视为一个整体，由正弦函数y=sinx的图象和性质可知2kx-+2k,解得2k+x+2k,kZ.所以定义域为.规律小结：重视三角函数的性质，比如单调性，奇偶性，周期性，对称性等考点三：三角函数的平移或伸缩变换例3已知函数（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，把所得到的图像再向左平移单位，得到的函数的图像，求函数在区间上的最小值解：（1）因为=, 函数f（x）的最小正周期为=由，得f（x）的单调递增区间为 ， （2）根据条件得=，当时，所以当x = 时， 变式训练3：将函数的图形按向量平移后得到函数g（x）的图形，满足g（x）=g（+x）和g（x）+g（x）=0，则向量的一个可能值是（ ）A B C D，解得,答案为B.变式练习：下面四个命题： 已知函数，在区间上任取一点，则使得的概率为函数的图象向左平移个单位得到函数的图象； 命题“”的否定是“”；若函数是定义在上的奇函数，且，则.其中所有正确命题的序号是_.【答案】【解析】错误，应该向左平移；使得的概率为规律小结：1求三角函数的定义域既要注意一般函数求定义域的规律，又要注意三角函数本身的特有属性，如常常丢掉使tanx有意义的xn(nZ)2求函数值域的问题一方面要熟悉求值域的一般方法和依据，另一方面要注意三角函数的有界性3求周期一般先将函数式化为yAf(x)(f为三角函数)，再用周期公式求解4函数yAsin(x)(A>0，>0)的单调区间的确定的基本思想是把(x)看作一个整体，再利用正弦函数的单调区间解出x即为所求若<0，可用诱导公式变为yAsin(x)再仿照以上方法解之。
