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第一章 概率统计基础知识第一章 概率统计基础知识 在产品的整个生命周期的各个阶段，在所有过程的运行和结果中均可观察到变异，变异是客观存在的，提高质量的途径便是持续减少变异，一致的满足顾客的需求。而统计技术可以帮助我们对观察到的变异进行测量、描述、分析和解释，更好理解变异的性质、程度和原因，从而有助于解决、甚至防止由变异引起的问题，并促进持续改进。作为质量工作者，质量工作的核心技术便是统计技术，而要想更好地了解统计技术并应用到到活动中，就需要掌握必要的概率统计知识。有的学员，可能毕业很多年了，关于概率这一部分的知识完全忘记了，完全不知道该怎么计算，所以建议首先记住一些最基本的概念类计算公式，注重理解为主。【考试趋势】单选5-6题，多选5-6题，综合分析题题目比较少。总分值18-20分。总分170分。占比12%左右。#【大纲考点】 【大纲考点】一、概率基础知识1掌握随机现象与事件的概念 2熟悉事件的运算(对立事件、并、交及差) （重点）（难点）3掌握概率是事件发生可能性大小的度量的概念 4熟悉概率的古典定义及其简单计算 （重点） （难点） 5掌握概率的统计定义 6掌握概率的基本性质 7掌握事件的互不相容性和概率的加法法则 （重点） （难点）8掌握事件的独立性、条件概率和概率的乘法法则 （重点） （难点）二、随机变量及其分布 (一)随机变量及随机变量分布的概念 1熟悉随机变量的概念 2掌握随机变量的取值及随机变量分布的概念 （重点）（难点）(二)离散随机变量的分布 1熟悉离散随机变量的概率函数(分布列) 2熟悉离散随机变量均值、方差和标准差的定义 （重点）3掌握二项分布、泊松分布及其均值、方差和标准差以及相关概率的计算 （重点） （难点） 4了解超几何分布 （难点） #(三)连续随机变量的分布(三)连续随机变量的分布 1熟悉连续随机变量的分布密度函数和概率密度函数 2熟悉连续随机变量均值、方差、标准差的定义 3掌握连续随机变量在某个区间内取值概率的计算方法 4掌握正态分布的定义及其均值、方差、标准差，标准正态分布的分位数 （重点）5熟悉标准正态分布表的用法 6了解均匀分布及其均值、方差与标准差 （难点）7熟悉指数分布及其均值、方差和标准差 （难点）8了解对数正态分布及其均值、方差和标准差 （难点）9熟悉中心极限定理，样本均值的(近似)分布 （难点）三、统计基础知识 1掌握总体与样本的概念和表示方法 2熟悉频数(频率)直方图 3掌握统计量的概念 4掌握样本均值和样本中位数概念及其计算方法 5掌握样本极差、样本方差、样本标准差和样本变异系数概念及计算方法（重点）6熟悉抽样分布概念（难点） 7熟悉t 分布、2 分布和f 分布的由来。（难点）#四、参数估计 四、参数估计 (一)点估计 1熟悉点估计的概念 2掌握矩法估计方法 3熟悉点估计优良性的标准 4熟悉二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布参数的点估计 （重点）(二)区间估计 1熟悉区间估计(包括置信水平、置信区间)的概念 （重点）2熟悉正态总体均值、方差和标准差的置信区间的求法 （重点）（难点）3了解比率p 的置信区间(大样本场合)的求法 （难点）五、假设检验 (一)基本概念 1掌握原假设、备择假设、检验统计量、拒绝域、两类错误、检验水平及显著性的基本概念 （重点） （难点） 2掌握假设检验的基本步骤 (二)正态总体参数的假设检验 1掌握对正态总体均值的检验(总体方差已知或未知的情况) （重点）2掌握对正态总体方差的检验 （重点）3熟悉比率p 的检验(大样本场合) （难点）第一节 概率基础知识 【考点解读】 第一节 概率基础知识 一、事件与概率(p1-5) （一）随机现象 在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。随机现象有两个特点： （1）随机现象的结果至少有两个；（2）至于哪一个出现，事先并不知道。 只有一个结果的现象称为确定性现象。例如，太阳从东方出，同性电荷相斥，异性电荷相吸，向上抛一石子必然下落等。 例1.1-1 以下是随机现象的一些例子：要过一遍。 （1）一天内进入某超市的顾客数； （2）一顾客在超市中购买的商品数； （3）一顾客在超市排队等候付款的时间； （4）一棵麦穗上长着的麦粒数； （5）新产品在未来市场的占有率； （6）一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间； （7）加工某机械轴的误差； （8）一罐午餐肉的重量。#可见 可见，随机现象在质量管理中随处可见。认识一个随机现象首先要知道它的一切可能发生的基本结果。这里的基本结果称为样本点，随机现象一切可能样本点的全体称为这个随机现象的样本空间，常记为。重要概念。 “抛一枚硬币”的样本空间=正面、反面； “抛一颗骰子”的样本空间=1，2，3，4，5，6； “一顾客在超市中购买商品件数”的样本空间=0，1，2，； “一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间”的样本空间=t:t0； “测量某物理量的误差”的样本空间=x:-x#（二）随机事件（二）随机事件随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件，常用大写字母a、b、c等表示。如在掷一颗骰子，“出现奇数点”是一个事件。它由1点、3点、5点共三个样本点组成，若记这个事件为a，则有a=1，3，5。同样“出现偶数点”是一个事件。它由2点、4点、6点共三个样本点组成，若记这个事件为b，则有b=2，4，6。1随机事件的特征从随机事件的定义可见，事件有如下几个特征：（1）是相应样本空间中的一个子集。在概率论中常用一个长方形示意样本空间，用其中一个圆示意事件a，一般我们用维恩（venn）图表示。以前也叫文氏图。（2）事件a发生，当且仅当a中某一样本点发生。若记1、2是中的两个样本点则：当1发生，且1a，则事件a发生；当2发生，且2不a，则事件a不发生。（3）事件a的表示可用集合，也可用语言，但所用语言必须是准确无误的。样本空间都有一个最大子集，这个最大子集就是，它对应的事件称为必然事件，仍然用表示。比如掷一颗骰子，“出现点数不超过6”就是一个必然事件，因为它含有1,2,3,4,5,6 中所有样本点。样本空间都有一个最小子集，这个最小子集就是空集，它对应的事件称为不可能事件，记为ø。#例题例1.12 若产品只区分合格与不合格，并记合格品为“0”，不合格品为“1”，（瑕疵的个数）则检查两件产品的样本空间由下列四个样本点组成。=（0，0），（0，1），（1，0），（1，1） 其中样本点（0，1）表示第一件产品为合格品，第二件产品为不合格品，其他样本点可以类似解释。下面几个事件可用集合表示，也可以用语言表示。a=“至少有一件合格品”=（0，0），（0，1），（1，0）；b=“至少有一件不合格品”=（1，0），（0，1），（1，1）；c=“恰好有一件合格品”=（0，1），（1，0）；=“至多有两件合格品”=（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）；ø=“有三件（以上）不合格品”。现在我们来考察“检查三件产品”这个随机现象，且合格品仍记为“0”，不合格品记为“1”。它的样本空间含有 =8个样本点。=（0，0，0），（0，0，1），（0，1，0），（0，1，1），（1，0，0），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1） 下面几个事件可用集合表示，也可以用语言表示。a=“至少有一件合格品”=中剔去（1，1，1）的其余7个样本点；b=“至少有一件不合格品”=中剔去（0，0，0）的其余7个样本点；c=“恰有一件不合格品”=（0，0，1），（0，1，0），（1，0，0）；d=“恰有两件不合格品”=（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0）；e=“全是不合格品”=（1，1，1）；f=“没有不合格品”=（0，0，0，）。 #2随机事件之间的关系2随机事件之间的关系在一个随机现象中常会遇到许多事件，它们之间有下列三种关系。（1）包含：在一个随机现象中有两个事件a与b，若事件a中任一个样本点必在事件b中，则称事件a被包含在事件b中，或事件b包含事件a，记为,或，如图1.1-2. （2）互不相容：互斥。在一个随机现象中有两个事件a与b，若事件a与b没有相同的样本点，则称事件a与b互不相容。这时事件a与b不可能同时发生，如图1.1-3 。如在电视机寿命试验里，“电视机寿命小于1万小时”与“电视机寿命超过4万小时”是两个互不相容事件，因为它们没有相同的样本点，或者说它们不可能同时发生。这种互不相容可以推广到三个或更多事件的互不相容。 例如在掷骰子的随机事件中，其样本点记为（x,y），其中x与y 分别为第一与第二颗骰子出现的点数，如下两个事件：a（x,y）:x+y= 奇数 b=（x,y）:x与y的奇偶性不同 可以验证a与b含有相同的样本点，故ab。#（三）随机事件的运算 （三）随机事件的运算设一个随机现象的样本空间为，其中有两个事件a与b（1）事件的对立，补。 （2）事件的并，加和。事件a与b之和:（并）ab（或a+b），事件a与b至少有一个发生。不是只有一个发生推广：a1a2akan=ak，n个事件a1，a2，an至少一个发生。a1a2ak= a1，a2，ak至少一个发生。性质： 1）a属于ab；b属于ab 肯定的！2）a（ab）=a； b（ab）=b 3）aa=a（3）事件的交，积。事件a与b的积ab（或ab）: 事件a与b同时发生。推广：a1a2an=ak n个事件a1，a2，an同时发生。 a1a2ak=ak 无穷个事件a1，a2，ak同时发生。性质：（1）ab属于a； ab属于b （2）（ab）a=a； （ab）b=b （3）aa=a （4）事件的差，减。事件a与b的差(a-b): 事件a发生而b不发生。性质：（1）a-b属于a 比a小！ （2）（a-b）a=a； （a-b）b=ab （3）（a-b）a=a-b； （a-b）b= #事件的运算律 事件的运算律 （与集合的运算律相似）（1）交换律： ab=ba ； ab=ba（2）结合律：（ab）c=a（bc）；（ab）c=a（bc）（3）分配律：（ab）c=（ac）(bc)；a(bc)=(ab)(ac)以上3个，对并和交都适用。（4）对偶律：，运算的时候很受用。也很常用！ 注意：（1）事件的运算律非常重要，务必娴熟，这是因为在今后的概率计算中，经常将一些事件用另一些事件的运算来表示。（2）常用文氏图帮助分析和理解事件的运算，尤其是两个事件的运算更是如此。 #（四）概率 （四）概率所谓概率，就是事件发生可能性大小的度量。虽然随机事件的发生与否是带有偶然性的，但是随机事件发生的可能性还是有大小之别的，是可以度量的。实际上，在生活、生产和经济活动中，人们也常关心一个随机事件发生的可能性大小。例如：（1）抛一枚均匀的硬币，出现正面与出现反面的可能性各为1/2 。（2）某厂试制成功一种新止痛片，在未来市场的占有率可能有多高呢？（3）购买彩券的中奖机会有多少呢？上述问题中的正面出现的机会、市场占有率、中签率以及常见的不合格品率、命中率等都是用来度量随机事件发生的可能性大小。一个随机事件a发生的可能性的大小称为这个事件的概率，并用p（a）表示。显然，概率是一个介于0到1之间的数，因为可能性都是介于0%到100% 之间的。概率愈大，事件发生的可能性就愈大；概率愈小，事件发生的可能性就愈小。特别地，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1， 二、概率的古典定义与统计定义 二、概率的古典定义与统计定义(p5-11) 确定一个事件的概率有几种方法，这里介绍其中两种最主要的方法，在历史上，这两种方法分别被称为概率的两种定义，即概率的古典定义及统计定义。(一) 概率的古典定义用概率的古典定义确定概率的方法的要点如下: （1）所涉及的随机现象只有有限个样本点，设共有n个样本点；（2）每个样本点出现的可能性相同(等可能性); 若事件a含有k个样本点，则事件a的概率为: (1.1-1) #例1.1-3 例1.1-3 掷两颗骰子，其样本点可用数组（x , y）表示，其中，x与y分别表示第一与第二颗骰子出现的点数。这一随机现象的样本空间为: 它共含36个样本点，并且每个样本点出现的可能性都相同。参见教材6页图。这个图很多同学看不懂！其实就是x+y=?在坐标系反映出来的问题。(1) 定义事件a=“点数之和为2”=（1，1），它只含一个样本点，故p(a)=1/36 。(2) 定义事件b=" 点数之和为5"= （1,2），（2,3），（3,2），（4，1），它含有4个样本点，故p(b)=4/36=1/9 。 (3) 定义事件c=" 点数之和超过9"= （4,6），（5,5），（5,6）（6,4）（6，5）（6,6） , 它含有6个样本点，故 p(c) =6/36=1/6 。(4) 定义事件d=" 点数之和大于3，而小于7" = ，它含有12个样本点，故它的概率p (d)=12/36=1/3 。 #（二）排列与组合 （二）排列与组合用古典方法求概率，经常需要用到排列与组合的公式。现简要介绍如下: 排列与组合是两类计数公式，它们的获得都基于如下两条计数原理。（1）乘法原理: 如果做某件事需经k步才能完成，其中做第一步有m1种方法，做第二步m2种方法，做第k步有mk种方法，那么完成这件事共有m1×m2××mk种方法。例如, 甲城到乙城有3条旅游线路，由乙城到丙城有2条旅游线路，那么从甲城经乙城去丙城共有3×2=6 条旅游线路。(2) 加法原理: 如果做某件事可由k类不同方法之一去完成，其中在第一类方法中又有m1种完成方法, 在第二类方法中又有m2种完成方法，在第k类方法中又有mk种完成方法, 那么完成这件事共有m1+m2+mk种方法。 例如，由甲城到乙城去旅游有三类交通工具: 汽车、火车和飞机，而汽车有5个班次，火车有3个班次，飞机有2个班次，那么从甲城到乙城共有5+3+2=10 个班次供旅游选择。#排列与组合排列与组合的定义及其计算公式如下: 排列:从n个不同元素中任取）个元素排成一列称为一个排列。按乘法原理，此种排列共有n×(n1) ××(n-r+1) 个，记为。若r=n, 称为全排列，全排列数共有n!个，记为pn，即:= n×(n-1) ××(n-r+1), pn= n! 重复排列:从n个不同元素中每次取出一个作记录后放回，再取下一个，如此连续取r次所得的排列称为重复排列。按乘法原理，此种重复排列共有个。注意，这里的r允许大于n。例如，从10个产品中每次取一个做检验，放回后再取下一个，如此连续抽取4次，所得重复排列数为。假如上述抽取不允许放回，则所得排列数为10×9×8×7=5040 。组合: 从n个不同元素中任取x个元素并成一组 (不考虑他们之间的排列顺序)称为一个组合，此种组合数为： .特别的规定0!=1，因而。另外，在组合中，r个元素"一个接一个取出"与"同时取出"是等同的。例如，从10个产品中任取4个做检验，所有可能取法是从10个中任取4个的组合数，则不同取法的种数为： 这是因为取出的任意一组中的4个产品的全排列有4!=24 种。而这24种排列在组合中只算一种。所以。注意:排列与组合都是计算 "从n个不同元素中任取r个元素"的取法总数公式，他们的主要差别在于: 如果讲究取出元素间的次序，则用排列公式；如果不讲究取出元素间的次序，则用组合公式。至于是否讲究次序，应从具体问题背景加以辨别。#例1.1-4 例1.1-4 一批产品共有n个，其中不合格品有m个，现从中随机取出n个，问：事件am= " 恰好有m个不合格品"的概率是多少? 从n个产品中随机抽取n个共有个不同的样本点，它们组成这个问题的样本空间。其中“随机抽取”必导致这个样本点是等可能的。以后对“随机抽取”一词都可以作同样理解。下面我们先计算事件a0、a1的概率，然后计算一般事件am 的概率。 事件a0="恰好有0个不合格品"=" 全是合格品"，要使取出的n个产品全是合格品，那么必须从该批中n-m个合格品中抽取，这有 种取法。故事件a0的概率为: / 事件a1="恰好有1个不合格品"，要使取出的n个产品只有一个不合格品，其他n-1个是合格品，可分二步来实现。第一步从m个不合格品中随机取出1个，共有种取法；第二步从n-m个合格品中随机取出n-1 个，共有种取法。依据乘法原则，事件a1共含有 个样本点。故事件a1的概率为： / 最后，事件am 发生，必须从m个不合格品中随机抽取m个，而从n-m个合格品中随机抽取n-m 个，依据乘法原则，事件am 共含有个样本点，故事件am 的概率是: 其中r=min(n,m) 为n, m 中的较小的一个数，它是m的最大取值，这是因为m既不可能超过取出的产品数n, 也不可能超过不合格品总数m。因此，假如n=10.m=2 和n=4 ，下面来计算诸事件am 的概率: 而a3,a4等都是不可能事件，因为10个产品中只有2个不合格品，而要从中抽出3个或4个不合格品是不可能 (a3)=p(a4)=0 。#例1.1-5 例1.1-5（放回抽样）抽样有两种形式：不放回抽样与放回抽样。上例讨论的是不放回抽样，每次抽取一个，不放回，再抽取下一个，这相当于n个同时取出，因此可不论其次序。放回抽样是每次抽一个，将其放回，均匀混合后再抽下一个。这时要讲究先后次序，现对上例采取放回抽样方式讨论事件bm“恰好有m个不合格品”的概率。 从n个产品中每次随机抽取一个，检查后放回抽第二个，这样直到抽出第n个产品为止。由于每次都有n种可能，故在放回抽样的问题中共有nm个可能的样本点。事件b0=“全是合格品”发生必须从n-m个合格品中用放回抽样的方式随机抽取n次，它共含有（n-m）n种取法，故事件b0的概率为：p（b0）=（n-m）n/nn=（1-m/n）n事件b1=“恰好有一件不合格品”发生，必须从n-m 个合格品中用放回抽样抽取n-1次，而从m个不合格品中抽一次，这样就有m（n-m）n-1种取法，再考虑不合格品出现的顺序，故事件b1的概率为p（b1）=nm(n-m)n-1/nn 同样的可求bm的概率。#（二）概率的统计定义 （二）概率的统计定义 要点如下：(1) 与事件a有关的随机现象是可以大量重复试验的；(2) 若在n次重复试验中，事件a发生次，则事件a发生的频率为: (1.1-2) 频率能反映事件a发生的可能性大小；(3) 频率将会随着重复试验次数不断增加而趋于稳定，这个频率的稳定值就是事件a的概率。在实际中人们无法把一个试验无限次地重复下去，只能用重复试验次数n较大时的频率去近似表示概率。 #例1.1-6例1.1-6 说明频率稳定的例子(1) 为了验证掷一枚均匀硬币出现正面的概率为0.5 ，许多人做了大量的重复试验，图1.1-10 记录了前400 次掷硬币试验中频率的变化情况。在重复次数n较小时波动剧烈，随着n的增大，波动的幅度在逐渐变小。历史上有不少人做过更多次重复试验。其结果(见表1.1-1) 表明，正面出现的频率逐渐稳定在0.5 。这个0.5 就是频率的稳定值，也是正面出现的概率，这与用古典方法计算的概率是相同的。图1.1-10（教材10页），表1.1-1（教材10页）。#(2) 在英语中 (2) 在英语中某些字母出现的频率远高于另外一些字母。人们对各类的英语书刊中字母出现的频率进行了统计。发现各个字母的使用频率相当稳定，其使用频率见表1.1-2 。这项研究在计算机键盘设计 (在方便的地方安排使用频率较高的字母键)、印刷铅字的铸造 (使用频率高的字母应多铸一些)、信息的编码 (使用频率高的字母用较短的码)、密码的破译等等方面都是有用的。表1.1-2（教材10页）#三、概率的性质及其运算法则 三、概率的性质及其运算法则(p11-14) (一) 概率的基本性质及加法法则 根据概率的上述定义，可以看出它具有以下基本性质: 性质l：概率是非负的，其数值介于0与1之间，即对任意事件a,有: 特别，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，即：，性质2：若是a的对立事件，则：性质3：若则：性质4：事件a与b的并的概率为: 这个性质称为概率的加法法则。 特别若a与b互不相容，则： 性质5：推广，对于多个互不相容事件，有: #例1.1-7 例1.1-7 抛三枚硬币，至少一个正面出现 (记为事件)的概率是多少? 解：在抛三枚硬币的随机试验中，样本空间共有8个样本点：（正、正、正）、（反、反、反）、（正、反、反）、（反、正、反）、（反、反、正）、（正、正、反）、（正、反、正）、（反、正、正）。中所含的样本点较多，但其对立事件="抛三枚硬币，全是反面"=( 反，反，反)，只含一个样本点，从等可能性可知再由性质2，可得: #例1.1-8例1.1-8一批产品共100 件，其中5件不合格品，现从中随机抽出10件，其中最多有两件不合格品的概率是多少？解：设ai表示事件“抽出10件中恰好有i件不合格品”，于是所求事件上a“最多有2件不合格品可表示为：a a0a1a2，并且a0、 a1、 a2为三个互不相容事件，由性质5可知：p（a）p（a0）p（a1）p（a2）。余下就是用古典方法算得ai的概率。据a0的定义，从100 件产品随机抽出10件的所有样本点共有个。要使抽出的10件产品中有0件不合格品，即全是合格品，则10件必须从95件合格品中抽取，所以：p（a2）0.0702 于是所求的概率为：p（a）0.5837+0.3394+00.07020.9933 可见事件a发生的概率很接近于1，说明发生的可能性大；而它的对立事件a“抽10件产品中至少有3件不合格品”的概率p（）1-p（a）0.0067 ，发生的可能性很小。#例1.1-9例1.1-9某足球队在未来一周中有两场比赛，在第一场比赛中获胜的概率为1/2 ，在第二场比赛中获胜的概率是1/3，如果在两场比赛中都获胜概率是1/6，那么在两场比赛中至少有一场获胜的概率是多少？解：设事件ai“第i场比赛获胜”，i1，2。于是有：p（a1）=1/2，p(a2)=1/3，p(a1a2)=1/6 。由于事件“两场比赛中至少有一场获胜”可用事件a1a2表示，所求概率为p（a1a2）。另外由于事件a1与a2是可能同时发生的，故a1与a2不是互不相容事件，应用性质4来求，即：p（a1a2）p（a1）p（a2）p（a1a2）1/2+1/3-1/62/3 这表明在未来两场比赛中至少有一场获胜的概率为2/3 。#（二）条件概率及概率的乘法法则（二）条件概率及概率的乘法法则在事件b发生的条件下，事件a发生的概率称为a的条件概率，记为。可导出乘法公式#(三) 独立性和独立事件的概率 (三) 独立性和独立事件的概率设有两个事件a与b，假如其中一个事件的发生不影响另一个事件的发生与否，则称事件a与b相互独立。性质7:假如两个事件a与b相互独立，则a与b同时发生的概率为: p(ab)=p(a)p(b) (1.1-5）性质8:假如两个事件a与b相互独立，则a的条件概率等于a的无条件概率。 两个事件的相互独立性可以推广到三个或更多个事件的相互独立性。此时性质7可以推广到更多个事件上。 #例1 .1-13 例1 .1-13 用晶体管装配某仪表要用到128 个元器件，改用集成电路元件后，只要用12只就够了，如果每个仪表才能正常工作，试分别求出上述两种场合下能正常工作2000 小时的概率。解：设事件a=“仪表正常工作2000 小时”事件ai=“第i个元件能正常工作2000 小时则使用晶体管时p（a）=p（a1）p（a2）p（a128）=（0.996）128=0.599使用集成电路时p（a）=p（a1）p（a2）p（a12）=（0.996）12=0.953由上述结果可以看出,改进设计减少元件能提高仪表正常工作的概率。第二节 随机变量及其分布第二节 随机变量及其分布一、随机变量表示随机现象结果的变量称为随机变量。常用大写字母 等表示，它们的取值用相应的小写字母x, y, z 等表示。假如一个随机变量仅取数轴上有限个点或可列的个数点 (见图1.2-1) ，则称此随机变量为离散随机变量，或离散型随机变量。假如一个随机变量的所有可能取值充满数轴上一个区间 (a,b)( 见图1.2-2) ，则称此随机变量为连续随机变量，或连续型随机变量，其中a可以是, b 可以是+ 。 #例1.2-1例1.2-1 产品的质量特性是表征产品性能的指标，产品的性能一般都具有随机性，所以每个质量特性就是一个随机变量。例如: (1) 设x是一只铸件上的瑕疵数，则x是一个离散随机变量，它可以取0,1,2，等值。为了方便，人们常用随机变量x的取值来表示事件，如“x=0”表示事件“铸件上无瑕疵”；“x=2”表示事件“铸件上有两个瑕疵”；"x>2" 表示事件“铸件上的瑕疵超过两个"等等。这些事件可能发生，也可能不发生，因为x取0，1，2 等值是随机的。类似地，一平方米玻璃上的气泡数、一匹布上的疵点数、一台车床在一天内发生的故障数都是取非负整数 0，1，2，3，的离散随机变量。(2) 一台电视机的寿命x(单位:小时)是在0， )上取值的连续随机变量。"x=0" 表示事件"一台电视机在开箱时就发生故障"；"x 10000" 表示事件： "电视机寿命不超过10000 小时"；"x>40000" 表示事件"电视机寿命超过40000 小时"。(3) 检验一个产品，结果可能是合格品，也可能是不合格品。设x表示检验一个产品的不合格品数，则x是只能取0或1两个值的随机变量。"x=0" 表示产品是合格品，"x=1" 表示产品是不合格品。类似地，若检验10个产品，其中不合格品数x是仅可能取0，1，10等11个值的离散随机变量。更一般的，在n个产品中的不合格品数x是可能取0，1，2，n等n+1 个值的离散随机变量。#二、随机变量的分布二、随机变量的分布(p15-20)虽然随机变量的取值是随机的，但其本质上还是有规律性的，这个规律性可以用分布来描述。认识一个随机变量x的关键就是要知道它的分布，分布包含如下两方面内容: (1) x 可能取哪些值，或在哪个区间上取值。(2) x 取这些值的概率各是多少，或x在任一区间上取值的概率是多少? 下面分离散随机变量和连续随机变量来叙述它们的分布，因为这两类随机变量是最重要的两类随机变量，而它们的分布形式是有差别的。 (一) 离散随机变量的分布离散随机变量的分布可用分布列来表示，比如，随机变量x仅取n个值: , 随机变量取的概率为取的概率为，,取的概率为pn 。这些可用一张表清楚地表示: 或用一个简明的数学式子表示: 作为一个分布，满足以下两个条件: 满足这两个条件的分布称为离散分布，这一组也称为分布的概率函数。#例1.2-2 例1.2-2 掷两颗骰子，点数分布的样本空间为: 考察与这个随机现象有关的一些随机变量: （1）设x表示“掷两颗子骰子，6点出现的个数”，它的分布列为：（2）设y表示“掷两颗子，出现的点数之和”这些随机变量x, y 都是各从一个侧面表示随机现象的一种结果，每个随机变量的取值都是随机的，但其分布告诉我们该随机变量取每个值的概率，使人们不仅对全局做到心中有数，而且还看到了取哪些值的可能性大，x取哪些值的可能性小，比如：x取0可能性最大，x取2的可能性最小；y取7的可能性最大，y取2或12的可能性最小；这些分布中的概率都可用古典方法获得，每个概率都是非负的，其和均为1。#例1.2-3例1.2-3 设在10个产品中有2个不合格品，从中随机取出4个，其中不合格品数x是离散随机变量，它仅可取0,1,2 等三个值。x取这些值的概率为 (详见例1.1-4)： 具体计算后可得如下分布列: 从表中可见，事件 "x=l" 出现的机会最大。对同样的问题，若用放回抽样，则从10个产品(其中有2个不合格品)中随机取出4个，其中不合格品数y是另一个随机变量，它可取0,1,2,3,4 等五个值。y取这些值的概率为(详见例1.1-6): m=0,1,2,3,4 窗体顶端、 四、常用分布四、常用分布(一)常用离散分布这里将给出三个常用的离散分布：二项分布、泊松分布与超几何分布。1二项分布我们来考察由n次随机试验组成的随机现象，它满足如下条件: (1) 重复进行n次随机试验。比如，把一枚硬币连抛n次，检验n个产品的质量，对一个目标连续射击n次等。(2) n 次试验间相互独立，即任何一次试验结果不会对其他次试验结果产生影响。(3) 每次试验仅有两个可能的结果，比如，正面与反面、合格与不合格、命中与不命中、具有某特性与不具有某特性，以下统称为“成功”与“失败”。(4) 每次试验成功的概率均为p，失败的概率均为1- p。在上述四个条件下，设x表示n次独立重复试验中成功出现的次数，显然x是可以取0，1，n等n+1 个值的离散随机变量，且它的概率函数为: #这个分布这个分布称为二项分布，记为b(n,p)是从n个不同元素中取出x个的组合数，它的计算公式为：二项分布的均值、方差与标准差分别为：np, npq, .特例：n=1 的二项分布称为二点分布。它的概率函数为：或列表如下：它的均值、方差与标准差分别为p,p(1-p), 。#例1.2-10例1.2-10 在个制造过程中，不合格品率为o.1，如今从成品中随机取出6个，记x为6个成品中的不合格品数，则x服从二项分布，简记为b(6,0.1)。现研究如下几个问题：(1) 恰有1个不合格品的概率是多少?这里规定抽到不合格品为“成功”，则事件x=1 的概率为：这表明，6个成品中恰有一个不合格品的概率为0.3543 。类似可计算x=0，x=1，x=6 的概率，计算结果可列出一张分布列，具体如下：这里0.0000 表示x=6 的概率取前4位小数的有效数字为零，实际上，它的概率为p(x=6)=0.，并不严格为零。还可以画出一张线条图(图1.27(a) 来表示这个分布( 共有7个取值)。图上的横坐标为x的取值，纵轴为其相应概率。从此图上可以看出分布的形态，哪些上的概率大，哪些上的概率小。假如改变成功概率p，其线条图亦会改变。比如，连抛六次硬币，其中正面出现次数。通过计算可画出其线条图(见图127 (b)，此图是对称的，如p(x=2)=p(x=4)=0.2343 。#(2) 不超过1个(2) 不超过1个不合格品的概率为：p(x1)=p(x=0)+p(x=1)=0.5314+0.3543=o.8857 这表明，6个成品中不超过1个不合格品的概率为0.8857 。在实际中经常需要求形如“”的概率，在概率论中把事件“”的概率称为x的分布函数，也称为累积分布函数，记为f(x)，即：对二项分布的分布函数已编制了数表，详见300 页附表11，此表可帮助我们计算二项概率，例如从附表1-1中可查得：p(x1)=0.8857，p(x4)=0.9999于是可算得： (3)二项分布的均值、方差与标准差分别为：#2泊松分布2泊松分布泊松分布可用来描述许多随机变量的概率分布。例如: (1) 在一定时间内，电话总站接错电话的次数；(2) 在一定时间内，某操作系统发生的故障数；(3) 一个铸件上的缺陷数；(4) 一平方米玻璃上的气泡个数；(5) 一件产品因擦伤留下的痕迹个数；(6) 一页书上的错字个数。从这些例子可以看出，泊松分布总与计点过程相关联，并且计点是在一定时间内、或一定区域内、或一特定单位内的前提下进行的，若表示某特定单位内的平均点数( >0) ，又令x表示某特定单位内出现的点数，则x取值的概率为：，x=0,1,2, (1.2-6)这个分布就称为泊松分布，记为，其中e为自然对数的底，即2.71828泊松分布的均值与方差(在数量上)是相等的，均为，即：e(x)= ，var(x)= (1.2-6) #例1.211例1.211 某大公司一个月内发生的重大事故数x是服从泊松分布的随机变量，根据过去事故的记录，该大公司在一个月内平均发生1.2 起重大事故，这表明：x服从=1.2 的泊松分布，现考察如下事件的概率： (1) 在一个月内发生1起重大事故的概率为：类似地也可计算x取其他值的概率，现罗列于如下分布列中：此例中，x理论上也可以取8，9，等值。由于取这些值的概率的前三位小数皆为零，甚至更小，已无多大实际意义，故可不列出，当作不可能事件处理。也可把此8个概率画一张线条图，如图1.28。 (2) 在一个月内发生重
