数学：11探索勾股定理同步练习北师大版八级上.doc

第一章 勾股定理参考例题例1如下图所示，ABC中，AB=15 cm，AC=24 cm，A=60°，求BC的长.分析：ABC是一般三角形，若要求出BC的长，只能将BC置于一个直角三角形中.解：过点C作CDAB于点D在RtACD中，A=60°ACD=90°60°=30°AD=AC=12(cm)CD2=AC2AD2=242122=432，DB=ABAD=1512=3.在RtBCD中，BC2=DB2+CD2=32+432=441BC=21 cm.评注：本题不是直角三角形，而要解答它必须构造出直角三角形，用勾股定理来解.例2如下图，A、B两点都与平面镜相距4米，且A、B两点相距6米，一束光线由A射向平面镜反射之后恰巧经过B点.求B点到入射点的距离.分析：此题要用到勾股定理，全等三角形，轴对称及物理上的光的反射的知识.解：作出B点关于CD的对称点B，连结AB，交CD于点O，则O点就是光的入射点.因为BD=DB.所以BD=AC.BDO=OCA=90°，B=CAO所以BDOACO(SSS)则OC=OD=AB=×6=3米.连结OB，在RtODB中，OD2+BD2=OB2所以OB2=32+42=52，即OB=5(米).所以点B到入射点的距离为5米.评注：这是以光的反射为背景的一道综合题，涉及到许多几何知识，由此可见，数学是学习物理的基础.1.探索勾股定理（一）在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52.（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？测验评价等级： A B C ，我对测验结果（满意、一般、不满意）参考答案（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，如右图：AC=4，BC=3,S正方形ABED=S正方形FCGH4SRtABC=(3+4)24××3×4=7224=25即AB2=25，又AC=4，BC=3，AC2+BC2=42+32=25AB2=AC2+BC2（2）如图（图见题干中图）S正方形ABED=S正方形KLCJ4SRtABC=(4+7)24××4×7=12156=65=42+722.探索勾股定理（二）下图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内.图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？图中（1）（2）的面积之和是多少？图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？测验评价等级：A B C，我对测验结果（满意、一般、不满意）参考答案图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a为边长的正方形，（2）是以b为边长的正方形，（3）的四条边长都是c，且每个角都是直角，所以（3）是以c为边长的正方形.图中（1）的面积为a2,(2)的面积为b2,(3)的面积为c2.图中（1）（2）面积之和为a2+b2.图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积.因为图乙、图丙都是以a+b为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面积之和与（3）的面积都等于（a+b)2减去四个RtABC的面积.由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.2.探索勾股定理（二）班级：_ 姓名：_(1)某养殖厂有一个长2米、宽的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取米.(2)有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距海里.(3)如图1：隔湖有两点A、B，为了测得A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C，若测得CA=50 m,CB=40 m，那么A、B两点间的距离是_.图112 cm和10 cm，求这个三角形的面积.3.在ABC中，C=90°,AC=2.1 cm,BC=2.8 cm（1）求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长.（2）求斜边被分成的两部分AD和BD的长.：要修建一个育苗棚，棚高h=1.8 m,棚宽a=2.4 m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？5.如图3，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.测验评价结果：_；对自己想说的一句话是：_.参考答案1.(1)2.5 (2)30 (3)30米2.如图：等边ABC中BC=12 cm，AB=AC=10 cm作ADBC，垂足为D，则D为BC中点，BD=CD=6 cm在RtABD中，AD2=AB2BD2=10262=64AD=8 cmSABD=BC·AD=×12×8=48(cm2)3.解：(1)ABC中，C=90°，AC=2.1 cm，BC=2.8 cmAB2=AC2+BC222AB=3.5 cmSABC=AC·BC=AB·CDAC·BC=AB·CDCD=1.68(cm)(2)在RtACD中，由勾股定理得：AD2+CD2=AC2AD2=AC2CD222=(2.1+1.68)(2.11.68)=3.78×0.42=2×1.89×2=22AD=2×3×0.21=1.26(cm)BD=ABAD=3.51.26=2.24(cm)4.解：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为3 m,所以矩形塑料薄膜的面积是：3×12=36(m2)5.解：根据题意得：RtADERtAEFAFE=90°,AF=10 cm,EF=DE设CE=x cm，则DE=EF=CDCE=8x在RtABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，BF=6 cmCF=BCBF=106=4(cm)在RtECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即(8x)2=x2+426416x+x2=x2+16x=3(cm),即CE=3 cm