高中数学 222对数函数及其性质同步测控优化训练 新人教A必修1.doc

对数函数及其性质5分钟训练 (预习类训练，可用于课前)1.函数f（x）=|log2x|的图象是( )思路解析：考查对数函数的图象及图象变换.注意到y=|log2x|的图象应是将y=log2x的图象位于x轴下方的部分翻折到x轴的上方，故选A.答案：Aa 2logb 20，则a、b满足的关系是( )A.1ab B.1ba C.0ab1 D.0ba1思路解析：考查y= loga x和y=logbx的图象.当x=2时，又loga 2logb20，所以y= loga x和y=logbx为减函数.a 2logb2知y= loga x的图象与y=logbx的图象如下图所示.故0ba1.答案：D3.函数y= loga（x-2）+1（a0且a1）恒过定点_.思路解析：若x-2=1，则不论a为何值，只要a0且a=1，都有y=1.答案：（3，1）4.函数f（x）=log（a-1）x是减函数，则a的取值范围是_.思路解析：考查对数函数的概念、性质.注意到a-1既受a-10且a-11的制约，又受减函数的约束，由此可列关于a的不等式求a.由题意知0a-11，1a2.答案：1a210分钟训练 (强化类训练，可用于课中)1.（2006广东高考）函数f(x)=+lg(3x+1)的定义域是( )A.(- ,+) B.(- ,1) C.(- ,) D.(-,- )思路解析：要使函数有意义，则解得-<x<1.答案：B2.若函数f（x）= loga x（0<a<1）在区间a，2a上的最大值是最小值的3倍，则a等于( )A. B. C. D. 思路解析：本题关键是利用f（x）的单调性确定f（x）在a，2a上的最大值与最小值.f（x）= loga x（0<a<1）在（0，+）上是减函数，当xa，2a时，f（x）max =f（a）=1，f（x）min =f（2a）= loga 2a.根据题意，3 loga 2a=1，即loga 2a=，所以loga 2+1=，即loga 2=-.故由=2得a=.答案：A3.右图是对数函数y= loga x当底数a的值分别取，时所对应图象，则相应于C1，C2，C3，C4的a的值依次是( )A., , , B. , , C. , , , D. , , , 思路解析：因为底数a大于1时，对数函数的图象自左向右呈上升趋势，且a越大，图象就越靠近x轴；底数a大于0且小于1时，对数函数的图象自左向右呈下降趋势，且a越小，图象就越靠近x轴.答案：A4.比较大小：（1）log7和log9； （2）log35和log65；（3）（lgm）和（lgm）（m1）； （4）log85和lg4.思路解析：本题大小比较代表了几个典型的题型.其中题（1）是直接利用对数函数的单调性；题（2）是对数函数底数变化规律的应用；题（3）是指数函数单调性及对数函数性质的综合运用；题（4）是中间量的运用.当两个对数的底数和真数都不相同时，需要找出中间量来“搭桥”，再利用对数函数的增减性.常用的中间量有0、1、2等可通过估算加以选择.（1）log7和log9可看作是函数y=logx当x=7和x=9时对应的两函数值，由y=logx在（0，+）上单调递减，得log7log9.（2）考察函数y= loga x底数a1的底数变化规律，函数y=log3x（x1）的图象在函数y=log6x（x1）的上方，故log35log65.（3）把lgm看作指数函数的底数，要比较两数的大小，关键是比较底数lgm与1的关系.若lgm1即m10，则（lgm）x在R上单调递增，故（lgm）（lgm）.若0lgm1即1m10，则（lgm）x在R上单调递减，故（lgm）（lgm）.若lgm=1即m=10，则（lgm）=（lgm）.（4）因为底数8、10均大于1，且108，所以log85lg5lg4，即log85lg4.答案：（1）log7log9.（2）log35log65.（3）m10时，（lgm）（lgm）;m=10时，lgm=1，（lgm）=（lgm）;1m10时，（lgm）（lgm）.（4）log85lg4.5.已知函数y=lg（），求其定义域，并判断其奇偶性、单调性.思路解析：注意到+x=，即有lg（-x）=-lg（+x），从而f（-x）=lg（+x）=-lg（-x）=-f（x），可知其为奇函数.又因为奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，所以我们只需研究（0，+）上的单调性.解：由题意-x0，解得xR，即定义域为R.又f（-x）=lg-（-x）=lg（+x）=lg=lg（-x）-1=-lg（-x）=-f（x）,y=lg（-x）是奇函数.任取x1、x2（0，+）且x1x2，则+x1+x2>，即有 -x1-x20，lg（-x1）lg（-x2），即f（x1）f（x2）成立.f（x）在（0，+）上为减函数.又f（x）是定义在R上的奇函数，故f（x）在（-，0）上也为减函数.6.作出下列函数的图象：（1）y=|log4x|-1；（2）y=|x+1|.思路解析：（1）y=|log4x|-1的图象可以看成由y=log4x的图象经过变换而得到：将函数y=log4x的图象在x轴下方部分以x轴为对称轴翻折上去，得到y=|log4x|的图象，再将y=|log4x|的图象向下平移1个单位，横坐标不变，就得到了y=|log4x|-1的图象.（2）y= |x+1|的图象可以看成由y=x的图象经过变换而得到：将函数y=x的图象作出右边部分关于y轴的对称图象，即得到函数y=|x|的图象，再将所得图象向左平移一个单位，就得到所求的函数y=|x+1|的图象.解：函数（1）的图象作法如图所示.函数（2）的图象作法如图所示.7.函数y=lg|x|( )A.是偶函数，在区间（-，0）上单调递增 B.是偶函数，在区间（-，0）上单调递减C.是奇函数，在区间（0，+）上单调递增 D.是奇函数，在区间（0，+）上单调递减思路解析：画出函数y=lg|x|的草图即得答案.在画函数y=lg|x|的草图时，注意应用函数y=lg|x|是个偶函数，其图象关于y轴对称.比如列表时，要先确定对称轴，然后在对称轴的两侧取值列表.答案：B8.已知f（x）=1+logx3，g（x）=2logx2，试比较f（x）与g（x）的大小.思路解析：要比较两个代数式的大小，通常采取作差法或作商法，作差时，所得差同零比较，作商时，应先分清代数式的正负，再将商同“1”比较大小.因为本题中的f（x）与g（x）的正负不确定，所以采取作差比较法.解：f（x）和g（x）的定义域都是（0，1）（1，+）.f（x）-g（x）=1+logx3-2logx2=1+logx3-logx4=logxx.（1）当0x1时，若0x1，即0x，此时logxx0，即0x1时，f（x）g（x）；（2）当x1时，若x1，即x，此时logxx0，即x时，f（x）g（x）；若x=1，即x=，此时logxx=0，即x=时，f（x）=g（x）；若0x1，即0x，此时logxx0，即1x时，f（x）g（x）.综上所述，当x（0，1）（，+）时，f（x）g（x）；当x=时，f（x）=g（x）；当x（1，）时，f（x）g（x）.快乐时光 七个男人和一个女人 朋友闲来无事，到街上遛达，看到有一录像点高挂着牌子，写着：今晚精彩录像七个男人与一个女人的故事，莫失良机.朋友好奇心发作，买票进场.待人坐齐以后，开始放映.一开场屏幕上出现了真实片名八仙过海.30分钟训练 (巩固类训练，可用于课后)1.如下图，当a1时，在同一坐标系中，函数y=a-x与y= loga x的图象是( )思路解析：首先把y=a-x化为y=（）x，a1，01.因此y=（）x，即y=a-x的图象是下降的，y= loga x的图象是上升的.答案：A2.（2006福建高考，文）已知f(x)是周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)=lgx.设a=f(),b=f(),c=f(),则( )A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b思路解析：由题意，a=f()=f(-)=-f()=-lg=lg,b=f()=f(-)=-f()=-lg=lg2,c=f()=f()=lg,由于f(x)=lgx在实数范围内为增函数，所以有c<a<b.答案：D3.已知函数f（x）=lg（x2-3x+2）的定义域为F，函数g（x）=lg（x-1）+lg（x-2）的定义域为G，那么( )G=思路解析：F=x|x2-3x+2>0=x|x>2或x<1，G=x|x>2.GF.答案：A4.已知函数f（x）=log2（x2-ax+3a）在2，+上是增函数，则实数a的取值范围是( )A.（-，4） B.（-4，4C.（-，-4）2，+ D.-4，4思路解析：解决复合函数问题的通法是把复合函数化归为基本初等函数.令u（x）=x2-ax+3a，其对称轴x=.由题意有解得-4<a4.答案：B5.（2006福建高考，理） 函数y=log2(x>1)的反函数是( )A.y=(x>0) B.y= (x<0)C.y= (x>0) D.y= (x<0)思路解析：求函数时一定不要忘记求反函数的定义域，也就是原函数的值域.原函数值域为y>0,由于y=log2(x>1)=log2=log2(1+),所以1+=2y,x=+1=.将x,y对调，可得反函数为y=(x>0).答案：A6.已知函数f（x）=loga（a1且b0）.（1）求f（x）的定义域；（2）判断函数的奇偶性；（3）判断f（x）的单调性，并用定义证明.思路解析：本题考查定义域、单调性的求法及判断方法，注意要利用定义求解.解：（1）由解得x-b或xb.函数f（x）的定义域为（-，-b）（b，+）.（2）由于f（-x）= loga（）= loga（）= loga（）-1=- loga（）=-f（x），所以f（x）为奇函数.（3）设x1、x2是区间（b，+）上任意两个值，且x1x2.则-=.b0，x1-x20，x2-b0，x1-b0，-0.又a1时，函数y= loga x是增函数，logaloga，即f（x2）f（x1）.函数f（x）在区间（b，+）上是减函数.同理，可证f（x）在（-，-b）上也是减函数.7.已知f（x）=loga（a>0且a1）.（1）求函数的定义域；（2）讨论函数的单调性；（3）求使f（x）>0的x的取值范围.解：（1）由>0得-1<x<1.函数的定义域为（-1，1）.（2）对任意-1<x1<x2<1，-=<0，<.当a>1时，loga<loga，即f（x1）<f（x2）；当0<a<1时，loga>loga，即f（x1）>f（x2）.当a>1时，f（x）为（-1，1）上的增函数；当0<a<1时，f（x）为（-1，1）上的减函数.（3）loga>0= loga 1.当a>1时，>1，即-1=>0.2x（x-1）<0.0<x<1.当0<a<1时，解得-1<x<0；当a>1时，f（x）>0的解为（0，1）；当0<a<1时，f（x）>0的解为（-1，0）.8.设函数f（x）=x2-x+b，且f（log2a）=b，log2f（a）=2（a1），求f（log2x）的最小值及对应的x的值.思路解析：关键是利用已知的两个条件求出a、b的值.解：由已知得即由得log2a=1，a=2.代入得b=2.f（x）=x2-x+2.f（log2x）=log22x-log2x+2=（log2x-）2+.当log2x=时，f（log2x）取得最小值，此时x=.0，对于函数f（x）=log3（ax2-x+a），（1）若xR，求实数a的取值范围；（2）若f（x）R，求实数a的取值范围.思路解析：f（x）的定义域是R，等价于ax2-x+a0对一切实数都成立，而f（x）的值域为R，等价于其真数ax2-x+a能取遍大于0的所有实数值，（1）与（2）虽只有一字之差，但结果却大不相同.解：（1）f（x）的定义域为R，则ax2-x+a0对一切实数x恒成立，其等价条件是解得a.（2）f（x）的值域为R，则真数ax2-x+a能取遍大于0的所有实数，其等价条件是解得0a.10.已知a>0且a1，f（loga x）=（x-）.（1）试证明函数y=f（x）的单调性.（2）是否存在实数m满足：当y=f（x）的定义域为（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m2）<0?若存在，求出其取值范围；若不存在，请说明理由.（3）若函数f（x）-4恰好在（-，2）上取负值，求a的值.（1）证明：由f（loga x）=（x-），得f（x）=（ax-a-x），xR，任取x1<x2，f（x1）-f（x2）=（ -）.a>1时，<，a2-1>0；0<a<1时，>，a2-1<0.综上可得f（x1）<f（x2），即函数为减函数.（2）解：因为f（-x）=-（ax-a-x）=-f（x），即函数为奇函数，f（1-m）+f（1-m2）<0可转化为f（1-m）<f（m2-1），所以解得1<m<.（3）解：f（x）-4恰好在（-，2）的值为负，即当x（-，2）时，有f（x）-4<f（2）-4=0，解得a=2±.11.已知f（x）=lg（ax-bx）（a>1>b>0）.（1）求y=f（x）的定义域；（2）在函数图象上是否存在不同两点，使过这两点的直线平行于x轴？思路解析：（2）的思维难点是把问题化归为研究函数的单调性问题.解：（1）由ax-bx>0，得（）x>1=（）0.>1，x>0.函数的定义域为（0，+）.1>x2>0，a>1>b>0，>，<.->-.lg（-）>lg（-）.f（x1）>f（x2）.f（x）在（0，+）上为增函数.假设y=f（x）上存在不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），使直线AB平行于x轴，则x1x2，y1=y2，这与f（x）是增函数矛盾.y=f（x）的图象上不存在两点，使过这两点的直线平行于x轴.12.2006年春节晚会的现场上无数次响起响亮的掌声，某报记者用仪器测量到最响亮的一次音量达到了90.1分贝.分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压级（spl）来描述声音的大小：把一很小的声压P0=2×10-5帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝（dB）.分贝值在60以下为无害区，60110为过渡区，110以上为有害区.（1）根据上述材料，列出分贝y与声压P的函数关系式.（2）某地声压P=0.002帕，试问该地为以上所说的什么区？声音环境是否优良？思路解析：由已知条件即可写出分贝y与声压P之间的函数关系式，然后由函数关系式求得当P=0.002帕时，分贝y的值.由此可判断所在区.解：（1）由已知y=（lg）×20=20·lg（其中P0=2×10-5）.（2）将P=0.002代入函数关系y=20lg，则y=20lg=20lg102=40（分贝）.由已知条件知40分贝小于60分贝，所以在噪音无害区，环境优良.