非线性系统分析习题.docx

非线性系统分析习题第2章2-1 电路如题图2-1所示，若，试讨论对下列各组变量：（1）和；（2）和；（3）和；（4）和；是否存在标准形式的状态方程？若存在，请导出该状态方程。题图 2-1 和存在标准状态方程 2-2 题图2-2所示电路，非线性电阻的特性为：，试导出电路的状态方程。题图 2-2 2-3 试确定下列函数是否满足全局Lipschitz条件（1）可能不满足（2）满足2-4 Van der pol方程可以用状态方程描述为 试证明，任取初始条件，对于某些充分小的，状态方程在上有唯一解。2-5 考虑标量微分方程试证明微分方程对于任意，在区间上具有唯一解。2-6 已知非线性系统的状态方程为试判断该状态方程是否有唯一解。 当时有唯一解2-7 试求下列电路状态方程的平衡点。 （1） （0，0） （2）（0，0） （3） （0，0）；（1，0）；（-1，0） （4） （5）(0,0)；第3章3-1 分别取，用等倾线法绘出范德坡方程的轨线。设初值为：（1）;（2）;(3) 。3-2 用liénard作图法绘出时，范德坡方程初值为的轨线。3-3 试证明在时，范德坡方程的等倾线包含3个分支。3-4 试确定下列线性微分方程组奇点的类型，并定性作出相图。 （1）； 稳定结点 （2）；鞍点 （3） ； 不稳定结点 （4）； 稳定结点 （5）； 鞍点 （6）； 非初等奇点，轨线趋于奇线 （7）； 非初等奇点，轨线平行于奇线（8）； 不稳定结点 （9）; 中心 (10) 不稳定焦点3-5 试求下列各非线性状态方程平衡点处的线性化系统，并决定该平衡点的类型。（1） 平衡点（0，0） 鞍点（2） 平衡点（0，0） 中心、焦点或中心焦点之一 （3） 平衡点（0，0）， 鞍点 （1，0），（-1，0）中心、焦点或中心焦点之一 （4） 平衡点（0，0）不稳定退化结点3-6 考察下列非线性系统是否存在极限环，如存在极限环，通过极坐标变换来判断极限环的稳定性。（1） ，存在稳定的极限环（2） 存在半稳定的极限环（3） 不存在极限环（4） 不存在第4章4-1 试对二阶自治系统的各类平衡点，按Lyapunov稳定性的定义对平衡点的稳定性类型进行分类。4-2 试判断下面的每一个函数是否为：（1）局部正定函数；（2）正定函数；（3）半正定函数；（4）不定函数。（1）； 正定函数（2）；局部正定函数（）（3）； 局部正定函数（4）；正定函数（5） 半正定函数4-3 试讨论下列系统原点的稳定性，指出它们是否稳定；如果稳定，是否全局的。（1）；局部渐近稳定 （2）；局部渐近稳定（设） （3）；不稳定，利用首次近似（4）; 4-4 考虑系统 预选V函数为,证明平衡点（0,0）是不稳定的。4-5 某非线性电路的状态方程为 （1） 求系统的所有平衡点；（0,0），（2,6）（-2，-6）（2） 通过平衡点处的线性化系统研究所有平衡点处的局部稳定性；（0,0）不稳定；（2,6），稳定；（-2，-6）；稳定（3） 利用二次Lyapunov函数，估计每个渐近稳定的平衡点的吸引域，并尽可能极大化吸引域（提示：对每个渐近稳定的平衡点，将坐标原点平移到平衡点处，然后进行分析）；（4） 绘出系统的相轨迹和前列分析对比。4-6 试证明：如果存在对称矩阵P和Q使得 则A的所有特征值的实部均小于。4-7 考虑一个二阶系统 其中sat函数定义为当时，试采用平衡点（0,0）处的线性化系统证明系统是局部不稳定的；4-8 通信网络锁相环回路方程可描述为 （1） 取，试导出状态方程；（2） 设，取预选Lyapunov函数为，证明：如果，平衡点（0,0）是稳定的；如果，平衡点（0,0）是渐近稳定的（提示：应用Lasalle定理）