数学人教A版必修5第二章2.5等比数列的前n项和.doc

2.5等比数列的前n项和1理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导方法2能利用等比数列的前n项和公式解决有关问题3掌握等比数列前n项和的性质及应用等比数列的前n项和公式数列an是公比为q的等比数列，则当q1时，Sn_；当q1时，Sn_.(1)在运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意对公比q的讨论(q1或q1)(2)当q1时，若已知a1及q，则用公式Sn较好；若已知an，则用公式Sn较好【做一做】 等比数列an的公比q2，首项a12，则Sn等于()An2n Bn2n C2n12 D2n1答案：na1【做一做】 C1等比数列的前n项和公式与函数的关系剖析：当公比q1时，我们已经求得等比数列的前n项和公式是Sn，它可以变形为Sn·qn，设A，上式可写成SnAqnA.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数当公比q1时，因为a10，所以Snna1，是n的正比例函数当q1时，数列S1，S2，S3，Sn，的图象是函数yAqxA图象上的一群孤立的点当q1时，数列S1，S2，S3，Sn，的图象是正比例函数ya1x图象上的一群孤立的点2等比数列前n项和的性质剖析：等比数列an的公比为q，则有：(1)性质1：若某数列的前n项和公式为SnA·qnA(A0，q0且q1，nN*)，则此数列一定是等比数列(2)性质2：在等比数列中，间隔相等、连续等长的片段和序列成等比数列即Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列，公比为qn(q1)在运用性质(2)时，要注意的是Sm，S2mSm，S3mS2m，成等比数列，而Sm，S2m，S3m不一定成等比数列(3)性质3：在等比数列an中，当总项数为2n时，S偶qS奇(4)性质4：在等比数列an中，公比为q，则a1·a2·a3··ana·，(5)性质5：SnmSnqnSm.推导如下：设首项为a1，公比为q.若q1，显然成立若q1，则Smn，Sn，Sm，SnqnSm(1qnqnqmn)(1qmn)Smn.来源:学。科。网此性质还可推导如下：Smna1a2anan1anm1anmSna1·qna2·qna3·qnam·qnSnqn(a1a2am)SnqnSm.(6)an为等比数列SnAqnB(AB0)题型一 等比数列前n项和的有关计算问题【例题1】 在等比数列an中，已知Sn189，q2，an96，求a1和n.分析：已知an，Sn，q，可列方程组求a1和n.反思：等比数列的前n项和公式中共有五个量：Sn，an，a1，q，n.“知三求二”是常见题型，常用解方程组的方法求得，解方程组消元的策略是将所得方程相除题型二 等比数列前n项和的性质应用【例题2】 在等比数列an中，已知Sn48，S2n60，求S3n.分析：用求和公式直接求解或用性质求解反思：此类问题的解题通法是先利用等比数列前n项和公式建立方程组，求出a1和q，再求解；这种方法思路自然清晰，但有时运算较为复杂，如本题解法一如果能联想相关性质，运用性质求解，可以提高解题速度，减少解题时间，如本题解法二特别是在客观题解答中，有时能起到事半功倍之巧效题型三 实际应用问题【例题3】 某地本年度旅游业收入估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加.(1)求n年内旅游业的总收入；(2)试估计大约几年后，旅游业的总收入超过8 000万元分析：(1)先证明这n年内每年的旅游业收入组成等比数列，转化为求等比数列前n项和；(2)利用(1)的结论，转化为解不等式反思：1.解数列应用题的具体步骤是：(1)认真审题，理解题意，达到如下要求：明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题，还是等比数列问题，还是递推数列问题？是求an，还是Sn？特别要注意准确弄清项数为多少弄清题目中主要的已知事项(2)抓住数量关系，联想所学的数学知识和数学方法，恰当地引入参数变量，并将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求的量联系起来，并根据题意列出数学关系式2价格升降、细胞繁殖、利率、税率、增长率(如本题)等问题常归结为等比数列模型，即从实际背景中抽象出数学事实，归纳转化为数列问题去解决题型四 易错辨析【例题4】 已知等比数列an中，a12，S36，求a3和q.错解：由等比数列的前n项和公式，得S36，解得q2.故a3a1q22×(2)28.错因分析：在上面的求解过程中，没有讨论公比q是否为1，就直接使用了等比数列的前n项和公式Sn，从而有可能出现漏解情况来源:学科网反思：在使用等比数列的前n项和公式解题时，要注意对公比q是否为1进行讨论当q1时，Snna1；当q1时，Sn.答案：【例题1】 解：由Sn及ana1·qn1，得÷，得，解得2n64，则n6.代入，得a13.【例题2】 解法一：S2n2Sn，q1.由已知，得÷，得1qn，即qn.代入，得64.故S3n64×63.解法二：an为等比数列，Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比数列，(S2nSn)2Sn(S3nS2n)，S3nS2n6063.【例题3】 解：设第n年的旅游业收入估计为an万元，则a1400，an1anan，.an是公比为的等比数列Sn1 600，即n年内旅游业总收入为1 600万元来源:Z§xx§k.Com(2)由(1)知Sn1 600，令Sn8 000，即1 6008 000，n6.lgnlg 6.n8.029 6.来源:学§科§网来源:Zxxk.Com大约第9年后，旅游业总收入超过8 000万元【例题4】 正解：若q1，则S33a16，符合题意此时，q1，a3a12.若q1，则由等比数列的前n项和公式，得S36，解得q1(舍去)或q2.此时，a3a1q22×(2)28.综上所述，q1，a32或q2，a38.1(2011·北京朝阳一模)已知an是由正数组成的等比数列，Sn表示an的前n项的和若a13，a2a4144，则S10的值是()A511 B1 023 C1 533 D3 0692在等比数列an中，若公比q4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an_.3已知等比数列的前20项的和为30，前30项的和为70，则前10项的和为_4一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是_5等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列(1)求an的公比q；(2)若a1a33，求Sn.答案：1D2.4n13.104.1925解：(1)依题意，有2S3S1S2，即a1(a1a1q)2(a1a1qa1q2)由于a10，故2q2q0.又q0，所以q.(2)由已知，可得3，解得a14.从而Sn.