公共基础（数理化）精讲班第一章高等(16).doc

第9章微分方程第一节一阶微分方程1微分方程的全然不雅念1含有自变量、未知函数及其导数或微分的方程称为微分方程。假设在微分方程中，自变量的个数只需一个，那么称它为常微分方程，简称微分方程。2微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶数。3称心微分方程的函数称为微分方程的解。微分方程的解可以是显函数，也可以是隐函数。含有任意常数，且独破的任意常数的个数与微分方程的阶数一样的解称为微分方程的通解，不包含任意常数的解称为微分方程的特解。4初始条件：用于判定微分方程通解中任意常数的条件。比如、是二阶微分方程的初始条件，由初始条件判定任意常数，可掉掉落呼应的特解。【例题9-1】微分方程是:A.齐次微分方程B.可不离变量的微分方程C.一阶线性微分方程D.二阶微分方程分析：将所给微分方程改写为,这是关于的一阶线性微分方程,答案：C【例题9-2】函数为任意常数是微分方程的:(A)通解(B)特解(C)不是解(D)解，即不是通解，又不是特解解：因，将代入方程称心，故是解，又只含有一个任意常数，故即不是通解，也不是特解。答案：D【例题9-3】以下函数中不是方程的解的函数是：(A)(B)(C)(D)解：将代入方程左边，有，故不是方程的解，可以验证不的三个选项中的函数全然上方程的解，应选A。2不离变量的方程形如(或的方程叫作可不离变量的方程。可不离变量方程的求解分为两步：1不离变量2中间积分假设的原函数为，那么方程的通解为C为任意常数。【例题9-4】微分方程的通解是：(A)(B)(C)(D)解：不离变量,单方积分，得，拾掇得，应选(B)。【例题9-5】微分方程称心初始条件的特解是：(A)(B)(C)(D)解：不离变量，得，单方积分得通解，再代入初始条件，得，应选(A).【例题9-6】设，且，那么是：ABCD解：对单方关于求导，得，这是可不离变量方程，求解得，再由，得，故应选C。3齐次方程形如或可化为的方程叫做齐次方程。齐次方程的求解是通过变量代换偶尔也可作，这时，将原方程化为一个跟的可不离变量的方程，求解谁人方程掉掉落通解，再将代入，从而掉掉落原方程的通解。【例题9-7】微分方程的通解是：(A)(B)(C)(D)解：这是一阶齐次方程，令，原方程化为，不离变量得,，单方积分得，将代入，得，应选(A).4.一阶线性微分方程1形如的方程叫做一阶线性方程，假设叫做一阶线性齐次方程，假设，叫做一阶线性非齐次方程。一阶线性齐次方程是可不离变量方程，用不离变量法可求得通解。齐次方程任两个解的线性组合仍然齐次方程的解。一阶线性非齐次方程的两个解的差是对应齐次方程的解。同时非齐次方程的通解等于对应齐次方程的通解，加上非齐次的一个特解，即非齐次方程的通解+。2一阶线性非齐次方程求解方法：1公式法：将方程中的跟开门见山代入公式，求积分可得通解。2常数变易法：先用不离变量法求对应线性齐次方程的通解，再令代入非齐次方程，恳求单方相当，判定函数，从而掉掉落非齐次方程的通解。【例题9-8】已经清楚微分方程有两个差异的解为任意常数，那么该微分方程的通解是：(A)(B)(C)(D)解：因为非齐次方程的两个解的差是对应齐次的解，故是对应齐次的解，是对应齐次的通解。又非齐次方程的通解等于对应齐次的通解加上非齐次的一个特解，故是微分方程的通解,应选D.【例题9-9】微分方程通解等于：(A)(B)(C)(D)解：将方程化为，这是一阶线性非齐次方程，且，代入公式，经打算得。答案：A