初高中数学衔接教材精选.doc

初高中数学衔接教材 篇一：初高中数学衔接教材(已整理) 初高中数学衔接教材 编者的话 现有初高中数学教材存在以下“脱节”： 1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用； 2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用； 3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等； 4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧； 5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于理解水平。而高中那么是贯穿整个数学教材的不断的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、推断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基此题型和常用方法； 6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联络，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类标题仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的互相转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节； 7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，那么作为必备的根本知识要领； 8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍理解，高中那么作为重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一； 9、几何中特别多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心）和定理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习； 10、圆中四点共圆的性质和断定初中没有学习。高中那么在使用。 另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老师根本没有去延伸开掘，不利于高中数学的学习。 新的课程改革，难免会导致特别多知识的脱节和破绽。本书因此也没有详尽列举出来。我们会不断的研究新课程及其体系。将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的缺乏，加以补充和完善。 欢迎广大读者提出宝贵意见，我们将不胜感激！ 目录 第一章数与式 1.1 数与式的运算 1.1.1 绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3 二次根式 1.1.4 分式 1.2 分解因式 第二章二次方程与二次不等式 2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式 2.1.2 根与系数的关系 2.2 二次函数 2.2.1 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表达方式 2.2.3 二次函数的应用 2.3 方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组的解法 第三章类似形、三角形、圆 3.1 类似形 3.1.1 平行线分线段成比例定理 3.1.2 类似三角形形的性质与断定 3.2 三角形 3.2.1 三角形的五心 3.2.2 解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用 3.3 圆 3.3.1 直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幂定理 3.3.2 点的轨迹 3.3.3 四点共圆的性质与断定 3.3.4 直线和圆的方程（选学） 2 1.1 数与式的运算 1.1绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即 ?a,a?0,? |a|?0,a?0, ?a,a?0.? 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的间隔两个数的差的绝对值的几何意义：a?b表示在数轴上，数a和数b之间的间隔 例1 解不等式：x?1?x?34 解法一：由x?1?0，得x?1；由x?3?0，得x?3； 假设x?1，不等式可变为?(x?1)?(x?3)?4， 即?2x?44，解得x0， 又x1， x0； 假设1?x?2，不等式可变为(x?1)?(x?3)?4， 即14， 不存在满足条件的x； 假设x?3，不等式可变为(x?1)?(x?3)?4， 即2x?44， 解得x4 又x3， x4 综上所述，原不等式的解为 x0，或x4 解法二：如图111，x?1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的间隔|PA|，即|PA|x1|；|x3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的间隔|PB|，即|PB|x3| |x3| 因此，不等式x?1?x?34的几何意义即为 |PA|PB|4 由|AB|2，可知 点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧 x0，或x4 练习 1填空： （1）假设x?5，那么x=_；假设x?4，那么x=_. （2）假设a?b?5，且a?1，那么b_；假设?c?2，那么c_. 2选择题： 以下表达正确的选项 （ ） （A）假设a?b，那么a?b （B）假设a?b，那么a?b （C）假设a?b，那么a?b （D）假设a?b，那么a?b 3化简：|x5|2x13|（x5） 3 |x1| 图1111.1.2. 乘法公式 我们在初中已经学习过了以下一些乘法公式： （1）平方差公式 (a?b)(a?b)?a2?b2； 222 （2）完全平方公式 (a?b)?a?2ab?b 我们还可以通过证明得到以下一些乘法公式： 23 （1）立方和公式 (a?b)(a ?ab?2b)?3a?；b 23 （2）立方差公式 (a?b)(a ?ab?2b)?3a?；b 222 （3）三数和平方公式(a?b?c)?a?b?2c2?(ab?bc?；) ac 3323 （4）两数和立方公式(a?b) ?a?3ab?3a2b?；b 332 （5）两数差立方公式(a?b) ?a?3ab?3a2b?b对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以本人去证明 例1 计算：(x?1)(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1) 222 ?(x?1)?x解法一：原式=(x2?1)? =(x2?1)(x4?x2?1) =x6?1 解法二：原式=(x?1)(x2?x?1)(x?1)(x2?x?1) =(x3?1)(x3?1) =x6?1 例2 已经明白a?b?c?4，ab?bc?ac?4，求a2?b2?c2的值 解： a2?b2?c2?(a?b?c)2?2(ab?bc?ac)?8 练习 1填空： 121211 ； a?b?(b?a)（ ） 9423 22 （2）(4m? )?16m?4m?( )； 2222 (3 ) (a?2b?c)?a?4b?c?( ) （1）2选择题： 1 mx?k是一个完全平方式，那么k等于（） 2 1212122 （A）m（B）m（C）m （D）m 416322 （2）不管a，b为何实数，a?b?2a?4b?8的值 （） （1）假设x? 2 （A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数 1.1.3二次根式 一般地，形如a?0)的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不可以开得尽方的式子称为无理式. 例如3a?2b， 等是无理式，而2? x2?y2 x?1，2 1分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化为了进展分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘，假设它们的积不含有二次根式， 4 等等 一般地， b与 b互为有理化因式 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化那么是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进展，运算中要运?a?0,b?0)；而关于二次根式的除法，通常先写成分式的方式，然后通过分母有理化进展运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的根底上去括号与合并同类二次根式 2二次根式 ?a? ?a,a?0, ?a,a?0. 例1 将以下式子化为最简二次根式： （1 （2a?0)；（3 x?0) 解： （1?（2 ?a?0)；（3?2x?2xx?0) 例2 (3 解法一： (33) 3 9?31) 61 2 1 3)解法二：(3 2例3试比较以下各组数的大小： （1 （2和. 解： （1 ）? ?， 11 1 ， 10 又? （2）? ? 15 篇二：初高中数学衔接教材(共28页) 初高中数学衔接教材 引 入 乘法公式 第一讲 因式分解 第二讲 函数与方程 第三讲 三角形的“四心” 乘法公式 我们在初中已经学习过了以下一些乘法公式： （1）平方差公式 (a?b)(a?b)?a2?b2； （2）完全平方公式 (a?b)2?a2?2ab?2 b 我们还可以通过证明得到以下一些乘法公式： （1）立方和公式 (a?b)(a2?ab?2b)?3a?；3 b （2）立方差公式 (a?b)(a2?ab?2b)?3a?；3 b （3）三数和平方公式(a?b?c)2?a2?2 b?2c2?(ab?bc?；（4）两数和立方公式(a?b)3?a3?3a2b?3a2b?；3 b （5）两数差立方公式(a?b)3?a3?3a2 b?3a2b?b 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以本人去证明 例1 计算：(x?1)(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1) 解法一：原式=(x2?1)?(x2?1)2?x2 ? =(x2?1)(x4?x2?1) =x6?1 解法二：原式=(x?1)(x2?x?1)(x?1)(x2?x?1) =(x3?1)(x3?1) =x6?1 例2 已经明白a?b?c?4，ab?bc?ac?4，求a2?b2?c2的值 解： a2?b2?c2?(a?b?c)2?2(ab?bc?ac)?8 练习 1填空： （1） 19a2?14b2?(11 2b?3 a)（ ）； （2）(4m? )2?16m2?4m?( )； (3 ) (a?2b?c)2?a2?4b2?c2 ?( ) 2选择题： （1）假设x2 ? 1 2 mx?k是一个完全平方式，那么k等于（ （A）m2 （B）14m2（C）12123m （D）16m（2）不管a，b为何实数，a2?b2 ?2a?4b?8的值 （ （A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数 第一讲 因式分解 c)a ） ） 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应理解求根法及待定系数法 1十字相乘法 例1 分解因式： （1）x23x2； （2）x24x12； （3）x2?(a?b)xy?aby2；（4）xy?1?x?y 说明：（2）x24x12(x2)(x6) （3） x2?(a?b)xy?aby2(x?ay)(x?by) x 1 （4）xy?1?x?yxy(xy)1 y 1 图115 (x1) (y+1) （如图115所示） 课堂练习 一、填空题： 1、把以下各式分解因式： （1）x2 ?5x?6?_。 （2）x2?a?1?x?a?_。 （3）x2?11x?18?_。 （4）6x2 ?7x?2?_。 （5）4m2?12m?9?_。 （6）5?7x?6x2 ?_。 （7）12x2 ?xy?6y2?_。 2、x2 ?4x?x?3?x? 3、假设x2 ?ax?b?x?2?x?4?那么a?，b?。 二、选择题：（每题四个中只有一个是正确的） 1、假设多项式x2 ?3x?a可分解为?x?5?x?b?，那么a、b的值是（ ） A、a?10，b?2 B、a?10，b?2 C、a?10，b?2 D、a?10，b?22、假设x2 ?mx?10?x?a? x?b?其中a、b为整数，那么m的值为（ ） A、3或9 B、?3 C、?9 D、?3或?9 2提取公因式法 例2 分解因式： （1） a2?b?5?a?5?b? （2）x3?9?3x2?3x 解： （1）a2?b?5?a?5?b?=a(b?5)(a?1) （2）x3?9?3x2?3x=(x3?3x2)?(3x?9)=x2(x?3)?3(x?3) =(x?3)(x2?3)或 x3?9?3x2?3x(x3?3x2?3x?1)?8(x?1)3?8(x?1)3?23 (x?1)?2(x?1)2?(x?1)?2?22(x?3)(x2?3) 3：公式法 例3 分解因式： （1）?a4?16 （2）?3x?2y?2 ?x?y?2 解：(1)?a4?16=42?(a2)2?(4?a2)(4?a2)?(4?a2)(2?a)(2?a) (2) ?3x?2y?2?x?y?2=(3x?2y?x?y)(3x?2y?x?y)?(4x?y)(2x?3y) 课堂练习 222233 一、a?2ab?b，a?b，a?b的公因式是_。 4分组分解法 例4 （1）x2?xy?3y?3x（2）2x2?xy?y2?4x?5y?6 （2）2x2?xy?y2?4x?5y?6=2x2?(y?4)x?y2?5y?6 =2x2?(y?4)x?(y?2)(y?3)=(2x?y?2)(x?y?3) 或 2x2?xy?y2?4x?5y?6=(2x2?xy?y2)?(4x?5y)?6 =(2x?y)(x?y)?(4x?5y)?6 =(2x?y?2)(x?y?3) 第二讲 函数与方程 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 假设ax2bxc0（a0）的两根分别是x1，x2，那么x1x2? 2 cb ，x1·x2这一关系也被称为韦 aa 达定理 例1 已经明白方程5x?kx?6?0的一个根是2，求它的另一个根及k的值 例2已经明白关于x的方程x22(m2)xm240有两个实数根，同时这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值 解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得x1x22(m2)，x1·x2m24 22 x1x2x1·x221， 2 (x1x2)3 x1·x221， 即 2(m2)23(m24)21， 化简，得 m216m170，解得 m1，或m17 当m1时，方程为x26x50，0，满足题意； 当m17时，方程为x230x2930，3024×1×2930，不合题意，舍去综上，m17 2 例3 假设x1和x2分别是一元二次方程2x5x30的两根 （1）求| x1x2|的值； 11 （2）求2?2的值； x1x2 （3）x13x23 解：x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根， 53 x1?x2?，x1x2? 22 53 （1）| x1x2|2x12+ x222 x1x2(x1x2)24 x1x2(?)2?4?(?) 22 4925 6， 44 7 | x1x2| 252325(?)?2?(?)?3 x12?x22(x1?x2)2?2x1x21137? （2）2?2?22? ?2 x1x2x1?x2(x1x2)9(?)224 3322 2 （3）x1x2(x1x2)( x1x1x2x2)(x1x2) ( x1x2)3x1x2 552153 ()×()23×(?) 2282 例6 假设关于x的一元二次方程x2xa40的一根大于零、另一根小于零，务实数a的取值范围 解：设x1，x2是方程的两根，那么 x1x2a40， 且(1)24(a4)0 由得 a4， 17 由得 a4a的取值范围是a4 练 习 1选择题：假设关于x的方程mx2 (2m1)xm0有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围是 （ ） （A）m2填空: （1）假设方程x23x10的两根分别是x1和x2，那么 1111 （B）m （C）m，且m0 （D）m，且m0 4444 11 ? x1x2 （2）方程mx2x2m0（m0）的根的情况是 2 2.2.1 二次函数yax2bxc的图象和性质 二次函数ya(xh)2k(a0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移” 例1 已经明白函数yx2，2xa，其中a2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值 分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进展讨论 解：（1）当a2时，函数yx2的图象仅仅对应着一个点(2，4)，因此，函数的最大值和最小值都是4，现在x2； （2）当2a0时，由图226可知，当x2时，函数取最大值y4；当xa时，函数取最小值ya2； （3）当0a2时，由图226可知，当x2时，函数取最大值y4；当x0时，函数取最小值y0； （4）当a2时，由图226可知，当xa时，函数取最大值ya2；当x0时，函数取最小值y0 2.2.2 二次函数的三种表示方式 通过上一小节的学习，我们明白，二次函数可以表示成以下两种方式： 1一般式：yax2bxc(a0)； 2顶点式：ya(xh)2k (a0)，其中顶点坐标是(h，k) 3交点式：ya(xx1) (xx2) (a0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的 例1 已经明白二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的间隔等于2，求此二次函数的表达式 练 习 1填空： （1）已经明白二次函数的图象通过与x轴交于点(1，0)和(2，0)，那么该二次函数的解析式可设为ya(a0) （2）二次函数yx2+23x1的函数图象与x轴两交点之间的间隔为 第三讲 三角形的“四心” 三角形是最重要的根本平面图形，特别多较复杂的图形征询题可以化归为三角形的征询题. 如图3.2-1 ，在三角形ABC中，有三条边AB,BC,CA，三个顶点A,B,C，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点. 三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的间隔相等.（如图3.2-5） 三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8） 过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的间隔相等，是各边的垂直平分线的交点. 篇三：初高中数学衔接教材(人教版) 初高中数学衔接教材 1绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即 ?a,a?0,? |a|?0,a?0, ?a,a?0.? 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的间隔两个数的差的绝对值的几何意义：a?b表示在数轴上，数a和数b之间的间隔 1填空： （1）假设x?5，那么x=_；假设x?4，那么x=_. （2）假设a?b?5，且a?1，那么b_；假设?c?2，那么c_. 2选择题： 以下表达正确的选项（ ） （A）假设a?b，那么a?b（B）假设a?b，那么a?b （C）假设a?b，那么a?b（D）假设a?b，那么a?b 2. 乘法公式 我们在初中已经学习过了以下一些乘法公式： （1）平方差公式 (a?b)(a?b)?a?b； （2）完全平方公式 (a?b)?a?2ab?b 我们还可以通过证明得到以下一些乘法公式： （1）立方和公式 (a?b)(a?ab?b)?a?b； （2）立方差公式 (a?b)(a?ab?b)?a?b； （3）三数和平方公式(a?b?c)?a?b?c?2(ab?bc?ac)； （4）两数和立方公式(a?b)?a?3ab?3ab?b； （5）两数差立方公式(a?b)?a?3ab?3ab?b 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以本人去证明 例1 计算：(x?1)(x?1)(x?x?1)(x?x?1) （2）(a?2)(a?2)(a?4a?16) 222 例2 已经明白a?b?c?4，ab?bc?ac?4，求a?b?c的值 例3计算：（1）(4?m)(16?4m?m) 1填空： 2 2 23 3 2 2 3 3 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 2 42 （2）(m? 151111 n)(m2?mn?n2) 225104 12121122 ； （2）(4m? )?16m?4m?( )； a?b?(b?a)（ ） 9423 2222 （3）(a?2b?c)?a?4b?c?( ) （1）2选择题： 11212122 （A）m （B）m（C）m （D）m mx?k是一个完全平方式，那么k等于（） 41623 22 （2）不管a，b为何实数，a?b?2a?4b?8的值（） （1）假设x? 2 （A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数 3二次根式 a?0)的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不可以开得尽方的式子称为无理式. 例2 如3a?2b ? x?1，x2?y2 2 1分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化为了进展分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘，假设它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例 ， 一般地， ，b与b互为有理化因式 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化那么是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进展，运算中要运用公 式 ?a?0,b?0)；而关于二次根式的除法，通常先写成分式的方式，然后通过分母有理化进展运算；二 次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的根底上去括号与合并同类二次根式 ?a,a?0,2 ?a? ?a,a?0.? 例1 例2 (3? 例3 试比较以下各组数的大小： （1（2 例4化简：? 2004 将以下式子化为最简二次根式：（1（2a?0)；（3x?0) ?2005 例 5 化简：（1；（2 例6 化简以下各式： (1) 例 7 已经明白x? ?x?1) ? (2) x?1) 22 y?3x?5xy?3y的值 1填空：（1_ _；（2 ?(x?x的取值范围是； ?，2?_；（3）（4）假设x? 分式 1分式的意义 形如 AAA 的式子，假设B中含有字母，且B?0，那么称为分式当M0时，分式具有以下性质： BBB AA?MAA?M ； 上述性质被称为分式的根本性质 ? BB?MBB?M 例1 假设 5x?4AB ，求常数A,B的值 ? x(x?2)xx?2 111111 （其中n是正整数）；（2）计算：； ? n(n?1)nn?11?22?39?10 1111 （3）证明：对任意大于1的正整数n， 有? 2?33?4n(n?1)2 例2 （1）试证： 例3 设e? c ，且e1，2c25ac2a20，求e的值 a 111 )； ? n(n?2)nn?2 2x?y2x546 2选择题：假设?，那么 （） （A）（B） （C） （D） x?y3y455 1填空题：对任意的正整数n， 5、分解因式 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形在分式运算、解方程及各种恒等 变形中起着重要的作用是一种重要的根本技能 因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等 十字相乘法（借助画十字穿插线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法） 必须留意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，因此往往要通过屡次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解 1x?(p?q)x?pq型的因式分解。这类式子在许多征询题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和 2x2?(p?q)x?pq?x2?px?qx?pq?x(x?p)?q(x?p)?(x?p)(x?q) 因此，x?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q) 运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式 【例1】把以下各式因式分解： (1) x?7x?6 22 (2) x?13x?36 2 【例2】把以下各式因式分解： (1) x?5x?24 2 (2) x?2x?15 2 【例】把以下各式因式分解： (1) x?xy?6y 2 2 (2) (x?x)?8(x?x)?12 222 2一般二次三项式ax?bx?c型的因式分解 【例】把以下各式因式分解： 2提取公因式法与分组分解法 例 分解因式： （1）x?9?3x?3x；（2）2x?xy?y?4x?5y?6 1选择题：多项式2x?xy?15y的一个因式为（） （A）2x?5y （B）x?3y （C）x?3y （D）x?5y 2分解因式： （1）x26x8； （2）x?4xy?4y （3）（1）5x23x-2； （4）4(x?y?1)?y(y?2x) （5）x24x12； （6）x?(a?b)xy?aby； 2 2 2 2 2 2 2 (1) 12x?5x?2 2 (2) 5x?6xy?8y 22 3222（7）xy?1?x?y （8）8a3b3； （9）3x2?5x?8 6、 一元二次方程-根的判别式 我们明白，关于一元二次方程axbxc0（a0），用配方法可以将其变形为 2 b2b2?4ac )?(x? 2a4a2 由于a0，因此，4a20因此 2 （1）当b4ac0时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x1，2； b （2）当b24ac0时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1x2； 2a b2 （3）当b24ac0时，方程的右端是一个负数，而方程的左边(x?)一定大于或等于零，因此，原方 2a 程没有实数根 由此可知，一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的情况可以由b24ac来断定，我们把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的判别式，通常用符号“”来表示 综上所述，关于一元二次方程ax2bxc0（a0），有 （1） 当0时，方程有两个不相等的实数根x1，2； b （2）当0时，方程有两个相等的实数根 x1x2； 2a （3）当0时，方程没有实数根 例1 断定以下关于x的方程的根的情况（其中a为常数），假设方程有实数根，写出方程的实数根 22 （1）x3x30；（2）xax10；（3） x2ax(a1)0； （4）x22xa0 7、一元二次方程-根与系数的关系（韦达定理） 假设一元二次方程axbxc0（a0）有两个实数根 因此，一元二次方程的根与系数之间存在以下关系： 2 假设ax2bxc0（a0）的两根分别是x1，x2，那么x1x2? 特别地，关于二次项系数为1的一元二次方程x2pxq0，假设x1，x2是其两根，由韦达定理可知 x1x2p，x1·x2q， 即p(x1x2)，qx1·x2， 例：假设x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根 （1）求x1 x2 ， x1x2，的值； （2）求x1?x2， | x1x2| 的值； （3）求 2 2 bc，x1·x2这一关系也被称为韦达定理 aa 11 ?的值 x12x22 ?b设x1和x2分别是一元二次方程axbxc0（a0），那么，x2?， 2a 2