完整第三章 微分中值定理与导数的应用复习(1).doc

第三章：微分中值定理及导数的运用1要紧内容：1罗尔Rolle定理、拉格朗日Lagrange中值定理2洛必达LHospital法那么3函数的极值不雅念，用导数揣摸函数的单调性跟求极值，函数最大年夜值跟最小值的求法及庞杂运用4用导数揣摸函数图形的凹凸性，函数图形的拐点以及水平、铅直跟歪渐近线留心：函数作图不做要，求歪渐近线不做恳求但铅直与水平渐近线做恳求。2重点：中值命题的证明，未定式的极限，单调性、凹凸性的判定，极值最值的求法，庞杂经济征询题3模典范题与习题1§1-1T1-10，12，13，15-172§1-2T63§1-3例题3-9习题1-44§1-4例题4-7习题1-45§1-5例题2-8习题1-46§1-6例题3-9习题1-67§1-7例题1-7习题1-78§1-8例题1-7习题2-59综合练习一：1-64模范方法1证明中值命题的方法：证明中值命题时，素日要构造出一个辅助函数，然后，对该辅助函数用中值定理辅助函数一般有如下三种构造方法：寻原函数法：先将欲证等式中的中间值换成，把欲证结果转化为某个方程根的存在性；然后将此方程关于积分，得原函数，为笨重记，取积分常数为零；最后将积分结果移项，使一端为0，另一端即为欲作辅助函数指数因子法：此法有用于可化为形如的中值命题，取积分因子，便得原函数，这的确是所要作的辅助函数值得留心的是：跟的选择要紧，存在较大年夜的敏锐性，总之，应使称心Rolle定理例1设在上连续，在上可导且证明：，使得【证】由积分中值定理得，存在，使得作辅助函数，那么有，对在区间上用Rolle中值定理即可。2讨论方程的根的存在性与个数方程实数根的存在性，可用连续函数的介值定理跟Rolle定理讨论；证明方程最多只需一个实数根，就该当运用函数的严峻单调性讨论例2设在上可微，且，证明方程在内至少有且仅有一个根【证】存在性：令，那么函数在区间上称心零点存在定理的条件，故存在，使得，即；唯一性：用反证法，假设尚有，使得，不妨设，函数在区间上称心Rolle中值定理的条件，故存在，使得，即。与题设冲突！因此，方程在内至少有且仅有一个根。例3设实数称心关系式：证明：在内至少有一个实根【证】对函数在上运用Rolle中值定理3求破体曲线的切线与法线方程例4证明曲线弧：上任一点的切线夹在两坐标轴之间的长度恒为常数【证】设是曲线弧上任一点，在该点处的切线的歪率为切线方程为，切线在轴跟轴上的截距分不为，因此，切线夹在两坐标轴之间的长度为例5在曲线簇当拔取一条曲线，使之跟其在两点处的法线所围成图形的面积比不的曲线以异常方法所围成图形的面积都小答案4讨论函数的单调性证明函数在开区间内单调递增或递减的方法：或，在开区间内单调递增或递减证明函数在闭区间内单调递增或递减的方法：先证明函数在闭区间内连续，再揣摸导数在开区间内的标志。以下几多个例子等学完积分学再回想看。例6设在上连续且递增，又设，试求，并证明在内单调递增【解】1；故在上连续。2，因此，在内单调递增例7设在上连续，又设，试证明：1假设是偶函数，那么也是；2假设是单调递增的，那么也单调递减【证】1作变量代换即也是偶函数。2即也单调递减5讨论函数的极值与最值要紧操纵极值跟最值的不雅念，极值的需求条件跟第一、第二充分条件以及驻点、弗成导点、极值点之间，拐点、二阶导数为零的点、弗成导点之间的关系1求函数极值的步伐求定义域；求驻点及弗成导点；判定驻点是否为极值点用第一、第二或履行的第二充分条件；判定弗成导点是否为极值点用第一充分条件21求闭区间上连续函数的最值的步伐a 求函数的一阶导数；b 求函数在所给区间内部的驻点及弗成导点；c 求函数在端点、驻点及弗成导点处的函数值，并比较各值的大小，其中最大年夜者为最大年夜值，最小者为最小值2求开区间上连续函数的最值的步伐a.b.同1c求函数在区间左、右端点的右、左极限跟函数在驻点及弗成导点处的函数值，并比较各值的大小，假设其中最大年夜者在驻点及弗成导点处的函数值获得，那么函数有最大年夜值，否那么不最大年夜值；最小值情况类似3求按照运用征询题树破的函数关系的最值的步伐a 树破函数关系；b 求驻点；c 判定驻点是否为最值点用唯一极值点法或理论征询题法：唯一极值点法：假设在区间无限或无限、开或闭内可导，且有唯一的极值点，那么它必为最值点理论征询题法：假设在所讨论的征询题的有效范围内部有唯一的驻点，且通过对征询题的分析，其最值在区间内部获得，那么此唯一的驻点处的函数值必为所求的最大年夜小值3导数在经济上的运用1弹性假设可导，且，那么的弹性为假设为花费量或销售量，为价钞票，称函数为需求函数，其反函数称为价钞票函数。需求函数的弹性称为需求弹性，习惯上用来表示。2边缘函数边缘本钞票本钞票函数的导数；边缘收益收益函数的导数；边缘利润利润函数的导数。例8曾经明白某企业的总收益函数为，总本钞票函数为，其中表示产品的产量。求利润函数、边缘收入函数、边缘本钞票函数，以及企业获得最大年夜利润时的产量跟最大年夜利润。【解】利润函数：；边缘收入函数：；边缘本钞票函数：令，得唯一驻点，按照征询题的理论意思知，企业获得最大年夜利润时的产量为，现在最大年夜利润为