高中数学 312用二分法求方程的近似解同步测控优化训练 新人教A必修1.doc

用二分法求方程的近似解5分钟训练 (预习类训练，可用于课前)2-x-1=0在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围是( )A.a<-1 B.a>1 Ca<1思路解析：用分类讨论、数形结合的方法.令f(x)=2ax2-x-1,a=0时显然不适合，a0时，则有f(0)f(1)=-1×(2a-2)<0,a>1.答案：B2.借助计算器或计算机，用二分法求方程ln（2x+6）+2=3x在区间（1，2）内的近似解（精确到0.1）.思路解析：用二分法解这个方程可以先构造函数f（x）=ln（2x+6）-3x+2，然后寻找这个函数的零点即可.解：原方程即ln（2x+6）-3x+2=0，令f（x）=ln（2x+6）-3x+2，用计算器或计算机作出函数x、f（x）的对应值表（如下表）和图象（如下图）.x-2-1012f（x）2.582 03.053 02.791 81.079 4-4.697 4观察图或上表可知f（1）·f（2）0，说明这个函数在区间（1，2）内有零点x0.取区间（1，2）的中点x1=1.5，用计算器可得f（1.5）-1.00.因为f（1）·f（1.5）0，所以x0（1，1.5）.再取（1，1.5）的中点x2=1.25，用计算器可算得f（1.25）0.20.因为f（1.25）·f（1.5）0，所以x0（1.25，1.5）.同理，可得x0（1.25，1.375），x0（1.25，1.312 5）.由于|1.312 5-1.25|=0.062 50.1，此时区间（1.25，1.312 5）的两个端点精确到0.1的近似值都是1.3，所以原方程精确到0.1的近似值为1.3.10分钟训练 (强化类训练，可用于课中)1.函数f(x)=x3-2x2-x+2的零点个数是( )A.0 B.1 C思路解析：考虑分解因式降次.解：f(x)=x2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x+1)(x-1),f(x)有三个零点.答案：Dx+3x=7的近似解（精确到0.01）.思路解析：利用二分法.解：原方程即2x+3x-7=0，令f(x)=2x+3x-7，并结合y=2x与y=-3x+7的图象可知方程f(x)=0只有一解.计算f(1)=2+3-7<0,f(2)=22+3×2-7=3>0，可知x0(1,2).取区间（1，2）的中点x1=1.5，用计算器可得f(1.5)0.33>0.再取（1，1.5）的中点x2=1.25，f(1.25)-0.87<0.f(1.25)f(1.5)<0,x0(1.25,1.5).同理可求得x0(1.375,1.5),x0(1.375,1.437 5)，此时区间端点精确到0.1的近似值都是1.4.原方程精确到0.1的近似解为1.4.3.利用计算器，求方程lgx=3-x的近似解（精确到0.1）.解：设f(x)=lgx+x-3.在同一坐标系中，作出y=lgx和y=3-x的图象，观察图象可以发现lgx=3-x有唯一的解x1，且x1(2,3),f(2)<0,f(3)>0，利用二分法，可列下表：取区间中点值中点的函数值（符号）（2，3）-0.102 059 991（-）（2.5，3）0.189 332 693（+）（2.5，2.75）0.044 129 307（+）（2.5，2.625）2.562 5-0.028 836 125（-）（2.562 5，2.625）x1所在的最后一个区间端点的近似值都是2.6（精确到0.1），故所求近似解为x2.6.4.作出函数y=x3与y=3x-1的图象，并写出方程x3=3x-1的近似解（精确到0.1）.解：作函数f(x)=x3-3x+1，结合y=x3与y=3x-1的图象，可计算f(-2)<0,f(0)>0,f(2)>0，于是可判断f(x)=0的三个解x1,x2,x3满足x1(-2,0),x2(0,1),x3(1,2).下面用二分法分别求其近似解，先求x1，列表如下：取区间中点值中点函数值及其符号（-2，0）-13（+）（-2，-1）2.125（+）（-2，-1.5）0.890 625（+）（-2，-1.75）-0.033 203 125（-）（-1.875，-1.75）-1.812 50.483 154 296（+）（-1.875，-1.812 5）-1.843 750.263 580 322（+）（-1.875，-1.843 75）-1.859 3750.149 753 57（+）（-1.875，-1.859 375）x1-1.9.应该说明，f(-1.9)=(-1.9)3-3×(-1.9)+1=-6.859+5.7+1=-0.159，而f(-1.8)=(-1.8)3-3×(-1.8)+1=-5.832+5.4+1=0.568，这也表明，x11=-1.8更准确，因此取x1=-1.9是正确的.下面求x2：取区间中点值中点函数值及其符号（0，1）-0.375（-）（0，0.5）0.265 625（+）（0.25，0.5）-0.072 265 625（-）（0.25，0.375）0.312 50.093 017 578（+）（0.312 5，0.375）0.343 750.009 368 896（+）（0.343 75，0.375）0.359 375-0.031 711 578（-）（0.343 75，0.359 375）0.351 562 5-0.011 235 713（-）（0.343 75，0.351 562 5）0.347 656 25-0.000 949 323（-）（0.343 75，0.347 656 25）x20.3.注：f(0.3)=0.127,f(0.4)=0.136，取x220.4更加准确.最后求x3：取区间中点值中点函数值及其符号（1，2）-0.125（-）（1.5，2）1.109 375（+）（1.5，1.75）0.416 015 625（+）（1.5，1.625）1.562 50.127 197 265（+）（1.5，1.562 5）1.531 25-0.003 387 451（-）（1.531 25，1.562 5）1.546 8750.060 771 942（+）（1.531 25，1.546 875）x31.5.综上所述，方程x3=3x-1的近似解为x1-1.9，x20.3，x31.5.快乐时光 眼皮最大 老师：“世界上什么东西最大？” 学生：“眼皮.” 老师：“为什么？” 学生：“只要把眼一闭，全世界都被遮住了.”30分钟训练 (巩固类训练，可用于课后)1.函数f(x)=lgx+2x-6的零点个数为( )A.0 B.1 C思路解析：利用图象.解：令f(x)=lgx+2x-6=0，得lgx=-2x+6.在同一坐标系内作y=lgx,y=-2x+6的图象，两个函数图象只有一个交点，交点的横坐标是方程lgx=-2x+6的唯一解.因此f(x)只有一个零点.答案：B2.已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是( )A.(0,1 B.(0,1) C.(-,1) D.(-,1思路解析一：取m=0有f(x)=-3x+1的根x=>0，即m=0应符合题设，所以排除A、B.当m=1时，f(x)=x2-2x+1=(x-1)2，它的根是x=1，符合要求，排除C，故选D.思路解析二：直接法.f(0)=1，（1）当m<0时，必成立，排除A、B.（2）当m>0时，要使与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则（3）当m=0时根为x=>0.故选D.答案：D3.利用计算器，求方程x2-2x-1=0的近似解（精确到0.1）.解：取区间中点值中点的函数值的符号（2，3）+（2，2.5）-（2.25，2.5）-（2.375，2.5）2.437 5+（2.375，2.437 5）2.375,2.437 5精确到0.1的近似值都是2.4，此方程的一个近似解为x12.4.另一个近似解可由下表得到：取区间中点值中点的函数值（符号）（-1，0）-（+）（-0.5，0）-0.25-0.437 5（-）（-0.5，-0.25）-0.375-0.109 375（-）（-0.5，-0.375）-0.437 50.066 406 25（+）（-0.437 5，-0.375）-0.437 5-0.4,此方程的一个近似解为x20.4.4.求函数f(x)=x3+2x2-3x-6的一个为正数的零点（精确到0.1）.思路解析：由于要求的是一个正数的零点，因此可以考虑首先确定一个包含正数的区间(m,n)，且f(m)f(n)<0.计算f(0)=-6<0,f(1)=-6<0,f(2)=4>0，所以可以取区间(1,2)作为计算的初始区间，当然选取(0,2)也是可以的.解：f(1)=-6<0,f(2)=4>0,存在x1(1,2)，使f(x1)=0.用二分法逐次计算，列表如下：端点（中点）坐标端点或中点函数值取区间f(1)=-6<0,f(2)=4>0（1，2）x1=f(1.5)=-2.625<0（1.5，2）X2=f(1.75)=0.234 4>0（1.5，1.75）x3=f(1.625)=-1.302 7<0（1.625，1.75）x4=1.687 5f(1.687 5)=-0.561 8<0（1.687 5，1.75）x5=1.718 75f(1.718 75)-0.177<0（1.718 75，1.75）x6=1.734 375f(1.734 375)=0.303 8>0（1.718 75，1.734 375）最后一个区间端点精确到0.1的近似值都是1.7，所求的正数零点为1.7.5-x3-3x2+3=0的无理根（精确到0.01）.思路解析：令f(x)=x5-x3-3x2+3=x3(x2-1)-3(x2-1)=(x2-1)(x3-3)，显然方程f(x)=0有两个有理根x1=1,x2=-1，所以方程f(x)=0的无理根就是x3-3=0的根.令g(x)=x3-3，只需求出g(x)的零点.解：令f(x)=x5-x3-3x2+3，则f(x)=(x2-1)(x3-3)，显然无理根就是x3-3=0的根，令g(x)=x3-3，以下用二分法求函数g(x)的零点.由于g(1)=-2<0,g(2)=5>0，故可取(1,2)作为计算的初始区间，列表如下：取中点中点函数值取区间g(1.5)=0.375>0（1，2）g(1.25)=-1.047<0（1，1.5）g(1.375)=-0.400 4<0（1.25，1.5）1.437 5g(1.437 5)=-0.029 5<0（1.437 5，1.5）1.468 75g(1.468 75)=0.168 4>0（1.437 5，1.468 75）1.453 125g(1.453 125)=0.068 4>0（1.437 5，1.453 125）1.445 312 5g(1.445 312 5)=0.019 2>0（1.437 5，1.445 312 5）1.441 406 25g(1.441 406 25)=-0.005 3<0（1.437 5，1.441 406 25）由于区间（1.437 5，1.441 406 25）的两个端点精确到0.01的近似值都是1.44，所以原方程的无理根是1.44（精确到0.01）.6.求方程lnx+x-3=0在（2，3）内的根（精确到0.1）.思路解析：用二分法求解.解：令f(x)=lnx+x-3，即求函数f(x)=0在（2，3）内的零点.f(2)=ln2-1<0，f(3)=ln3>0,可取（2，3）作为初始区间，用二分法列表如下：中 点端点或中点函数值取区间f(2)<0,f(3)>0（2，3）f(2.5)>0（2，2.5）f(2.25)>0（2，2.25）f(2.125)<0（2.125，2.25）2.187 5f(2.187 5)<0（2.187 5，2.25）2.218 75f(2.218 75)>0（2.187 5，2.218 75）2.187 52.2,2.218 752.2，所求方程的根为2.2（精确到0.1）.7.国家购买某种农产品的价格为120元/担，其中征税标准为100元征8元（叫做税率为8个百分点，即8%），计划可收购m万担.为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点.（1）写出税收f（x）（万元）与x的函数关系式；（2）要使此项税收在税率调节后达到计划的78%，试求此时x的值.思路解析：第（1）问这样考虑：调节税率后税率为（8-x）%，预计可收购m（1+2x%）万担，总金额为120m（1+2x%）万元，从而列出函数表达式.解：（1）由题设，调节税率后税率为（8-x）%，预计可收购m（1+2x%）万担，总金额为120m（1+2x%）万元.f（x）=120m（1+2x%）（8-x）%，即f（x）=-（x2+42x-400）（0x8）.（2）计划税收为120m·8%万元，由题设，有f（x）=120m·8%·78%，即x2+42x-88=0（0x8，解得x=2.试用函数的图象指出方程x2+42x-88=0（0x8的根，即函数g（x）=x2+42x-88=0（0x8的零点所在的大致区间.（1）2000年每台电脑的生产成本；（2）以1996年的生产成本为基数，用二分法求1996年2000年生产成本平均每年降低的百分数（精确到0.01）.思路解析：第（1）问是价格和利润的问题，销售总利润可以按每台来算也可以按实现50%的利润来算，从而找出等量关系；第（2）问是增长率问题，要注意列出方程后，用二分法求解，但应用二分法时注意合理使用计算器.解：（1）设2000年每台电脑的成本为p元，根据题意，得p（1+50%）=5 000×（1+20%）×80%，解得p=3 200（元）.故2000年每台电脑的生产成本为3 200元.（2）设1996年2000年间每年平均生产成本降低的百分率为x，根据题意，得5 000（1-x）4=3 200（0x1）.令f（x）=5 000（1-x）4-3 200，作出x、f（x）的对应值表，如下表：x0f（x）1 800-590-2 000-2 742-3 072-3 180-3 200-3 200观察上表，可知f（0）·f（0.15）0，说明此函数在区间（0，0.15）内有零点x0.取区间（0，0.15）的中点x1=0.075，用计算器可算得f（0.075）460.因为f（0.075）·f（0.15）0，所以x0（0.075，0.15）.再取（0.075，0.15）的中点x2=0.112 5，用计算器可算得f（0.112 5）-98.因为f（0.075）·f（0.112 5）0，所以x0（0.075，0.112 5）.同理，可得x0（0.009 375，0.112 5），x0（0.103 125，0.112 5），x0（0.103 125，0.107 812 5），x0（0.105 468 75，0.107 812 5）.由于|0.107 812 5-0.105 468 75|=0.002 343 750.01，此时区间（0.105 468 75，0.107 812 5）的两个端点精确到0.01的近似值都是0.11，所以原方程精确到0.01的近似解为0.11.1996年2000年生产成本平均每年降低的百分数为11%.