认证杯--数学建模(共19页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上摘 要本文是根据题目要求建立合理的数学模型，评估“白屋顶计划”对城市热岛效应的影响。由于影响城市热岛效应的因素很多，我们对一些因素进行理想化，只考虑更换白屋顶后的下垫面吸收热量的变换，并最终用温度指标评估其对热岛效应的影响。在本篇文章中，我们先引用了太阳辐射模型先计算出修正因子，通过模型计算某城市每天到达地面直射辐射能和散射辐射能，那么太阳辐射总量。本文我们以三明城区为例进行评估，从中央气象台网站上搜集到2011年夏季（6月-8月）每天城区的温度，编程计算得到城区每天流入的太阳辐射能。三明的下垫面组成包括建筑物、广场及道路、绿化面积、水域面积等。不同的下垫面有不同的阳光反射率，根据不同下垫面的比例可求出整个下垫面等效反射率。我们还以三明城区的数据进行测试，“白屋顶计划”使得的值由0.提高到0.43093。再利用公式计算出每天地面吸收太阳的能量。接着，我们又建立了下垫面辐射与城市温度关系的模型。在这个模型里，城市的地面净辐射等于地面吸收太阳的能量减去地面向外辐射能量加上大气的逆辐射，即。在理想情况下可以认为每天地面的净辐射为0，根据斯蒂芬-波尔兹曼定律，对地面吸收太阳的能量与T的关系进行四次多项式拟合，即可得出与温度的函数关系。但是，实际上每天地面的净辐射很可能不为0。这时我们可以求出来更换白屋顶前后下垫面吸收的总热量，代人与温度的函数关系，便得出了更换白屋顶后的城市温度，则可以得到“白屋顶计划”对城市热岛效应的影响。由模型结果可知：“白屋顶计划”实施后，城区的温度下降大约2度，说明“白屋顶计划”可以有效地降低城区的热岛效应。关键词：白屋顶 热岛效应 太阳辐射模型 地面净辐射一、问题重述夏天的城市气温往往格外炎热，这被称为热岛效应。有专家提出，将城市建筑的屋顶漆成白色，减小对阳光的吸收率，可以使城市的气温降低，进而达到节能和环保的效果。包括美国能源部长、诺贝尔物理学奖获得者朱棣文在内的一些专家都对这个方案表示支持，但同时也有一些反对意见。要求建立合理的数学模型，评估“白屋顶计划”对降低城市热岛效应起到的作用。本题要求建立合理的数学模型，评估“白屋顶计划”对降低热岛效应起的作用， 所以我们首先要给出热岛效应的量化标准。影响城市热导效应的因素较多，我们可以选取受城市下垫面的类型和太阳的辐射强度的影响。此外，人类生产生活产热也是城市热的一个来源，但相对于太阳辐射强度，这部分的热量对城市总热量贡献很小。而且短时间内温室气体的含量很难有较大的波动，短期内可将人类活动的影响视为一个较小的常数。由于人为因素量化较为复杂，而且短期内对本模型的评估影响不大，可将其忽略。故我们只考虑下垫面的类型和太阳的辐射强度对城市温度的影响，分别计算“白屋顶计划”前后下垫面等效反射率的变化对城市温度的影响。在考虑下垫面辐射对城市温度的影响时，由于大气温度、地表温度、辐射温度在城市中的分布范围和变化趋势具有一致性文献1，我们将问题转化为下垫面辐射和大气温度的关系。进一步分析知，它应是一个多项式函数，可通过Matlab程序软件进行曲线模拟。在建模过程中，我们可以先建立太阳辐射模型，用以计算任何一天照在地面上的光照热量；再查找城市下垫面的组成部分的比例及反射率；通过模型算出地面辐射量，利用模拟软件建立下垫面辐射与大气温度的关系；接着计算换成白屋顶后的地面辐射量，代入已有关系计算大气温度，最后对数据进行分析讨论。这样我们就可以图形分析得出是否白屋顶计划对热岛效应有影响。二、模型假设（1） 将城区下垫面类型根据其对太阳辐射的吸收率的不同划分为建筑物、道路、绿地和水域四种文献2,3,4；（2） “白屋顶计划”将所有的建筑物的房顶均漆成白色，其他的三种下垫面类型不变；（3） 建筑房顶之间全天均没有彼此遮挡阳光的情况；且忽略建筑垂直墙面的吸热；（4） 漆白屋顶前后，人类活动对城市温度的贡献以及大气中的温室气体含量大致不变，即大气对热辐射的吸收能力不变；（5） 城市屋顶变换后，对郊区温度的影响忽略。“白屋顶计划”前后，忽略由于城区和郊区的温差变小而引起的大气热交换的变化文献5，即郊区温度保持不变；（6） 实施“白屋顶计划”时，假设市区内所有的屋顶都换成白色，且油漆厚度为一般值。（7） 城市植被的光合作用和对水的蒸腾作用吸收的能量不计。三、模型建立3.1参数的设定和符号说明：下垫面的平均反射率：太阳辐射常数，其中：一天内地面上太阳直射的辐射能，单位：:一天内地面上太阳散射的辐射能，单位：大气层外的太阳辐射：大气层外切平面上的瞬时太阳辐射：水平地面瞬时太阳直射辐射：水平地面瞬时太阳散射辐射:太阳高度角：地理纬度:太阳赤纬角：太阳时角:太阳透射率：太阳散射透过率：小时数：日照开始时间：日照结束时间：地面净辐射：不同天气下太阳透射率与晴天下的比值：地面辐射：大气逆辐射：一天内水平地面上太阳的总辐射能：一天内水平地面吸收太阳的能量3.2 模型的建立模型一 太阳辐射模型的建立大气层外的太阳辐射文献6： （1）其中太阳辐射常数，n为从6月1日算起的天数。大气层外切平面上瞬时太阳辐射： （2）其中，三明城区的地理纬度为： （3）赤纬角： （4） 太阳时角： （5）太阳透射率为： （6）上式适用于大气能见度23km，海拔低于2500m，系数可由下式确定： （7） （8） （9）其中，A为海拔（km），通过查询资料求得三明城区的平均海拔为0.95385km，而修正因子，及应由气候类型所确定，具体数据如下表一、表二所示：表 一：修正因子的确定气候类型热带0.950.981.02中纬度夏季0.970.991.02寒带夏季0.990.991.01中纬度冬季1.031.011.00表 二：在三种不同天气下的值天气晴天 阴天雨天多云10.670.610.54水平地面瞬时太阳直射辐射 （10）故得到一天内水平地面上太阳直射辐射能： （11）太阳散射透过率： （12）水平地面上瞬时太阳散射辐射： （13）故得到一天内水平地面上太阳散射能： （14）因此得到一天内水平地面上太阳的总辐射能： （15）我们现在以三明市为例，评估“白屋顶计划”对降低城市热岛效应的影响。从中央气象台网站文献7上查到2011年夏天（6月-8月）中每天的天气情况如下表三表三：2011年夏天（6月-8月）中每天的天气情况日期最高气温最低气温天气2011/6/13322多云阴2011/6/23022阵雨多云2011/6/33021阵雨2011/6/43123阴阵雨2011/6/53024雷阵雨阵雨2011/6/63324阵雨2011/6/73724阵雨2011/6/83724阵雨多云2011/6/92325阵雨多云2011/6/103324阵雨2011/6/113525阵雨小到中雨2011/6/123325中雨2011/6/133224中雨阵雨2011/6/143424阵雨2011/6/153624雷阵雨阵雨2011/6/163324阵雨多云2011/6/172625雷阵雨阵雨2011/6/183125阴阵雨2011/6/192824阵雨2011/6/202726多云2011/6/212125多云阴2011/6/222525阵雨多云2011/6/233525多云2011/6/243626多云阵雨2011/6/253425阵雨2011/6/262524多云2011/6/273124阴多云2011/6/283524中雨雷阵雨2011/6/293525中雨雷阵雨2011/6/303625阵雨多云2011/7/13625多云2011/7/23625多云2011/7/32626多云2011/7/42925晴2011/7/52625多云2011/7/62325晴多云2011/7/73225多云2011/7/83625多云2011/7/93226多云阴2011/7/103325雷阵雨阵雨2011/7/112926阵雨2011/7/123026雷阵雨阵雨2011/7/133225阵雨2011/7/143426阵雨2011/7/153425雷阵雨2011/7/163225雷阵雨阴2011/7/173025小到中雨阵雨2011/7/183225中雨小到中雨2011/7/193325阵雨小到中雨2011/7/203224雷阵雨阴2011/7/213325阵雨2011/7/223525阵雨多云2011/7/233625晴多云2011/7/243726多云晴2011/7/253826多云2011/7/263725多云2011/7/273625多云2011/7/283726多云2011/7/293526多云2011/7/303625多云2011/7/313624阵雨多云2011/8/13623雷阵雨阵雨2011/8/23625阵雨多云2011/8/33525多云2011/8/43526阵雨多云2011/8/53625多云2011/8/63626多云雷阵雨2011/8/73425阵雨2011/8/83526阵雨多云2011/8/93525阵雨多云2011/8/103425雷阵雨多云2011/8/113625多云2011/8/123525阵雨多云2011/8/133525多云2011/8/143625多云2011/8/153725多云2011/8/163825多云2011/8/173825多云2011/8/183725晴多云2011/8/193724阵雨多云2011/8/203723多云2011/8/213724晴多云2011/8/223624阵雨阴2011/8/233325阵雨小到中雨2011/8/243323小到中雨阵雨2011/8/253323阵雨2011/8/263324阴2011/8/273324雷阵雨阴2011/8/283223阵雨2011/8/292825阵雨2011/8/302422大雨2011/8/312622中雨三明下垫面组成比例及各部分反射率如表四文献8：表四：三明下垫面组成比例及各部分反射率下垫面面积比例反射率建筑物49.39%0.27道路及广场9.45%0.10绿化面积12.67%0.18水域面积11.25%0.07由表四可以计算出=0.。当城市全部实行“白屋顶计划”后，得到=0.43093应用以上模型，可编程求解每天到达地面的总太阳辐射量。表五 2011年6、7、8月份三明接收到的热量和三明的平均温度日期地面接收热量日平均温度/6月1日7126.9527.56月2日7121.43266月3日7115.4425.56月4日8727.15276月5日8718.61276月6日8709.4728.56月7日8699.7430.56月8日10300.630.56月9日8678.47246月10日7863.4128.56月11日7050.00306月12日8642.00296月13日8628.61286月14日8614.61296月15日8599.97306月16日8584.7128.56月17日6979.9825.56月18日8552.28286月19日8535.11266月20日8517.2826.56月21日6922.95236月22日6907.37256月23日8459.89306月24日8439.43316月25日8418.3129.56月26日7618.0724.56月27日8374.0427.56月28日8350.8929.56月29日6783.04306月30日9841.9730.57月1日6742.5130.57月2日7486.3830.57月3日7462.23267月4日7437.43277月5日7412.0025.57月6日7385.92247月7日8111.1828.57月8日8081.0130.57月9日9542.78297月10日8018.51297月11日7986.1827.57月12日7953.13287月13日7919.3628.57月14日7884.86307月15日7849.6329.57月16日7089.2828.57月17日6335.0027.57月18日7022.0828.57月19日6987.50297月20日6952.27287月21日6916.38297月22日6879.85307月23日6842.6730.57月24日7500.2031.57月25日7457.81327月26日6039.88317月27日7370.9430.57月28日7326.4731.57月29日7281.3230.57月30日7235.4930.57月31日7189.00308月1日7141.8429.58月2日8409.4130.58月3日7045.58308月4日5699.2030.58月5日5658.7130.58月6日5617.72318月7日5576.2329.58月8日6164.1430.58月9日6741.92308月10日6069.1029.58月11日6020.8230.58月12日5361.80308月13日5922.80308月14日5272.9630.58月15日5822.93318月16日5772.3431.58月17日5721.3331.58月18日5669.92318月19日5618.1130.58月20日4997.19308月21日6076.7930.58月22日7134.48308月23日5959.90298月24日5900.95288月25日5841.68288月26日5782.1328.58月27日5722.3028.58月28日4612.3327.58月29日4563.2026.58月30日5541.40238月31日5480.7124模型二 下垫面辐射与城市温度关系的模型地面的净辐射 (16)其中RLU为地面辐射，根据斯蒂芬-波尔兹曼定律（） (17)其中RLD为大气逆辐射，其值(其中k与大气温度、湿度、二氧化碳含量等因素有关，在短期内可认为是一定值)我们假设在一定时期内，于是我们可以得到城市吸收太阳的热量与与城市温度的关系： (18)记 (19)由于实际上很可能不为零，因此按此式求出来的温度与平时会有一些差别，在这里我们称为平衡温度，即使城市热量收支处于平衡状态的温度文献9。为提高模型的准确性，我们做出如下假设： (20)我们首先利用三明2011年6、7、8月份的天气状况求出三明每天接收到的热量，再利用每天的温度拟合出上述公式中出现的系数，便得到了接收热量与温度的关系式。再考虑将屋顶换为白屋顶的情况，白屋顶的使用使得每天接收到的热量减少了，由(20)式将热量代入，便可得到城市的温度，将此温度与换为白屋顶之前的温度相比较，我们便可得到白屋顶对城市热效应的定量影响。四、模型求解与分析用matlab拟合求值可得到各个系数, 具体拟合图像如图（1），最终表达式如下：图（1）接收到的热量与温度的拟合曲线对拟合曲线的几点说明：第一，拟合曲线横坐标为每天的平均温度，纵坐标为城市每天吸收的热量，对换成白屋顶之前的城市地面平均反射率，我们求得，对于换成白屋顶之后的城市地面平均反射率，我们求得（后面的比较求解部分用到）。我们直取6、7、8月份的数据，因此样本点共有个。第二，由以上拟合的曲线可以直观地看出城市吸收的热量与城市温度的关系，吸收的热量增多了，温度就会升高，温度升高使城市表面放出的热量增多，于是在某个温度下吸收的热量与放出的热量达到平衡，这个温度就是我们要求的平衡温度。第三，我们用四次多项式来拟合它们之间的关系，可以省去很多无关系数的求解，如物质的黑度和大气逆辐射所占地面辐射的比例系数等，因此，用该模型来求解又是非常方便的。通过对比换白屋顶前后城市地面吸收热量的差异，拟合求值得到城市的温度变化如图（2）所示：图（2）换白屋顶前后城市温度比较结果分析：我们得到城市换成白屋顶前后的温度以及它们分别与郊区温度的差值的比较值，在这里我们假设郊区的温度没有变化，而城市温度的变化仅是由于白屋顶较低的吸收率造成的。五、模型评价与推广5.1模型优点：（1） 模型建立合理。引用了晴天太阳辐射模型的hottel模型，考虑的因素比较到位，不仅充分考虑天气对大气透射率的影响，而且精确考虑到每天的不同时刻太阳的辐射强度，比较符合实际情况；另外，根据斯蒂芬-波尔兹曼定律，物质辐射的热量与其温度的四次方成正比，因此在这里我们用四次多项式来拟合温度与热量的关系是非常合理的。（2） 求解简单。多项式拟合省去了许多量的求解，直击问题的核心；在解决数据运算量大的问题上，创造性地提出了“下垫面等效反射率”的概念，给出不同类型的下垫面构成的宏观等效，可操作性强。我们将人为排热量理想为不变，将每天的城市温度与下垫面的吸热的关系进行拟合，得出二者之间的函数关系，计算“白屋顶计划”后地面的辐射情况分别代入拟合关系，来得出“白屋顶计划”后的热岛效应。从而进行定量分析，避免了对城市的总的热量来源进行复杂的分析，合理地简化了模型。（3）模型具有可推广性，可以很方便的算出一年内任何时间的城郊温度差，亦可计算其他城市的热岛效应。5.2模型不足：（1） 没有考虑城区和郊区之间的大气热量交换，这是缓解城市热岛效应的一个因素。本模型中假设城区和郊区之间的热量交换不变，但是两者的热量交换是和温差密切相关的。进一步的分析发现，可用一次偏微分方程组对两者之间的热交换效率的进行数值量化，并将这部分热量考虑到城市的温度变化中。（2） 本模型中，在求解城市吸收的热量与大气温度的关系的时候，我们假设了一天中城市的吸热等于放热。每天的辐射热没有积累，而只考虑了夏季每天的温度波动。模型优化时，我们可以找出地面日净辐射与日温度变化的关系，再代入原模型利于微分方程对其进行模拟。（3） 由于人类活动对城区放热的因素复杂，而且考虑到这部分热量跟太阳辐射对城市的加热相差很大，模型中将其忽略了。可是，人类活动逐渐增加了城市大气中温室气体的含量，使得城市对大气长波辐射明显增强文献11。从长远来看，“白屋顶计划”会明显减少了夏季用电量，进而间接减少城市温室气体排放，这个因素的影响我们没有有效的量化。因此本模型更适用于短期效果的预测。（4） 在计算太阳辐射到地面的能量时，大气中的云量（水汽）对大气的等效反射率影响很大。本模型中我们只是笼统地将天气分为晴天、多云、阴天和雨天四种，可是一天中天气可能有多云转阴、晴转多云，甚至有晴转小雨的情况，可能使得模型有一定的误差。（5） 实施“白屋顶计划”时，屋顶油漆厚度对屋顶的反射率也有很大影响，本模型中就假设油漆厚度为一般值。亦未考虑“白屋顶计划”对经济的影响。5.3模型优化及拓展：（1） 在模型中考虑地面净辐射与温度变化量的关系，建立温度与下垫面吸热之间的微分方程模型。（2） 在模型建立后考虑，减轻热岛效应对人类用电量及二氧化碳排放量的影响，建立较为长时期内的评估模型。（3） 建立模型考虑“白屋顶计划”对经济的影响，对冬天供暖的影响，以及全面实施“白屋顶计划”的可行性。六、参考文献1李万彪,大气物理：热力学与辐射基础,北京,北京大学出版社,2010.62李源渊、李艳春,沥青路面对城市热岛效应的反射率（论文）,2009.6 3王平,颜料对太阳辐射吸收系数的测定和在功能涂料上的应用（论文）,2003.34刘文艳、耿耀明,混凝土表面太阳辐射吸收率试验研究（论文）,2004.85盛裴轩、毛节泰、李建国,大气物理学,北京,北京大学出版社,1997,76邱国全,晴天太阳辐射模型的优化计算,太阳能学报（期刊）2011.107中国气象台网站: 8宫玖兵,城市热岛与下垫面结构的关系研究学位论文硕士,2005.39王菲、肖勇全,太阳辐射引起建筑群温升的探讨,暖通空调（期刊）2005.35(4)附件：程序一：load 'E:workxishoureliang1.txt 'load 'E:workwendu.txt'heat = xishoureliang1;w=wendu;p=polyfit(w, heat, 4);pyear = linspace(min(w), max(w);fitval = polyval(p, pyear);plot(w, heat, '*', pyear, fitval, 'b')程序二：load 'E:workxishoureliang1.txt'load 'E:workxishoureliang2.txt'load 'E:workwendu.txt'heat=xishoureliang1;x=xishoureliang2;w=wendu;p=polyfit(w,heat,4)t=1:1:92;pyear = linspace(min(w), max(w);clear q;y=;s=;for ii=1:92 q(ii,1)=p(1);q(ii,2)=p(2);q(ii,3)=p(3);q(ii,4)=p(4);q(ii,5)=p(5) - x(ii); y=q(ii,1),q(ii,2),q(ii,3),q(ii,4),q(ii,5) r=roots(y); s(ii)=r(2) ii=ii+1;endplot(t, xianwendu, t, s+4,'r')title('换白屋顶前后城市温度比较');legend('换屋顶前', '换屋顶后');专心-专注-专业