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大学高等数学经典课件大学高等数学经典课件7-7-3 3 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系下面,我们举例说明.2 建立空间曲面方程的思想方法:空间曲面看成流动点的轨迹.而方程看成相应的流动坐标所满足的等式.以此思想来建立曲面方程的方法如下:在所求的曲面上任找一动点M(x,y,z)以动点所满足的条件得到等式.把坐标代入,转化为方程.高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系CLxyzof(y1,z)=0 (1)现在我们利用已知曲线方程f(y,z)=0建立 旋转曲面方程.在曲面上找一点M.它是曲线C上对应 点(同一圆上的点)M1旋转得到的.M1(0,y1,z).因为M1在C上,它满足曲线C的方程 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系因为M,M1到z轴的距离相等,有代入方程(1),得到这就是旋转曲面方程.特点:yoz平面曲线C:f(y,z)=0,绕z轴旋转.得到的旋转曲面.如果yoz平面曲线C:f(y,z)=0,绕y轴旋转.得到的旋转曲面方代入代入方程z不变.而y用方程z不变.而y用 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系旋转得到的曲面方程是x不变,把y变成成的旋转曲面的方程.解:绕x轴旋转一周,x不变,y用这曲面叫做旋转椭球面.同理,我们可以得到xoy,xoz平面上的曲线,它们绕轴旋转得到旋转曲面的方程.例如在xoy平面上的曲线f(x,y)绕x轴例3:把xoy坐标面上的椭圆绕x轴旋转一周,求所代入,就得到所求的方程 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例4 将xoy平面上的双曲线解:绕x轴一周的曲面方程为这两种曲面都叫做旋转双曲面.三三 柱柱 面面下面我们研究柱面方程.考虑母线平行于坐标轴的柱面.定义:动直线L始终平行于一固定直线B沿另一条曲线C移动而生成的曲面叫做柱面.动直线L称为母线.曲线C称为柱面的准线.当母线与准线相互垂直时,这个柱面称为直立柱面,简称柱面.绕x,y轴旋转一周,求其方程曲面方程为绕y轴一周的 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系LCB则它一定不在这空间曲面上.例:方程表示怎样的曲面.方程表示在xoy平面上圆心在坐标原点,半径为R的一个圆.在空间表示一曲面.该曲面的形状是:它不含有z坐标,因此不论空间点的z坐标,只要其横坐标和纵坐标满足方程该点必定在这空间曲面上.反之如果点不满足方程 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系二次曲线,则这种柱面叫做二次柱面.此曲面可以看成由平行于z轴的直线沿xoy平面上的圆周移动而成的,它是一个柱面,它的母线一定平行z轴.即垂直于xoy平面.准线是圆的周长.类似地,在空间直角坐标系中,方程G(x,z)=0和方程H(y,z)=0分别表示母线平行于y轴和x轴的柱面.在母线平行于坐标轴的柱面中,如果准线是坐标面上的 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系yxzzxy椭圆柱面椭圆柱面双曲柱面双曲柱面zxy抛物柱面：抛物柱面：高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系四四.二二 次次 曲曲 面面 便于图形和方程之间的关系空间解析几何中,把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面.前面我们讲过的球面,二次柱面就属于二次曲面.现在再介绍几个常见的二次曲面方程,并用平行截面法来讨论这些方程所表示的图形.研究本节的目的是:重积分一般在空间图形上积分,为了 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系由方程(4)可知这说明椭球面(4)完全包含在为x=a,y=b,z=c.a,b,c叫做椭球面的半轴.xyzabc所表示的曲面叫做椭球面.1.椭球面 方程一个以原点为中心的长方体内.这长方体的六个面的方程 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系(1)椭球面与三个坐标面的交线为xyzabc这些交线都是椭圆.(2)椭球面与平行于xoy平面的z=z1的交线(|z|c)到c,椭圆截面由大到小,最后缩小为一点.是平面z=z1内的椭圆.中心在z轴上.当z1变动时,|z1|由0增大 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系结果.特例:(10)(20)a=b=c,变成球面方程 x2+y2+z 2=a2以平面y=y1,(y1b)或x=x1,(x10)截这曲面所得到截痕为中心在z 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系两它的个半轴分别为和当z1变动时,这种椭圆的中心都在z轴上.原点叫做这椭圆抛物面的顶点.它的轴与z轴相重合.用平面y=y1截这曲面所得到截痕为抛物线截面椭圆随z1的增大而增大.平面z=z2(z20,q0时,它的形状如图示.高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系它的两个半轴分别为a及b.用平行于平面z=0平面z=z1截所得截痕是中心在z轴上的椭圆.它的两个半轴分别为a及b.用平行于平面z=0的平面z=z1截曲面,曲面,所得截痕是中心在z轴上的椭圆.和它的两个半轴分别为 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系(2)用坐标面xoz截曲面,所得截痕为中心在原点O的双曲线y=y1(y10)截曲面,所得截痕是中心在y轴上的双曲线.它的两个半轴的平方为和它的实轴与x轴相重合,虚轴与z轴相重合.用平面 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系于点(0,b,0)的直线,它们的方程为.(0,b,0)的直线,它们的方程为.如果如果轴.如果y1=b那么平面y=b截曲面,所得截痕为一对相交如果y1=b那么平面y=b截曲面,所得截痕为一对相交于点那么双曲线的实轴平行于x轴,虚轴平行于z轴.那么双曲线的实轴平行于z轴,虚轴平行于 x 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系(0,-b,0)的直线,它们的方程为.综上所述,可知单叶双曲面(6)的形状如图示如果y1=-b那么平面y=-b截曲面,所得截痕为一对相交于点(3)类似地,用坐标面yoz和平行于坐标面yoz的平面截曲面,得到的截痕也是双曲线,两平面x=a截曲面,得到的截痕是两对相交的直线.高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系xyzoyxz方程它进行讨论.它的形状如右图所示.所表示的曲面叫做双叶双曲面.同学可用平行截面法对 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系4.二次锥面方程所表示的曲面称为二次锥面.有时称为锥面.形状(见图)xyz若a=b,则方程(8)变为也叫做圆锥面.我们可以利用它和坐标面及其平行平面的截痕来考察其这方程表示一个以z轴为旋转轴的旋转曲面 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系xyzc1c例3 有一立体,由z=x2+y2 和所围成,求它在xoy面上的投影.分析:是圆锥面z2=x2+y2 的上半+y2=1,z=0.它是xoy平面上的单位圆.所求的立体在xoy面上投影是这单位圆所围的部分x2+y21(z=0)部分,z=x2+y2 是旋转抛物面,两个曲面的交线为平面z=1上的圆周x2+y2=1.故投影柱面是以曲线为准线,母线平行于z轴的圆柱面:x2+y2=1.于是交线在xoy面上的投影为x2结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！30
