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博弈论课件习题博弈论课件习题第一章 导论习题n一、简答题：n1、什么是博弈？博弈论的主要研究内容是什么？n2、设定一个博弈模型必须确定哪几个方面？n3、博弈有哪些分类方法，有哪些主要的类型？n首先可根据博弈方的行为逻辑，是否允许存在有约束力协议，分为非合作博弈和合作博弈两大类。n其次可以根据博弈方的理性层次，分为完全理性博弈和有限理性博弈两大类。n第三是可以根据博弈过程分为静态博弈、动态博弈和重复博弈三大类。（2）n第四是根据博弈问题的信息结构，根据博弈方是否都有关于得益和博弈过程的充分信息，分为完全信息静态博弈、不完全信息静态博弈、完全且完美信息动态博弈、完全但不完美信息动态博弈和不完全信息动态博弈几类。n第五是根据得益的特征分为零和博弈、常和博弈和变和博弈。n第六是根据博弈中博弈方的数量，可将博弈分为单人博弈、两人博弈和多人博弈。n第七是根据博弈方策略的数量，分为有限博弈和无限博弈两类。4、5、6题作为增加知识面n4.“囚徒的困境”的内在根源是什么？举出现实中囚徒的困境的具体例子。答：“囚徒的困境”的内在根源是在个体之间存在行为和利益相互制约的博弈结构中，以个体理性和个体选择为基础的分散决策方式，无法有效地协调各方面的利益，并实现整体、个体利益共同的最优。简单地说，“囚徒的困境”问题都是个体理性与集体理性的矛盾引起的。n现实中“囚徒的困境”类型的问题是很多的。例如厂商之间的价格战、恶性的广告竞争，其实都是“囚徒的困境”博弈的表现形式。n5博弈论在现代经济学中的作用和地位如何？为什么？n博弈论为现代经济学提供了一种高效率的分析工具。博弈论在分析存在复杂交互作用的经济行为和决策问题，以及由这些经济行为所导致的各种社会经济问题和现象时，是非常有效的分析工具。与其他经济分析工具相比，博弈论在分析问题的广度和深度，在揭示社会经济现象内在规律和人类行为本质特征的能力方面，都更加有效和出色。正是因为这些特点，博弈论的产生和发展引发了一场深刻的经济学革命，使得现代经济学从方法论，到概念和分析方法体系，都发生了很大的变化。（2）n博弈论既是现代经济学的重要分支，也是整个现代经济学，包括微观经济学、宏观经济学等基础理论学科，以及产业组织理论、环境经济学、劳动经济学、福利经济学、国际贸易等应用经济学科，共同的核心 分析工具。不懂博弈论就等于不懂现代经济学。世纪年代中期以来博弈论领域的经济学家已经三次获得经济学诺贝尔奖，包括年的纳什（Nash）、海萨尼（J.Harsanyi）和塞尔顿（R.Selten），年的莫里斯（James A.Mirrlees）和维克瑞（William Vickrey），年 的 阿 克 洛 夫（Akerlof）、斯 潘 斯（Spence）、斯蒂格利兹（Stiglitz）。（3）n博弈论在经济学中的地位上升这么快，首先是因为现代经济中经济活动的博弈性越来越强，因此只有用博弈论的思想和研究方法才能有效地进行研究。n其次是因为信息经济学发展的推动，因为博弈论是信息经济学最主要的理论基础。n第三是博弈论本身的方法论比较科学严密，因此结论可信度很高，揭示社会经济事物内在规律的能力比一般经济理论更强。（1）n6.博弈论的发展前景如何？n无论是从社会经济发展的客观要求，还是从经济学理论发展本身的规律来看，博弈论都有很大的发展前途。n首先，博弈理论本身具有优美深刻的本质魅力，新的分析工具和应用领域的不断发现，以及博弈论价值得到越来越充分的认识，不断吸引大量学者加入学习、研究和应用博弈论的队伍。这是博弈论继续向前发展的根本基础和保证。（2）n其次，在博弈规则的来源、博弈方的行为模式和理性等基础理论方面，博弈论还存在不少没有很好解决的问题，有待进一步研究和解决。这正是博弈论未来发展的动力所在。n第三，金融、贸易、法律等领域不断提出新的博弈论应用课题，这些应用问题和成果与博弈理论的发展之间形成了一种相互促进的良性循环。这也是今后博弈论进一步发展的巨大动力。n第四，当前合作博弈理论发展相对落后，这个领域有很大的发展潜力，很可能会孕育出引发经济学新革命的重大成果。非合作博弈和合作博弈理论的重新相互融合，也可能给博弈论的发展提出新的方向和课题。二、计算题n1、你正在考虑是否投资100万元开设一家饭店。假设情况是这样的：你 决 定 开，则 0.35 的 概 率 你 将 收 益 300 万 元(包 括 投资)，而0.65的概率你将全部亏损掉；如果你不开，则你能保住本钱但也不会有利润。请你(a)用得益矩阵和扩展形表示该博弈。(b)如果你是风险中性的，你会怎样选择？(c)如果成功概率降到0.3，你怎样选择？(d)如果你是风险规避的，且期望得益的折扣系数为0.9，你的策略选择是什么？(e)如果你是风险偏好的，期望得益折算系数为1.2，你的选择又是什么？（2）n（a）根据问题的假设，该博弈的得益矩阵和扩展形表示分别如下：（3）n2、一逃犯从关押他的监狱中逃走，一看守奉命追捕。如果逃犯逃跑有两条可选择的路线，看守只要追捕方向正确就一定能抓住逃犯。逃犯逃脱可少坐10年牢，但一旦被抓住则要加刑10年；看守抓住逃犯能得1 000元奖金。请分别用得益矩阵和扩展形表示该博弈，并作简单分析。n3、一个工人给一个老板干活，工资标准是100元。工人可以选择是否偷懒，老板则选择是否克扣工资。假设工人不偷懒有相当于50元的负效用，老板想克扣工资则总是借口扣掉60元工资，工人不偷懒老板有150元产出，而工人偷懒时老板只有80元产出，但老板在支付工资之前无法知道实际产出，这些情况是双方都知道的。请问：n（1）如果老板完全能够得出工人是否偷懒，博弈属于哪种类型？用得益矩阵或扩展形表示该博弈并作简单分析。n（2）如果老板无法看出工人是否偷懒，博弈属于哪种类型？用得益矩阵或扩展形表示并简单分析。第二章 完全信息静态博弈习题n1.上策均衡、严格下策反复消去法和纳什均衡相互之间的关系是什么？n2.为什么说纳什均衡是博弈分析中最重要的概念？n3.下面的得益矩阵表示两博弈方之间的一个静态博弈。该博弈有没有纯策略纳什均衡？博弈的结果是什么？（2）（3）（4）n这个22博弈有两个纯策略纳什均衡（M，L）和（T，R）。n由于两个纯策略纳什均衡之间没有帕累托效率意义上的优劣关系，双方利益有不一致性，因此如果没有其他进一步的信息或者决策机制，一次性静态博弈的结果不能肯定。由于双方在该博弈中可能采取混合策略，因此实际上该博弈的结果可能是个纯策略组合中的任何一个。（1）n4.求出下图中得益矩阵所表示的博弈中的混合策略纳什均衡。（2）n根据计算混合策略纳什均衡的一般方法，设博弈方 1采用 T策略的概率为p，则采用 B策略的概率为1-p；再设博弈方采用策略 L 的概率为q，那么采用策略 R的概率是1-q。根据上述概率分别计算两个博弈方采用各自两个纯策略的期望得益，并令它们相等：n2q=q+3(1-q)nP+2(1-p)=2p（3）n解上述两个方程，得p=2/3，q=3/4。即该博弈的混合策略纳什均衡为：博弈方1以概率分布2/3和1/3在 T 和 B中随机选择；博弈方2以概率分布3/4和1/4在 L和 R中随机选择。（1）n5.博弈方和博弈方就如何分10 000元钱进行讨价还价。假设确定了 以 下 规 则：双 方 同 时 提 出 自 己 要 求 的 数 额s1和 s2，0s1，s210 000。如果s1+s210 000，则两博弈方的要求都得到满足，即分别得s1和 s2，但如果s1+s2 10 000，则该笔钱就被没收。问该博弈的纯策略纳什均衡是什么？如果你是其中一个博弈方，你会选择什么数额，为什么？（2）n先讨论博弈方1的选择。根据问题的假设，如果博弈方2选择金额 s2（0 s2 10 000），则博弈方选 择s1 的利益为：nU(s1)=s1，当s1 10 000-s2nU(s1)=0，当s1 10 000-s2n博弈方1采用s1=10 000-s2时，能实现自己的最大利益U(s1)=s1=10 000-s2。因此s1=10 000-s2就是博弈方1的反应函数。（3）n博弈方2与博弈方1的利益函数和策略选择是完全相似的，因此对博弈方1所选择的任意金额s1，博弈方2的最优反应策略，也就是反应函数是s2=10 000-s1。n本博弈有无穷多个纳什均衡，所有满足该反应函数，也就是s1+s2=10 000的数组（s1，s2）都是本博弈的纯策略纳什均衡。（4）n如果我是两个博弈方中的一个，那么我会要求得到5000元。理由是在该博弈的无穷多个纯策略纳什均衡中，（5000，5000）既是比较公平和容易被双方接受的，也是容易被双方同时想到的一个，因此是一个聚点均衡。（1）n6.两寡头古诺模型，qi为厂商i的产量，Q=q1+q2为市场总产量。p为市场出清价 格，且已知p=p(Q)=a-Q，两个厂商的边际成本不同，分别为c1 和c2。如果 n 问纳什均衡产量各为多少？n如果 则纳什均衡产量又为多少？（2）n两个厂商的利润函数为：n将利润函数对产量求导并令其为得：n解得两个厂商的反应函数为：（3）n具体写为：（4）n当 时，根据上述两个厂商的反应函数，直接求出两个厂商的纳什均衡产量分别为：（5）n当 时，根据反应函数求出来的厂商产量 n这意味着厂商不会生产，这时厂商成了垄断厂商，厂商的最优产量选择是利润最大化的垄断产量n因此这种情况下的纳什均衡为（1）n7.甲、乙两公司分属两个国家，在开发某种新产品方面有下面得益矩阵表示的博弈关系（单位：百万美元）该博弈的纳什均衡有哪些？如果乙公司所在国政府想保护本国公司利益，有什么好的方法？（1）n8.运用本章的均衡概念和思想讨论下列得益矩阵表示的静态博弈。9、找出下列得益矩阵所表示的博弈的所有纳什么均衡策略组合。n 博方2n L M Rn博2 U 3,1 2,2 5,3n M 2,3 1,3 4,1n B 4,5 2,3 3,4注：注：首先用严格下策反复消去法简化博弈，其次分析选择列策略的博弈2的策略；最后求该博弈的混合策略NE。10、找出下列得益矩阵表示静态博弈的纳什么均衡。n 博方2n L M Rn博2 U 4,3 5,1 6,2n M 2,1 8,4 3,6n B 3,0 9,6 2,8注：注：11、企业甲和企业乙都是彩电制造商，它们都可以选择生产低档产品或高档产品，但两企业在选择时都不知道对方的选择。假设两企业在不同选择下的利润如以下得益矩阵所示。问：（1）该博弈有没有上策均衡？（2）该博弈的纳什均衡是什么？n 乙 高档 低档 高档甲 低档结论结论（高，低）和（低，高）；（高，低）和（低，高）；（2/3，1/3）随机决定生产高档还是低档。）随机决定生产高档还是低档。500,500 1000,700700,1000 600,600n12、两个厂商生产一种完全同质的商品，该商品的市场需求函数为Q=100-P,该厂商1和厂商2都没有固定成本。若它们在相互知道对方边际成本的情况下，同时作出的产量决策是分别生产20单位和30单位。问这两个厂商的边际成本各是多少？各自的利润是多少？第三章 完全且完美信息动态博弈习题n动态博弈分析中为什么要引进子博弈完美纳什均衡，它与纳什均衡是什么关系？n2博弈方的理性问题对动态博弈分析的影响是否比对静态博弈分析的影响更大？为什么？n。（1）n3.下面的先来后到博弈中有几个纳什均衡，子博弈完美纳什均衡是什么？（2）n根据纳什均衡的定义，不难判断（打进，和平）和（不进，打击）是本博弈的两个纳什均衡，因为这两个策略组合都满足这一条件：任一方单独改变策略不可能增加利益，相反却可能损害自己的利益。n运用逆推归纳法可以找出，（打进，和平）是本博弈惟一的子博弈完美纳什均衡，而（不进，打击）不是子博弈完美纳什均衡，因为A针对B打进的打击是不可信的威胁。（1）n如果开金矿博弈中第三阶段乙选择打官司后的结果尚不能肯定，即下图中a、b 的数值不确定。试讨论本博弈有哪几种可能的结果。如果要本博弈中的“威胁”和“承诺”是可信的，a或b应满足什么条件？（2）na代表乙的得益，b表示甲的得益。n（）a，此时本博弈的结果是乙在第一阶段不愿意借给对方，结束博弈，双方得益（，），不管这时候b 的值是多少；n（）a且b，此时博弈的结果仍然是乙在第一阶段选择不借，结束博弈，双方得益（，）；n（）a 且b，此时博弈的结果是乙在第一阶段选择借，甲在第二阶段选择不分，乙在第三阶段选择打，最后结果是双方得益（a，b）；n（）a 且b，此时乙在第一阶段会选择借，甲在第二阶段会选择分，双方得益（，）。n要本博弈的“威胁”，即“打”是可信的，条件是a。要本博弈的“承诺”，即“分”是可信的，条件是a且b。（1）n设一四阶段两博弈方之间的动态博弈如下图所示。试找出全部子博弈，讨论该博弈中的可信性问题，求子博弈完美纳什均衡策略组合和博弈的结果。（1）n三寡头市场需求函数P=100-Q，其中Q是三个厂商的产量之和，并且已知三个厂商都有常数边际成本而无固定成本。如果厂商和厂商先同时决定产量，厂商根据厂商和厂商的产量决策，问它们各自的产量和利润是多少？（2）n首先，设三个厂商的产量分别为 。三个厂商的利润函数为：（3）n根据逆推归纳法，先分析第二阶段厂商的选择。将厂商3的利润函数对其产量求偏导数并令其为得：n因此厂商3的反应函数为：（4）n再分析第一阶段厂商和厂商的决策。先把厂商的反应函数代入厂商和厂商的利润函数得：（5）n分别对 求偏导数并令为0得：n联立两个方程可解得 。再 代入厂商3的反应函数得 把三个厂商的产量代入各自的利润函数，可得三个厂商的利润分别为4802/9，4802/9和2401/9。（1）n求下列得益矩阵表示的对称博弈的颤抖手均衡。n2、设两个博弈方之间的三阶段动态博弈如下图所示。（1）若a和b分别等于100和150，该博弈的子博弈完美纳什均衡是什么？（2）L-N-T是否可能成为该博弈的子博弈完美纳什均衡路径，为什么？（3）在什么情况下博弈方2会获得300单位或更高的得益？121 L R (300,0)M N (200,200)(a,b)(50,300)n3、甲方是某国的一股企图对抗中央的地方势力，乙方是该国的中央政府，丙方是支持甲方的某种国际势力。三方之间互动制约的利益关系可用下列扩展形博弈表示，其中得益数组的第一个数字是甲方的得益，第二个数字是乙方的得益，第三个数字是丙方的利益。n（1）该博弈的均衡是什么？n（2）如何对利益数字作最小程度的改动，分别使（a）甲方选择对抗，乙方选择软弱；（b）甲方选择对抗，乙方选择强硬，丙方选择行动。甲乙丙 对抗 不对抗 (-1，1，0)强硬 软弱 (1，-1，1)(-1,-2，-2)(-2,1，-1)n9、企业甲和企业乙都是彩电制造商，都可以选择生产低档产品或高档产品，每个企业在四种不同情况下的利润如以下得益矩阵所示。如果企业甲先于企业乙进行产品选择产投入生产，即企业乙在决定产品时已经知道企业甲的选择，而且这一点双方都清楚。n（1）用扩展型表示这一博弈。n（2）这一博弈的子博弈完美纳什么均衡是什么？n 企业乙 高档 低档 高档企业甲 低档500,500 1000,700700,1000 600,600n10、乙向甲索赔1000元，并且威胁甲如果不给就同归于尽。当然甲不一定会相信就的威胁。请用扩展形表示该博弈，并找出纯策略纳什么均衡和子博弈完美纳什么均衡。n11、考虑如下的双寡头市场战略投资模型：企业1和企业2目前情况下的单位生产成本都是c=2。企业1可以引进一项新技术使单位成本降低到c=1，该项技术需要投资f.在企业1作出是否投资的决策（企业2可以观察到）后，两个企业同时选择产量。假设市场需求函数为p(q)=14-q，其中p是市场价格，q是两个企业的总产量。问上述投资额f处于什么水平时，企业1会选择引进新技术？n12、三寡头垄断市场有倒转的需求函数p(Q)=a-Q,其中Q=q1+q2+q，qi是厂商I的产量。每一个厂商生产的边际成本为常数c，没有固定成本。如果厂商1先选择q1，厂商2和厂商3观察到q1后同时选择q2和q3，问它们各自的产量是多少？n13、两个兄弟分一块冰激凌。哥哥先得出一个比例，弟弟可以接受或拒绝，接受则按哥哥的提议分割，若拒绝就自己提出一个比例。但这时候冰激凌已化得只剩1/2了。对弟弟提议的比例哥哥也可以接受或拒绝，若接受则按弟弟的提议分割，若拒绝九冰激凌会全部化掉。因为兄弟之间不应该做损人不利已的事，因此我们假设接受和拒绝利益相同时兄弟俩都会接受。求该博弈的子博弈完美NE。如果冰激凌每阶段只化掉1/3，博弈的子博弈完美NE是什么？哥弟哥 出S1 接受 不对抗 (S1，1-S1)接受 不接受 (1/2S2，1/2(1-S2)(0,0)n14、如果学生在考试之前全面复习，考好的概率为90，如果学生只复习一部分重点，则有50的概率考好。全面复习花费的时间t1=100小时，重点复习只需要花费t1=20小时。学生的效用函数：U=W-2e，其中W是考试成绩，有高低两种分数Wh和Wt，e为努力学习的时间。问老师如何才能促使学生全面复习？n 全面 重点 高分(0.9)低分(0.1)高分(0.5)低分(0.5)（Wh-200)(Wt-200)（Wh-40)(Wt-40)n15、某人正在打一场官司，不请律师肯定会输，请律师后的结果与律师的努力程度有关。假设当律师努力工作（100小时）时有50的概率能赢，律师不努力工作（10小时）则只有15的概率能赢。如果诉讼获胜可得到250万元赔偿，失败则没有赔偿。因为委托方无法监督律师的工作，因此双方约定根据结果付费，赢官司律师可获赔偿金额的10，失败则律师一分钱也得不到。如果律师的效用函数为m-0.05e，其中m是报酬，e是努力小时数，且律师有机会成本5万元。求这个博弈的均衡。122 委托 不委托 (0,5)接受 拒绝 (0，5)努力 不努力 赢0.5 输0.5 赢0.15 输0.85 (225,20）（0,-5）(225,24.5）（0,-0.5）00第四章 重复博弈n1、如果T次重复齐威王田忌赛马，双方在该重复博弈中的策略是什么？博弈结果如何？n2、有限次重复博弈和无限次重复博弈有什么区别？这些区别对我们有什么启发？3、两次重复下面的得益矩阵表示的静态博弈。如果你是博弈方1，你会采用怎样的策略。n 博方2n L M Rn博2 U 3,1 1,0 1,1n M 2,1 8,7 12,0n B 1,1 0,11 10,10注：注：NE(T,L)和.(M,R)4、两次重复下面的得益矩阵表示的两人静态博弈。问能否有一个子博弈完美纳什均衡策略组合，实现第一阶段的得益是（4，4）？如能，给出双方的策略，如不能，证明为什么不能。如果策略组合（下，左）的得益改为（1，5）会发生什么变化，至少能在部分阶段实现得益(4,4)的条件是什么？n 博方2n 左 中 右n博2 上 3,1 1,0 1,1n 中 2,1 8,7 12,0n 下 1,1 0,11 10,10注：注：NE(上,左)和.(中,中)5、求出下列得益矩阵表示的静态博弈的纳什均衡，并说明有限次和无限次重复该博弈时两博弈方的均衡策略。n 博方2n L Rn博2 T 8,6 4,10n M 4,8 6,4n D 2,0 0,2注：注：6、试分析三次重复下列得益矩阵表示的两人对称静态博弈的均衡和效率。n 博方2n A B Cn博2 A 1,1 5,0 0,0n B 0,5 4,4 0,0n C 0,0 0,0 3,3注：注：NE(A,A)和.(C,C)7、若10次重复下先来后到博弈，SPNE？n n 打进 不进 （0,10）打击 和平（-2,3）（5,5）BA结论结论 ：10个重复博弈的SPNE就是重复原博弈G的子博弈纳什均衡。这就有有名的“连锁店悖论。n8、寡头的古诺产量博弈中，如果市场需求P=130-Q,边际成本c=30且没有固定成本，帖现因子=0.9。如果该市场有长期稳定性，问两个厂商能否维持垄断产量？9、两人合作开发一项产品，能否成功与两个人的工作态度有关，设成功概率如下：n得益矩阵如下：n B 努力 偷懒A 努力 9/16 3/8 偷懒 3/8 1/4 再假设成功时每人有4单位利益，失败则双方都没有利益，偷懒本身有1单位利益。n则得益矩阵如下：n B 努力 偷懒A 努力 9/4，9/4 3/2，5/2 偷懒 5/2，3/2 2，2问题：该博弈无限次重复博弈的均衡？第六章 不完全信息静态博弈（此章不考）n1、静态贝叶斯博弈中博弈方的策略有什么特点？为什么？n静态贝叶斯博弈中博弈方的一个策略就是他们针对自己各种可能的类型如何作相应选择的完整计划。或者换句话说，静态贝叶斯博弈中博弈方的策略就是类型空间到行为空间的一个函数，可以是线性函数，也可以是非线性函数，当博弈方的类型只有有限几种时是线性函数，也可以是非线性函数，当博弈方的类型只有有限几种时是离散函数，当博弈方的类型空间是连续区间或空间时则是连续函数。只是一种类型的博弈方的策略仍然是一种行为选择，但我们同样可以认为是其类型的函数。n静态贝叶斯博弈中博弈方的策略之所以必须是针对自己所有可能类型的函数，原因是博弈方相互会认为其他博弈方可能属于每种类型，因此会考虑其他博弈方所有各种可能类型下的行为选择，并以此作为自己行为选择的根据。因此各个博弈方必须设定自己在所有各种可能类型下的最优行为，而不仅仅是考虑针对真实类型的行为选择。n2、贝叶斯纳什么均衡与完美贝叶斯均衡是什么关系？静态贝叶斯博弈分析中为什么要引进贝叶斯纳什么均衡概念？n贝叶斯纳什均衡是完美贝叶斯均衡在静态贝叶斯博弈中的特殊形式，因此贝叶斯纳什均衡一定是完美贝叶斯均衡，但完美贝叶斯均衡不一定是贝叶斯纳什均衡。n在静态贝叶斯博弈分析中引进贝叶斯纳什均衡概念的优点是，使得我们对这种特定类型的博弈分析更加程式化、方便和有条理。