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信号与系统信号与系统 第二章第二章徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院本章要点本章要点1、系统方程的建立与求解、系统方程的建立与求解2、系统零输入响应与零状态响应的求解、系统零输入响应与零状态响应的求解3、冲激响应与阶跃响应、冲激响应与阶跃响应4、卷积积分及其性质、卷积积分及其性质5、利用卷积积分求系统的零状态响应、利用卷积积分求系统的零状态响应徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院 系统分析的任务，由激励和系统本身，求解系统系统分析的任务，由激励和系统本身，求解系统的响应，时域分析法，变换域分析法。的响应，时域分析法，变换域分析法。2.1 引引 言言时域分析法：经典法，时域分析法：经典法，卷积法卷积法一、系统的数学建模一、系统的数学建模1、目的：列出系统输入，输出的方程、目的：列出系统输入，输出的方程2、方法：、方法：（1）明确）明确e（t）和）和r(t)(2)根据电路系统约束条件，列出系统方程根据电路系统约束条件，列出系统方程A、电路结构的约束条件、电路结构的约束条件 KCL KVLB、电路元件的约束条件、电路元件的约束条件（3）整理化简）整理化简徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院电阻电阻i(t)+-U(t)U(t)=i(t)*R电容电容+-电感电感i(t)i(t)+-电压不能突变电压不能突变电流不能突变电流不能突变徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院i1i2L1L2+-u1+-u2+-+-i1i2L1L2互感互感徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院例例.对图示电路，写出激励对图示电路，写出激励e(t)e(t)和响应和响应r(t)r(t)间的微分方程。间的微分方程。解：由图列方程解：由图列方程 KCL:KVL:徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院将（将（2 2）式两边微分，得）式两边微分，得 将（将（3 3）代入（）代入（1 1）得）得徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院3、系统方程的一般形式、系统方程的一般形式n阶常系数微分方程徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院二、系统的古典解二、系统的古典解完全解齐次通解非齐次特解完全解齐次通解非齐次特解1、求齐次解、求齐次解步骤步骤:(1)写出微分方程的特征根写出微分方程的特征根（2）求出特征根）求出特征根 （3）写出齐次解）写出齐次解A各特征根各不相同各特征根各不相同徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院B、是特征方程的是特征方程的k重根重根C、特征根为复数根特征根为复数根2、求特解、求特解令令代入代入e(t)求出求出f(t)(1)若若f(t)=c,则特解的形式为则特解的形式为代入系统方程求出待定系数代入系统方程求出待定系数B（2）若）若f(t)为为t的多项式，最高次为的多项式，最高次为则则徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院（3）若）若则则（4）若）若则则（5）若）若则则（6）若）若则则3、方程的解、方程的解4、待定系数、待定系数的求解：由系统的初始条件定的求解：由系统的初始条件定徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院 代入初始条件代入初始条件r(0),严格定义是严格定义是r(0+),若已知若已知r(0-)要根据电路要根据电路系统的约束关系求出系统的约束关系求出r(0+)解上式方程组定出从解上式方程组定出从c1,c2cn徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院三、系统响应三、系统响应r(t)的物理意义的物理意义(1)(2)全响应自由响应受迫响应全响应自由响应受迫响应自由响应：响应只和系统本身有关，而于所加激励无关自由响应：响应只和系统本身有关，而于所加激励无关受迫响应：响应由激励函数受迫响应：响应由激励函数e(t)的具体形式而定的具体形式而定（3）r(t)=rzi(t)+rzs(t)（4）全响应暂态响应稳态响应）全响应暂态响应稳态响应暂态响应：暂态响应：稳态响应：稳态响应：徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院2.2系统方程的算子表示系统方程的算子表示一、定义一、定义1、微分算子、微分算子 2、积分算子、积分算子 徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院二、算子符号的一般运算规则二、算子符号的一般运算规则。等式两边不能同等式两边不能同 除以除以p徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院三、系统方程的算子表示三、系统方程的算子表示徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院+-i(t)i(t)+-徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院四、物理意义四、物理意义H(p)e(t)r(t)H(p)与系统本身有关与系统本身有关H(p)与系统方程的关系、与系统方程的关系、H(p)与系统零输入响应的关系与系统零输入响应的关系H(p)系统函数系统函数徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院2.3系统的零输入响应系统的零输入响应The Zero Inputs Respond of System一、物理意义一、物理意义H(p)e(t)0初始条件初始条件rzi(t)二、求解二、求解N个特征根个特征根B、是特征方程的是特征方程的k重根重根徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院由系统的初始条件求由系统的初始条件求由于没有激励，故响应不会突变由于没有激励，故响应不会突变思考：思考：Rzi(t)是否完全等于是否完全等于rh(t)徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院2.4奇异函数奇异函数奇异函数奇异函数是指函数本身或其导数（或积分）具有不连续是指函数本身或其导数（或积分）具有不连续点的函数。点的函数。*一、单位阶跃函数一、单位阶跃函数 unit step function unit step function 1.1.定义定义 此函数在此函数在t=0t=0处不连续，函数值未定义。处不连续，函数值未定义。徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院2.物理模型物理模型 可代替电路中的开关，故又称为开关函数。可代替电路中的开关，故又称为开关函数。徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院tt3.、应用、应用 给函数的表示带来方便给函数的表示带来方便徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院(a)(b)(c)徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院例：例：徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院*二二.1 1、定义、定义unit impulse function徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院或徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院2、物理模型：、物理模型：打乒乓球时，球和板子接触的那一刻；打乒乓球时，球和板子接触的那一刻；锤子钉钉子锤子钉钉子 电学：理想电压源接电容电学：理想电压源接电容 3、应用、应用徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院3、应用（续）、应用（续）徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院三、两者关系：单位阶跃函数，单位冲激函数三、两者关系：单位阶跃函数，单位冲激函数徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院单位斜变函数单位斜变函数R(t)R(t)徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院2.5 2.5 信号的时域分解信号的时域分解Time Domain Decompose of Signal一、信号分解的思想一、信号分解的思想把一个复杂的信号分解成若干个简单信号的线性叠加奇异信号把一个复杂的信号分解成若干个简单信号的线性叠加奇异信号应用：激励是若干个简单信号的叠加，应用线性系统的叠应用：激励是若干个简单信号的叠加，应用线性系统的叠 加性，则系统的响应是这若干个简单信号各自响应的加性，则系统的响应是这若干个简单信号各自响应的 叠加。叠加。二、分解的方法二、分解的方法1、脉冲信号的分解、脉冲信号的分解徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院 例1.有始周期锯齿波的分解徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院2、一般信号的分解、一般信号的分解（1）f（t）分解成阶跃信号的叠加）分解成阶跃信号的叠加徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院（2）用冲激函数表示）用冲激函数表示f（t）徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院2.6冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应一、冲激响应一、冲激响应1.定义定义：当激励为单位冲激函数当激励为单位冲激函数 时，系统的零状态响应时，系统的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用称为单位冲激响应，简称冲激响应，用h(t)h(t)表示。表示。零状态零状态2.冲激响应冲激响应h(t)的求解的求解徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院（1）nm徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院（2）n=m徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院(3)nm 除了含有指数项冲激函数外，还含有冲激函数的各阶导数除了含有指数项冲激函数外，还含有冲激函数的各阶导数徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院二、阶跃响应二、阶跃响应1.1.定义定义三、冲激响应与阶跃响应的关系三、冲激响应与阶跃响应的关系徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院 证明：证明：徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院例：系统例：系统求该系统的冲激响应和阶跃响应。求该系统的冲激响应和阶跃响应。解：解：徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院2.7卷积及其性质卷积及其性质信号分解信号分解系统响应系统响应H(p)integral and the property徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院 一、卷积定义一、卷积定义：徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院二、卷积的计算（图解法）二、卷积的计算（图解法）徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院0.5徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院三、常见信号的卷积公式三、常见信号的卷积公式 见课本见课本推导推导徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院四、卷积的基本性质四、卷积的基本性质 见课本见课本(1)(1)交换律：交换律：(2)(2)分配律：分配律：(3)(3)结合律：结合律：(4)(4)微分积分性：微分积分性：推导推导徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院（6）尺度变换）尺度变换例：已知例：已知则则 （5）徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院卷积计算方法：卷积计算方法：（1）定义）定义 （2）卷积的图解法）卷积的图解法 （3）公式法：应用常见信号的卷积公式、卷积的基本性质）公式法：应用常见信号的卷积公式、卷积的基本性质徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院计算卷积计算卷积方法一：定义方法一：定义方法二：公式方法二：公式方法三：性质方法三：性质方法四：图解法方法四：图解法徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院例：例：例：已知某例：已知某LTI系统，初始状态为系统，初始状态为0，输入信号，输入信号在该输入下的响应为在该输入下的响应为又已知输入信号为又已知输入信号为时，系统响应为时，系统响应为，求该系统的冲激响应，求该系统的冲激响应 。徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院解：因为所以徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院例例:(1)已知已知求求f(t)(2)已知已知求求f(t)分析：分析：(1)(2)已知已知徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院例：绘出下列波形函数的卷积结果的波形例：绘出下列波形函数的卷积结果的波形*例：某例：某LTI系统，输入激励系统，输入激励 时零状态响应时零状态响应求求徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院解：徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院解：问：徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院总结：线性系统响应的时域求解总结：线性系统响应的时域求解系统方程系统方程零输入响应零输入响应冲激响应冲激响应无重无重根根零状态响应零状态响应徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院全响应零输入响应零状态响应全响应零输入响应零状态响应自由响应受迫响应自由响应受迫响应暂态响应稳态响应暂态响应稳态响应徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院例：已知系统例：已知系统时，时，例：已知系统的冲激响应为例：已知系统的冲激响应为 求求:(1)系统的转移算子系统的转移算子 （2）求）求 （3）当）当 时，系统的全响应时，系统的全响应解：解：徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院例：已知系统的微分方程为例：已知系统的微分方程为求全响应求全响应解：徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院R1R2例：例：电容起始电压为电容起始电压为0，求输出信号求输出信号解：徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院e(t)r(t)h1(t)h1(t)h2(t)h3(t)例：求总系统的冲激响应h(t)解：徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院例：已知某系统初始状态不为例：已知某系统初始状态不为0，并且，并且时，响应时，响应时，响应为时，响应为求：求：1、系统的零输入响应、系统的零输入响应 2 时的响应时的响应分析：分析：（1）（2）求此系统的响应、解方程求此系统的响应、解方程徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院第二章作业第二章作业2.12.4(1)2.5(1)2.72.82.102.15(3)(5)2.162.17(d)(e)2.202.23