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孙会元固体物理基础第四章晶格振动和晶体的热性质47非简谐效应4.7 非简谐效应非简谐效应 在简谐近似的情况下，晶格原子振动可描述为在简谐近似的情况下，晶格原子振动可描述为3N个线性独立的谐振子的迭加，各振子间不发个线性独立的谐振子的迭加，各振子间不发生作用，也不交换能量；生作用，也不交换能量；晶体中某种声子一旦产生，其数目就一直保晶体中某种声子一旦产生，其数目就一直保持不变，既不能把能量传递给其他声子，也不持不变，既不能把能量传递给其他声子，也不能使自己处于热平衡状态。能使自己处于热平衡状态。也就是说也就是说,在简谐晶体中在简谐晶体中,声子态是定态声子态是定态,携带携带热流的声子分布一旦建立热流的声子分布一旦建立,将不随时间变化将不随时间变化(表明表明弛豫时间为无穷大弛豫时间为无穷大),这意味着无限大的热导率这意味着无限大的热导率.两个声子的碰撞过程也可以满足两个声子的碰撞过程也可以满足 称为称为倒逆过程倒逆过程(Umldapp process)或或U过程，也叫反过程，也叫反转过程转过程。显然对于三声子碰撞过程来说，显然对于三声子碰撞过程来说，N过程意味着波矢过程意味着波矢q1+q2=q3始终在第一布里渊区内，且方向大致相同，始终在第一布里渊区内，且方向大致相同，因而不改变热流的基本方向因而不改变热流的基本方向.而而U过程则要求波矢过程则要求波矢q1+q2在第一布里渊区以外，导在第一布里渊区以外，导致致q3几乎与几乎与q1+q2方向相反方向相反.N过程过程U过程过程 反常过程可以认为是碰撞的同时发生了布拉格反射反常过程可以认为是碰撞的同时发生了布拉格反射的结果，它是产生热阻的一个重要机制。的结果，它是产生热阻的一个重要机制。2.晶格的热传导和热导率晶格的热传导和热导率 我们在第一章已经讨论过金属的热传导，金属主要我们在第一章已经讨论过金属的热传导，金属主要是自由电子气体对热能的输运。对于晶格而言，我们是自由电子气体对热能的输运。对于晶格而言，我们可以认为晶格中存在大量的可以认为晶格中存在大量的声子气体声子气体，声子是热能的，声子是热能的携带者。声子属于波色子，满足波色统计，即携带者。声子属于波色子，满足波色统计，即 显然温度高的地方，声子数目就多；温度低的地方，显然温度高的地方，声子数目就多；温度低的地方，声子数目就少。从而由于温度梯度的存在，将导致声声子数目就少。从而由于温度梯度的存在，将导致声子从高温向低温的扩散，形成热流。这是热传导的准子从高温向低温的扩散，形成热流。这是热传导的准经典解释。经典解释。类似于第一章，晶格的热导率满足类似于第一章，晶格的热导率满足 由于声子的由于声子的平均热运动速度平均热运动速度一般取成固体中的平均一般取成固体中的平均声速，所以基本上与温度无关，因而影响热导率的主声速，所以基本上与温度无关，因而影响热导率的主要是晶格比热容要是晶格比热容CV和声子的平均自由程和声子的平均自由程。其中，其中，CV为晶格比热容，为晶格比热容，为声子的平均自由程，为声子的平均自由程，为声子的平均热运动速度，常取为声子的平均热运动速度，常取固体中的平均声速固体中的平均声速。声子的平均自由程声子的平均自由程 与声子数目有关，声子数目越与声子数目有关，声子数目越多，声子之间的碰撞几率就越大，从而声子的平均自多，声子之间的碰撞几率就越大，从而声子的平均自由程由程 就越小；反之，声子数目越少，声子之间的碰就越小；反之，声子数目越少，声子之间的碰撞几率就越小，从而声子的平均自由程撞几率就越小，从而声子的平均自由程 就越大。就越大。声子数目可由波色统计给出。声子数目可由波色统计给出。高温时，声子数目满足高温时，声子数目满足:所以所以,高温时高温时,声子数目与温度成正比声子数目与温度成正比,从而导致声从而导致声子的平均自由程子的平均自由程 随温度升高而变小随温度升高而变小,即即 T-1。我们知道在高温时我们知道在高温时,也就是温度远高于德拜温度时也就是温度远高于德拜温度时,晶格比热容晶格比热容CV是一个与温度无关的常数。是一个与温度无关的常数。因此因此T D时，晶格的热导率随温度的升高而变小，时，晶格的热导率随温度的升高而变小，满足满足 T-1。所以，声子数目随温度的升高成指数规律变小，从所以，声子数目随温度的升高成指数规律变小，从而导致声子的平均自由程而导致声子的平均自由程 随温度升高而成指数规律随温度升高而成指数规律变大，即变大，即 e A/T。低温下，低温下，T D时，声子数目满足时，声子数目满足 此外，此外，TD时，晶格比热容时，晶格比热容CV满足德拜三次方定满足德拜三次方定律，即律，即CV T3。所以，所以，TD时，晶格热导率满足时，晶格热导率满足 T3eA/T。显然显然T0时，声子的平均自由程时，声子的平均自由程，从而导致，从而导致晶格热导率晶格热导率。对于对于完整的晶体完整的晶体，即不存在杂质和缺陷的，即不存在杂质和缺陷的晶体，则晶体，则声子的平均自由程声子的平均自由程 等于晶体的线度等于晶体的线度D，是一个常数。，是一个常数。实际上热导系数并不会趋向无穷大，因为实际上热导系数并不会趋向无穷大，因为在实际晶体中存在杂质和缺陷，声子的平均自在实际晶体中存在杂质和缺陷，声子的平均自由程不会非常大。由程不会非常大。所以所以TD时，晶体比热时，晶体比热CV为常数，为常数，导致热膨胀系数导致热膨胀系数 为常数；为常数；在在很低温度下很低温度下,TD时时,晶格比热晶格比热CV T 3，所，所以热膨胀系数以热膨胀系数 T 3；在在更低温度更低温度(10K左右左右)，对于，对于金属金属，由于电子，由于电子气的作用，热膨胀系数气的作用，热膨胀系数 T。结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！29