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数字逻辑与数字系统数字逻辑与数字系统第一章 开关理论基础n数制与编码n逻辑函数n布尔代数n卡诺图n集成门电路的外特性1.1 数制与编码1.1.1 进位计数制 就是一种按进位方式实现计数的制度，简称进位制。a.十进计数制 数字符号：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9；“.”进位规则：“逢十进一”例如：234.6 百位2代表200，十位3代表30，个位4代表4，小数点后为十分位6代表6/10234.6=2102+3101+4100+610-1位置记数法/并列表示法多项式表示法/按权展开式1.1.1 进位计数制n任何一个十进制数N的两种表示方法：1.位置记数法：(N)10=(kn-1kn-2k1k0.k-1k-2k-m)10n-表示整数位数 m-表示小数位数 Ki 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 0 Ki 92.多项式记数法:(N)10=kn-110n-1+k0100+k-110-1+k-m10m =ki10i n-1 i=-m 权值1.1.1 进位计数制b.任意的R进制 位置记数法：(N)R=(kn-1kn-2k1k0.k-1k-2k-m)R 多项式记数法:=ki10i n-1 i=-m R-基数 0 ki R-1(N)R=kn-110n-1+k0100+k-110-1+k-m10m注意：注意：1.下标基数R一律规定为十进制数，计数规则“逢R进一”2.对于R进制数在R进制形式下表示应写成“10”，读“么”，“零”1.1.1 进位计数制例如：基数 R=(2)10=(10)2 R=(16)10=(10)16(14)10=(1110)2=(112)3=(32)4=(E)16R=10R=2R=3R=4R=8R=16000000111111210222231110333410011104451011211556110201266711121137781000222010891001100211191010101012212A1110111022313B1211001103014C1311011113115D1411101123216E1511111203317F16100001211002010171000112210121111.1.2 数制转换 一个数从一种进位计数制表示法转换成另一种进位计数制表示法，即(N)(N)多项式替代法基数乘除法多项式替代法：将被转换进制数以多项形式展开，把其所有数字符号和10基数都一一用进制对应的符号替代，然后在进制下计算结果。例1：(101010.1)2=(1105+0104+1103+0102+1101+0100+110-1)2 =(125+024+123+022+121+020+12-1)10 =(32+8+2+0.5)10=42.51.1.2 数制转换例2 (121.2)3 转换为二进制数(1)3 (1)2 (2)3 (10)2 基数(10)3=(11)2(121.2)3=(1102+2101+1100+210-1)3=(1112+10111+1110+1011-1)2=(1001+110+1+0.101010)2=(10000.101010)2注：此种转换方法一般要求进制的运算要熟悉1.1.2 数制转换基数乘除法：(N)(N)与多项式替代法不同点：转换计算是在进制中进行，与多项式替代法正好相反的过程 整数转换与小数转换的方法不同整数：基数除法小数：基数乘法将被转换的进制数，在进制运算规则下除以进制的基数(以进制表示)，得到的余数用进制的数字符号代替，即得转换后的最低位，然后再将商以同样方法求得次低位，以此类推直到商为零为止。1.整数转换（基数除法）1.1.2 数制转换例 (2803)10=(?)1616 2803160余数31510转成16进制3FA结果：(2803)10=(AF3)1617516 101.1.2 数制转换例 (35)10=(?)2 2 354余数11结果：(35)10=(100011)2178222221200001转成2进制1100011.1.2 数制转换1.小数转换（基数乘法）(101010.1)2=(42.5)10(121.2)3=(10000.101010)2前面的例子：小数与整数转换的差别：有时不能精确转换例如：(0.1)3=(0.33333)10(N)(N)小数位数的确定：j log10()log10()klog10()log10()k+1k-进制小数位j-进制小数位1.1.2 数制转换转换方法：将被转换的进制数，在进制运算规则下乘以进制的基数(以进制表示)，取出结果的整数位用进制的数字符号代替，即得转换后的最高位，然后再对取过整数位的小数部分，以同样方法求得次高位，以此类推直到满足转换位数要求止。(N)(N)例(0.4321)10=(?)16(取四位小数)16(0.4321)=6.9136整数616(0.9136)=14.61761416(0.6176)=9.8816916(0.8816)=14.105614转成16进制6E9E结果:(0.4321)10(0.6E9E)161.1.2 数制转换例(0.1285)10=(?)4 (取五位小数)0.1285 4 0.5140 42.0560 40.2240 40.8960 43.5840整数02003转成10整数02003结果：(0.1285)10(0.02003)41.1.2 数制转换任意两种进位制之间的转换(N)(N).进制的运算规则熟悉，用多项式替代法.进制的运算规则熟悉，用基数乘除法.两种进制的运算规都不熟悉，引入十进 制为桥梁，同时采用以上两种方法即：(N)(N)(N)10多项式替代法基数乘除法1.1.2 数制转换例如：(1023.23)4=(?)5N=143+042+241+340+24-1+34-2+14-3 =64+8+3+0.5+0.1875+0.015625=75.7031255 755 155 30003 0.703125 53.515625 52.578125 52.890625 54.453125(1023.23)4=(75.703125)10=(300.3224)51.1.2 数制转换 基数为k进制之间的转换设：(N)2=an-12n-1+a323+a222+a121+a020(N)8=bm-18m-1+b181+b080(N)2=(N)8两边同除以，商和余数分别相等余数相等：a222+a121+a020b0商相等：an-12n-+a23+a22+a21+a20 bm-18m-+b81+b80 a22+a21+a20b.由此可得二进制的三位对应八进制一位1.1.2 数制转换一般有k进制一位对应二进制k位例如：(AF.16C)16=(?)810101111.000101101100FA.16C75205540.(AF.16C)16=(257.0554)81.1.3 二进制编码给一个信息或符号指定一个具体的二进制码去代表它，这一过程称为二进制编码通常编码数字编码字符编码有符号数无符号数原码反码补码二进制码二-十进制码其它ASCII编码汉字编码1.1.3 二进制编码1.二进制码-自然二进制码(有权码，各位权植2i)-循环二进制码(2m-10 仅一位之差)1.1.3 二进制编码 二进制码与循环二进制码转换规则：Ci=Bi Bi+1Ci-循环二进制码第i位 Bi、Bi+1-二进制码第i位和第i+1位-模2和规则：0 0=00 1=11 0=11 1=0例如：(14)10=1 1 1 0 -二进制码 1 0 0 10-循环二进制码1.1.3 二进制编码2.二-十进制码(BCD码)四位二进制数表示十进制数的方案数：A1610=16!(16-10)!2.91010加权码-“8421”码设 a3a2a1a0-“8421”码各位权：23、22、21、20 即：8、4、2、1代表数值：8a3+4a2+2a1+1a0例如：(1000)8421=81+40+20+10=8 -十进制符号“8”00000001001000110100010101100111100010011010101111001101111011110:1:2:3:4:5:6:7:8:9:10:11:12:13:14:15:1.1.3 二进制编码编码方案：“8421”码和十进制数的转换直接按位(或组)转换例如：(43)10=(01000011)8421(1000011001010001)8421=(8651)10选择四位二进制码的前十个数表示十进制数十个数字符号，其中二进制码：1010-1111 禁止在“8421”码中出现1.1.3 二进制编码加权码-“2421”码设 a3a2a1a0-“2421”码各位权：2、4、2、1代表数值：2a3+4a2+2a1+1a0编码方案：例如:(1011)2421=21+40+21+11 =5 -十进制符号“5”选择四位二进制码的前5个数和后5个数表示十进制数十个数字符号，其中二进制码：0101-1010 禁止在“2421”码中出现1.1.3 二进制编码“2421”码是一种对 9 的自补码，即自身按位取反就得到该数对9之补的“2421”码例如：3对9之补是 9-3=63=(0011)24216=(1100)242100111100按位取反非加权码-余3码：把原“8421”码加上0011得到的代码叫余3码例如：4=(0100)8421=(0111)余3码 0100+0011=0111非加权码-格雷码：编码规则：任何两个相邻的代码只有一位二进制位不同1.1.3 二进制编码常用的BCD码第一章 开关理论基础n数制与编码n逻辑函数n布尔代数n卡诺图n集成门电路的外特性1.2 逻辑函数1.2.1 逻辑函数的基本概念逻辑函数-布尔函数-开关函数逻辑函数：设A1,A2,An是n个变量，每个变量取值0 或者取值1，令f(A1,A2,An)是A1,A2,An的一个开关函数，f的取值0 或1 由A1,A2,An的取值决定。记为:F=f(A1,A2,An)1.2.1 逻辑函数的基本概念一个开关函数的F(A1,A2,An)A1,A2,AnF(A1,A2,An)1.2.1 逻辑函数的表示方法n常用的表示方法：布尔代数方法 真值表法 逻辑图法 卡诺图法 波形图法 点阵图法 硬件描述语言表法 立方体1.2.3 基本逻辑运算n与运算 “与”运算又叫“逻辑乘”(Logic multiplication)其结果叫“逻辑积”(Logic product)F=AB 11=110=001=000=0开关电路表示：AB220 VF1.2.3 基本逻辑运算“”-“与”运算符，常将“”省去，写成F=AB111001010000FBA真值表tttABFFA BABF+5V0V5V0V5VR1.2.3 基本逻辑运算n或运算 “或”运算又叫“逻辑加”(Logic addition)其结果叫“逻辑和”(Logic sum)开关电路表示：B220 VF AF=A+B 1+1=11+0=10+1=10+0=01.2.3 基本逻辑运算“+”-“或”运算符，布尔代数式写成F=A+B111101110000FBA真值表ABF0V5V0V5VRFtttABFA B1.2.3 基本逻辑运算n非运算 “非”运算(NOT)又叫“反相”运算(Inversion),也叫“逻辑否定”(Logic negation)布尔代数式写 成 F=A开关电路表示：220 VFAF=A 0=11=01.2.3 基本逻辑运算“非”的电路一级放大器FttAFA+5VAFRR1R21.2.3 基本逻辑运算n 异或运算布尔代数式：F=AB=AB+AB011101110000FBA真值表同或运算：F=AB=AB+AB=A B.F=AB=A1=AF=AB=A0=A被称为世上最经典的25句话！1.2.3 基本逻辑运算1.2.3 基本逻辑运算a1.2.4 正逻辑、负逻辑的概念n在电路中，用电压的高低来表示逻辑值高有效信号（正逻辑）低有效信号（负逻辑）第一章 开关理论基础n数制与编码n逻辑函数n布尔代数n卡诺图n集成门电路的外特性1.3 布尔代数1.3.1 布尔代数基本规律如何判断两个逻辑函数相等：设有两个函数F1=f1(A1,A2,An)F2=f2(A1,A2,An)如果对应于A1,A2,An的任何一组取值(2n)，F1和F2的值都相等，则称F1=F2，或者F1和F2有相同的真值表1.3.1 布尔代数基本规律逻辑函数运算的优先级规定：“非”“括号”“与”“或”高低 F1=F2例如：证明F1=ABC+AC 与 F2=C(A+B)相等 A B C F1 F20 0 0 0 00 0 1 1 10 1 0 0 00 1 1 1 11 0 0 0 0 1 0 1 0 01 1 0 0 01 1 1 1 1真值表1.3.1 布尔代数基本规律A(A+B)=AB1.3.1 布尔代数基本规律包含律：AB+AC+BC=AB+AC (A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)推广：AB+AC+BCFEXY=AB+AC证明：AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC=AB+AC+ABC+ABC=AB+AC1.3.2 布尔代数运算的基本规则1.代入规则 任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的位置，都代之以一个逻辑函数F，此等式仍然成立。例如：吸收律：A+AB=A B代入XYW A+AXYW=AABC+AC=C(A+B)将函数F=A+B代入CAB(A+B)+A(A+B)=(A+B)(A+B)AB+AB=B+0B1=BB=B1.3.2 布尔代数运算的基本规则2.反演规则注意：运算符号的优先顺序F=AB+CD F=A+BC+D已知FF“”“+”“0”“1”变量变量“”“+”“0”“1”取反 求F=(A+B)(C+D)1.3.2 布尔代数运算的基本规则例如:F=B(A+CD)+E F=B+A(C+D)E证明：F=B(A+CD)+E=B+(A+CD)E=B+ACDE=B+A(C+D)E=B+A(C+D)E=B+(A+CD)+E1.3.2 布尔代数运算的基本规则2 对偶规则a.对偶式已知FF“”“+”“0”“1”变量变量“”“+”“0”“1”不变 求b.规则如果两个逻辑函数F和G相等，那么它们各自的对偶式F和G也相等。例如：ABC+AC=C(A+B)(A+B+C)(A+C)=C+AB?左式=C+(A+B)A=C+ABn“与-或”式及“或-与”式 例如：f(A,B,C)=ABC+BC+ABC “与-或”式:与项的逻辑或构成的逻辑函数1.3.2 布尔代数运算的基本规则例如：f(A,B,C)=(A+B+C)(B+C)(A+B+C)“或-与”式:或项的逻辑与构成的逻辑函数这两种形式是逻辑函数最常用形式1.3.3 利用布尔代数化简逻辑函数 目的：减少实现指定逻辑函数的成本 成本的度量和其它考虑 门的数量 电路级的数量(时延)门的扇入和扇出 互连结构的复杂性 避免冒险 引线数最少1.3.3 利用布尔代数化简逻辑函数两级实现最简形式:(1)项数最少 (2)在项数最少的条件下，项内变量数最少1.“与-或”式的化简要求：1.画出逻辑图 2.化简函数表达式 例1：逻辑函数为：F=AB+C+AC+B1.3.3 利用布尔代数化简逻辑函数 化简步骤：F=AB+C+AC+B=(A+B)C+AC+B=AC+BC+AC+B=AC+C+AC+B=C+AC+B=A+B+C1.3.3 利用布尔代数化简逻辑函数 例2：F=AB+AC+BC+CB+BD+DB+ADE(F+G)=A+BC+CB+BD+DB+ADE(F+G)=A+BC(D+D)+CB+BD+DB(C+C)=A+BCD+BCD+CB+BD+DBC+DBC=A+BD+CD+CB=ABC+BC+CB+BD+DB+ADE(F+G)=A+BC+CB+BD+DB2.“或-与”式的化简1.3.3 利用布尔代数化简逻辑函数a.利用公式b.利用对偶规则或反演规则，将“或-与”式 转化为“与-或”式进行化简=A+C(F)=F=AC例如：F=A(A+B)(A+C)F=A+AB+AC=A+AC1.3.3 利用布尔代数化简逻辑函数n布尔代数化简的局限性：n化简方法技巧性太强n难以判断最后结果是否最简n卡诺图法可以较简便地得到最简结果第一章 开关理论基础n数制与编码n逻辑函数n布尔代数n卡诺图n集成门电路的外特性1.4 卡诺图1.逻辑函数的最小项表达式a.最小项对于n个变量的逻辑函数，它的“与”项如果包含n个文字，即每个变量以原变量或反变量的形式出现一次且仅出现一次，那么这个与项就称为该函数的最小项。逻辑函数的最小项表达式 如果函数的“与-或”式全由最小项组成，这个“与-或”式就叫规范的“与-或”式，或叫最小项表达式。例如：逻辑函数的最小项表达式例如：将函数 F(A,B,C)=AB+AC 写成最小项表达形式F=AB+AC=AB(C+C)+AC(B+B)=ABC+ABC+ABC+ABC=m(1,3,6,7)注意：最小项中的变量顺序3真值表与最小项表达式的关系行 数输 入输 出反函数输出 11逻辑函数的最大项表达式 对于n个变量的逻辑函数，它的“或”项如果包含n个文字，即每个变量以原变量或反变量的形式出现一次且仅出现一次，那么这个或项就称为该函数的最大项。最大项：如果函数的“或-与”式全由最大项组成，这个“或-与”式就叫规范的“或-与”式，或叫最大项表达式。逻辑函数的最大项表达式例如：000001100101真值表与最大项表达式的关系 f(A,B,C)行 数输入 输 出1.4 卡诺图2.卡诺图的结构0213BBAA0 101ABm0m1m2m3二变量卡诺图02641375CCAAABCm0m1m2m3m7m6m4m500 01 11 1001BB三变量卡诺图1.4 卡诺图0412815139371511261410ABCD00 01 11 1000011110ABCD四变量卡诺图五变量卡诺图1.4 卡诺图六变量卡诺图 卡诺图是真值表的二维形式。1.4 卡诺图3 卡诺图的构成特点：每个最小项对应一个小方块，其下标对应的方块，或从变量所属区域直接寻找。具有对称性：每个变量以原变量和反变量形式 将卡诺图各分一半。归属性：最小项对应的方块，一定属于各自组成 的变量区域 每个最大项对应2n-1个小方块，即除去最大项 下标对应的小方块以外的区域。1.4 卡诺图 逻辑运算对应卡诺图的关系“与”-对应各自函数的公共区域（例如：最小项）“或”-对应各自函数区域的总和“非”-对应函数覆盖之外的区域“异或”-除两个函数相交部分，剩余各自和1.4 卡诺图4 怎样用卡诺图表示逻辑函数：“与-或”式 化函数为规范的“与-或”式，再 利用下标直接填入卡诺图 直接填写法例如：F=m(2,3,5,7,15)40412815139371511261410ABCD00 01 11 100001111011111ABCD1111F(A,B,C,D)=AB+AC+D111111111.4 卡诺图“或-与”式同理可得以上两种对偶方法5 卡诺图的一些重要性质 小方块的相邻 (可以是大块相邻)相邻 有共同的边界相对 同行(或列)两端相重 两个相邻图中位置相 同的小方块以上相邻的小方块只有一个变量不同的最小项，称为逻辑相邻。对于n个变量函数，每个小方块有n个相邻的小方块。卡诺图的一些重要性质 块的合并：两个同一级别的相邻块(三种情况)，可以合并成一个较大块。为了反映合并后块的不同级别，引入“维”的概念：n维块包含小方块数相邻块数n维“与”项“与”项中变量数0维块1维块2维块.n维块202122.2nn-0n-1n-2.00维与项1维与项2维与项.n维与项n-0n-1n-2.0注：这里n为逻辑函数的变量数卡诺图的一些重要性质 卡诺图上的极大块定义：不能再合并的维块称为极大块，也就是说此维 块不被其它维块包含，在卡诺图上用圈圈起来。ABCDE000 001 011 010 100 101 111 110 00011110111111111111卡诺图的一些重要性质 卡诺图的最小覆盖：用最少的极大块覆盖全部填1的块寻找最小覆盖的原则：产生所有的极大块 挑选出唯一包含0维块的所有极大块 其次尽量选择维块高的极大块 如果选择的极大块已被前面所选极大块覆盖，此块应丢掉AB用卡诺图化简逻辑函数例如：下列函数为最简“与-或”式F=5m(0,2,4,7,1012,13,18,23,26,28,29)ABCDE111111111111CCDEF=ABDE+BCD+BCDE+CDEB例如：下列函数为最简“与-或”式和最简的“或-与”式F(A,B,C,D)=ABC+BCD+BCD+CD+ABD用卡诺图化简逻辑函数ABCD111111111F=AB+CD+AD+BCF=AC+BD 运用反演规则 F=(A+C)(B+D)用多维体表示逻辑函数02641375ABC00 01 11 100111111100 x11xxx1c3c2c1000100c1c2c3010110111011001101xx100 x11x第一章 开关理论基础n数制与编码n逻辑函数n布尔代数n卡诺图n集成门电路的外特性1.5 集成门电路的外特性n标称逻辑电平 表示逻辑值1和0的理想电平值，称为 标称逻辑电平。记为U(1)=5V和U(0)=0Vn开门电平(UOH)与关门电平(UOL)逻辑值1的最小高电平称为开门电平 逻辑值0的最大低电平称为关门电平1.5 集成门电路的外特性n输入高电平电流(IIH)与输入低电平电流(IIL)IIH-拉出前级门电路输出端的电流IIL-灌入前级输出端的电流n 输出高电平电流(IOH)与输出低电平电 流(IOL)IOH-输出高电平时流出该输出端的电流IOL-输出低电平时灌入该输出端的电流1.5 集成门电路的外特性n扇入系数(Nr):门电路允许的输入端数目n扇出系数(Nc):门的输出端所能连接的下一级门输入端的个数n平均传输延迟时间(ty)ty=(t1+t2)/2UiUo50%t1t2UiUott01.5 集成门电路的外特性n空载功耗 Pon-空载导通功耗 Poff-空载截止功耗 P=(Pon+Poff)/2 平均功耗n标准小规模集成门的封装与管脚 74LS0074LS3074LS86几种逻辑系列的功耗和传播延迟 n1 ns=10-9 s；（1纳秒）TTL与非门的内部结构+5VFR4R2R13kT2R5R3T3T4T1T5b1c1ABC 任一输入为低电平（0.3V）时“0”1V不足以让不足以让T2、T5导通导通三个三个PN结结导通需导通需2.1V+5VFR4R2R13kT2R5R3T3T4T1T5b1c1ABC +5VFR4R2R13kR5T3T4T1b1c1ABC任一输入为低电平（0.3V）时“0”1Vuouo=5-uR2-ube3-ube4 3.4V高电平！高电平！输入全为高电平（3.4V）时“1”全导通全导通电位被钳电位被钳在在2.1V全反偏全反偏 1V截止截止+5VFR4R2R13kT2R5R3T3T4T1T5b1c1ABC 输入全为高电平（3.4V）时+5VFR2R13kT2R3T1T5b1c1ABC全反偏全反偏“1”饱和饱和uF=0.3V 集电极开路的与非门（OC门）集电极悬空集电极悬空无无T3,T4+5VFR2R13kT2R3T1T5b1c1ABC T3T4&符号符号！集电极开路的与非门（OC门）应用时输出端要接一上拉负载电阻RLRLUCC+5VFR2R13kT2R3T1T5b1c1ABC OC门可以实现“线与”功能&UCCF1F2F3FF=F1F2F3RL输出级输出级 UCCRLT5T5T5 FF=F1F2F3?任一导通任一导通F=0UCCRLF1F2F3F OC门可以实现“线与”功能全部截止全部截止F=1F=F1F2F3?所以：所以：F=F1F2F3UCCRLF1F2F3F OC门可以实现“线与”功能负载电阻RL和电源 UCC可以根据情况选择&J J+30V 220VJ J如RL用继电器线圈（J）替代，可以实现对其它电路的控制。三态门E-控制控制端端+5VFR4R2R1T2R5R3T3T4T1T5AB DE 01截止截止+5VFR4R2R1T2R5R3T3T4T1T5AB DE 三态门三态门10导通导通截止截止截止截止高阻态高阻态+5VFR4R2R1T2R5R3T3T4T1T5AB DE AF符号输出高阻AF=功能表低电平起作用三态门符号输出高阻AF=功能表高电平起作用三态门AF三态门主要作为TTL电路与总线间的接口电路E1、E2、E3轮流轮流接入高电平，将接入高电平，将不同数据（不同数据（A、B、C）分时送至总）分时送至总线。线。E1E2E3公公用用总总线线 ABCP26 习题 1，2，3，4，7，8，9，10，11，13，15，17