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概率统计第概率统计第2章章第一节第一节 第二章第二章 随机变量随机变量 对于随机试验而言，它的结果未必是数量化的。对于随机试验而言，它的结果未必是数量化的。为了全面研究随机试验的结果，数学处理上的方便，为了全面研究随机试验的结果，数学处理上的方便，要将随机试验的结果数量化要将随机试验的结果数量化。例例1、掷一枚硬币，掷一枚硬币，X=X(e)=1,e=H0,e=T例例3.3.测量某灯泡的寿命测量某灯泡的寿命,令令例例2 2、在在n 张已编号的考签中任抽一张，观察号码，张已编号的考签中任抽一张，观察号码，X=“抽到考签的号码抽到考签的号码”定义：定义：设设E是随机试验，它的样本空间为是随机试验，它的样本空间为则称则称实值单值实值单值函数函数 X=X(e)为随机变量。为随机变量。由于由于X的取值根据试验结果而定，而试验各结果出现有的取值根据试验结果而定，而试验各结果出现有一定的概率，所以一定的概率，所以X 取各值也有一定的概率。取各值也有一定的概率。随机变量定义在样本空间上随机变量定义在样本空间上,定义域可以是数也可以定义域可以是数也可以不是数；而普通函数是定义在实数域上的。不是数；而普通函数是定义在实数域上的。2.随机变量函数的取值在试验之前无法确定随机变量函数的取值在试验之前无法确定,有一定的有一定的概率；而普通函数却没有。概率；而普通函数却没有。随机变量的分类：随机变量的分类：随机变量随机变量非离散型随机变量非离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量其它其它 随机变量函数和普通函数的区别：随机变量函数和普通函数的区别：1.定义域不同定义域不同离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布 第二章第二章 一、离散型随机变量的定义一、离散型随机变量的定义二、常用的离散型随机变量二、常用的离散型随机变量第二、三节第二、三节定义定义1.1.若随机变量若随机变量X X的全部可能取值是有限个或可列的全部可能取值是有限个或可列无限多个无限多个,则称则称X X 是是离散型随机变量离散型随机变量。一、离散型随机变量的定义一、离散型随机变量的定义eg:抛骰子，抛骰子，X=1,2,3,4,5,6;火车站候车人数，火车站候车人数，X=0,1,2,例例 1 1设随机变量设随机变量 X X 的分布律为的分布律为解：由随机变量的性质，得解：由随机变量的性质，得该级数为等比级数，故有该级数为等比级数，故有所以所以分布律也可用如下表格的形式表示：分布律也可用如下表格的形式表示：性质：性质：定义定义2.2.设离散型随机变量设离散型随机变量的所有可能取值为的所有可能取值为,其中其中事件事件的概率：的概率：称为称为X的概率分布或分布律。的概率分布或分布律。例例2.2.设一汽车在开往目的地的道路上需经过三盏信号设一汽车在开往目的地的道路上需经过三盏信号灯，每盏信号灯以概率灯，每盏信号灯以概率允许汽车通过允许汽车通过,变量变量表示汽车停车次数表示汽车停车次数(设各信号灯的工设各信号灯的工作是相互独立的）作是相互独立的）,求求的分布律。的分布律。解解 由题意可知由题意可知的分布律为的分布律为，则，则将带入可得的分布律为.(01)分布分布定义定义1.1.如果随机变量如果随机变量的分布律为的分布律为则称则称服从参数为服从参数为的的(01)分布。分布。二、常用的离散型随机变量及其分布二、常用的离散型随机变量及其分布（0 1）分布的分布律也可写成）分布的分布律也可写成注：注：如果随机试验只有两个结果，总能定义一个服从如果随机试验只有两个结果，总能定义一个服从(0 1)分布的随机变量。分布的随机变量。1.伯努利概型伯努利概型 n重独立试验重独立试验在相同的条件下对试验在相同的条件下对试验E重复做重复做n次，若次，若n次试验中各次试验中各结果是相互独立的，则称这结果是相互独立的，则称这n次试验是次试验是相互独立相互独立的。的。伯努利概型伯努利概型设随机试验设随机试验E只有只有两种可能结果，且两种可能结果，且,将试验将试验E独立地重复进行独立地重复进行n次，则称这次，则称这n次试验次试验为为n重伯努利试验重伯努利试验，或称，或称n重伯努利概型重伯努利概型。.二项分布二项分布二项分布二项分布n重伯努利试验中重伯努利试验中,X 事件事件A发生的次数发生的次数所以所以注：注：定义定义2.2.如果随机变量如果随机变量的分布律为的分布律为则称则称服从参数为服从参数为其中其中记为记为2、二项分布、二项分布的的二项分布二项分布,特别特别,当当时时,二项分布为二项分布为这就是（这就是（01）分布，常记为）分布，常记为某班有某班有30名同学参加外语考试，每人及格的概率名同学参加外语考试，每人及格的概率解：解：例例1 1、例例2 2、设设100件产品中有件产品中有95件合格品，件合格品，5件次品，先从中件次品，先从中随机抽取随机抽取10件，每次取一件，件，每次取一件，X10件产品中的次品数，件产品中的次品数，(1)有放回的抽取，求有放回的抽取，求 X的分布律；的分布律；(2)无放回的抽取，求无放回的抽取，求 X的分布律；的分布律；(3)有放回的情况，求有放回的情况，求10件产品中至少有件产品中至少有2件次品的概率。件次品的概率。解：解：(1)A 取得次品，取得次品，P(A)=0.05,k=0,1,2,3,4,5(3)注：注：明确告知有放回抽样时，是明确告知有放回抽样时，是n重贝努利试验；若没有重贝努利试验；若没有告知，当总数很大，且抽查元件的数量相对于总数很小，告知，当总数很大，且抽查元件的数量相对于总数很小，可以当作放回抽样。可以当作放回抽样。例例3.某人购买彩票某人购买彩票,设每次买一张设每次买一张,中奖的概率为中奖的概率为0.01，共买共买800次，求他至少中奖两次的概率。次，求他至少中奖两次的概率。解解:把每次购买彩票看成一次随机试验把每次购买彩票看成一次随机试验设中奖的次数为设中奖的次数为，则，则即即由于直接计算比较麻烦由于直接计算比较麻烦,给出近似计算公式给出近似计算公式适用条件适用条件:泊松定理泊松定理设设 是一常数是一常数,是正整数是正整数,若若则对任一固定的非负整数则对任一固定的非负整数 ,有有(二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似).泊松分布泊松分布若随机变量若随机变量 X 的分布律的分布律称称服从参数为服从参数为的泊松分布的泊松分布,记为记为其中其中 是常数是常数,例例 4例例 4 4（续）（续）解：设解：设 B=B=此人在一年中得此人在一年中得3 3次感冒次感冒 则由则由BayesBayes公式，得公式，得设有设有 80 台同类型的设备，各台工作是相互独立的，台同类型的设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是发生故障的概率都是 0.01，且一台设备的故障能由，且一台设备的故障能由一个人处理一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法：考虑两种配备维修工人的方法：其一，由其一，由 4人维护，每人负责人维护，每人负责 20 台台 其二，由其二，由 3 人人,共同维护共同维护 80 台台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小的概率的大小.例例 5 解：解：按第一种方法按第一种方法.以以 X 记记 “第第 1 人负责的人负责的 20 台台中同一时刻发生故障的台数中同一时刻发生故障的台数”，则，则 X b(20，0.01）.以以 Ai 表示事件表示事件“第第 i 人负责的台中发生故障不能及人负责的台中发生故障不能及时维修时维修”，则则 80 台中发生故障而不能及时维修的概台中发生故障而不能及时维修的概率为：率为：按第二种方法按第二种方法.以以 Y 记记 80 台中同一时刻发生故障台中同一时刻发生故障的台数，的台数，则则 Y b(80，0.01）.故故 80 台中发生故障而台中发生故障而不能及时维修的概率为：不能及时维修的概率为：第二种方法中发生故障而不能及时维修的概率小，且维第二种方法中发生故障而不能及时维修的概率小，且维 修工人减少一人。修工人减少一人。运用概率论讨论国民经济问题，可以运用概率论讨论国民经济问题，可以 有效地使用人力、物力资源。有效地使用人力、物力资源。随机变量的分布函数随机变量的分布函数 第二章第二章 一、分布函数的概念一、分布函数的概念二、分布函数的性质二、分布函数的性质第四节第四节三、离散型分布函数的求法三、离散型分布函数的求法为为X 的的分布函数分布函数。设设 X 是一个随机变量，是一个随机变量，定义定义1 1的函数值的含义：的函数值的含义：上的概率上的概率.分布函数分布函数一、分布函数的概念一、分布函数的概念是任意实数，则称函数是任意实数，则称函数表示表示 X 落在落在可以使用分布函数值描述随机变量落在区间里的概率。可以使用分布函数值描述随机变量落在区间里的概率。(1)(2)同理，还可以写出同理，还可以写出二、分布函数的性质二、分布函数的性质 单调不减性单调不减性：右连续性右连续性：，且，且，则，则上述三条性质，也可以理解为判别函数是否是分布函数上述三条性质，也可以理解为判别函数是否是分布函数的充要条件。的充要条件。解解:例例1.已知随机变量已知随机变量X 的分布律为的分布律为求分布函数求分布函数当当 时时,当当 时时,当当 时时,所以，所以，观察离散型随机变量观察离散型随机变量分布函数分布函数 F(x)在在 x=xk(k=1,2,)处有跳跃，处有跳跃，其跳跃值为其跳跃值为 p k=PX=xk.Xpk-1 2 3 1 例例 2 一个靶子是半径为一个靶子是半径为 2 米的圆盘，设击中靶上任米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积面积成正比，并成正比，并设射击都能中靶，以设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离表示弹着点与圆心的距离.试试求随机变量求随机变量X的分布函数的分布函数.解：解：（1）若若 x 0时时,(,(x)的值的值.例例1、解：解：=0.8413.=0.0668.例例2.2.某电子元件的寿命服从某电子元件的寿命服从求求:1)电子元件寿命在电子元件寿命在250个小时以上的概率个小时以上的概率2)求求 k,使元件寿命在使元件寿命在 之间的概率为之间的概率为0.9解解:设设 X=“电子元件的寿命电子元件的寿命”2)由题意由题意,查表，查表，公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在机会在0.01以下来设计的以下来设计的.设男子身高设男子身高XN(170,62),问问车门高度应如何确定车门高度应如何确定?解解 设车门高度为设车门高度为h cm,按设计要求按设计要求即即0.99故故查表得查表得例例3、因为分布函数非减因为分布函数非减随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布 第二章第二章 一、离散型随机变量的函数的分布一、离散型随机变量的函数的分布二、连续型随机变量的函数的分布二、连续型随机变量的函数的分布第七节第七节一、离散型随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布例例1.设随机变量设随机变量 的分布律见下表的分布律见下表,试求随机变量试求随机变量解解:的分布律。的分布律。例例2：解解:由题意可知由题意可知的取值范围为的取值范围为二、连续型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布分布函数法解分布函数法解 题题 思思 路路例例3、设设 X 的概率密度为的概率密度为求求 Y=2 X+8 的概率密度。的概率密度。解解:由题意可知由题意可知的取值范围为的取值范围为(8,16)定理定理 设随机变量设随机变量 X X 具有概率密度具有概率密度则则 Y Y=g g(X X)是一个连续型随机变量是一个连续型随机变量 Y Y，其概率密度其概率密度为为其中其中 h h(y y)是是 g g(x x)的反函数，的反函数，即即 例例4 4均匀分布，试求电压均匀分布，试求电压V V的概率密度的概率密度.解：解：设随机变量设随机变量 X 具有具有概率密度概率密度求求 Y=X 2 的概率密度的概率密度.解：解：(1)先求先求 Y=X 2 的分布函数的分布函数 FY(y)：例例 5例例5 5（续）（续）课堂练习：课堂练习：法法1、分布函数法、分布函数法法法2、定理、定理第二章结束第二章结束请注意复习！请注意复习！