数学物理方程剖析优秀PPT.ppt

思索题一长为l的均匀柔软细绳（绳的重量忽略），其一端固定在竖直轴上。绳子和轴以匀角速 转动，试导出此绳相对水平线的横振动方程。解：由于探讨的是松软的轻绳，故弦的重力可忽视不计。取绳的平衡位置，即水平线为x轴，如图所示。oxx+dxxu在绳中取一小段dx，考虑它的受力和运动状况。oxx+dxxuT2T112设x处t时刻的位移为u(x,t)，T1和T2分别为dx微元两端所受的张力，且与水平方向的夹角为1和2.由牛顿其次定律得：x方向u方向(1)(2)由于是微小的横振动，所以oxx+dxxuT2T112那么，有(1)可知张力T只与位置有关，且所以(2)式变为故热传导问题热传导问题热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不匀整时，有热量从高温处流向低温处。几个概念：热源强度热源强度：单位时间单位体积放出的热量，记为F能量密度能量密度：单位体积内具有的能量，记为q热流强度（密度）热流强度（密度）：单位时间通过单位横截面积的热量，记为热传导定律（Fourier试验定律）：当物体内存在温差时，会产生热量流淌，热流密度与温度负梯度成正比，即其中其中k为导热系数，表示为导热系数，表示单位时间，单位面积，单位温度负梯度下的导热量。单位时间，单位面积，单位温度负梯度下的导热量。（或在单位温度梯度作用下通过物体的热流密度。）（或在单位温度梯度作用下通过物体的热流密度。）热场闭合曲面S上任选一微元S，其法线方向为那么流出S的热流为那么流入S的热流为牛顿冷却定律（Newton cooling law）：温度高于四周环境的物体向四周媒质传递热量渐渐冷却时所遵循的规律。当物体表面与四周存在温度差时，单位时间从单位面积散失的热量与温度差成正比，即其中H为热传递系数。某冬晨,警局接到报案,在街头发觉一流浪汉的尸体,6:30AM时测量其体温为 18,到7:30AM时,其体温已降到 16,若假设室外温度约维持在 10,且人体正常体温为 37,判定死亡的时间。人体在死亡后,温度调整功能随即消逝,因此由正常体温(37)与室温的比较,利用牛顿冷却定律,可以帮忙判定死亡的时间.例例4 4、热传导、热传导所要探讨的物理量：温度 依据热学中的傅立叶试验定律在单位时间内从dS流入V的热量为：在单位时间内通过S流入V的热量为 高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分）当导热介质中各点的温度分布不匀整时，有热量从高温处流向低温处，求温度随空间时间变更的规律。热场单位时间流入的热量和热源释放的热量导致V内的温度发生变更 流入的热量：温度发生变更须要的热量为：热传导方程单位时间热源释放的热量热场练习导出匀整细杆的热传导方程，设杆上x点时刻t的温度为u(x,t)，杆的比热容、密度和热源强度各位c,和F（均为常量）.1）设杆的侧面是绝热的，方程如何？2）假如杆的侧面不是绝热的，而是按牛顿冷却定律与四周环境交换热量（设环境温度u0和传热系数H 均为常量），设杆的横截面的面积和周长各为S和L，则方程如何？例例5 5、静电势、静电势电势u 确定所要探讨的物理量：依据物理规律建立微分方程：对方程进行化简：拉普拉斯方程 泊松方程 同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即特性。初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束状况的条件。二、定解条件的推导二、定解条件的推导其他条件：能够用来说明某一具体物理现象状况的条件。初始时刻的温度分布：B、热传导方程的初始条件C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件不含初始条件，只含边界条件条件A、波动方程的初始条件1、初始条件、初始条件描述系统的初始状态描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初速度留意：初始条件必需写完整，也就是要把整个体系全部点的初始态都写出来。留意：初始条件必需写完整，也就是要把整个体系全部点的初始态都写出来。2、边界条件、边界条件描述系统在边界上的状况描述系统在边界上的状况三类边界条件第一类边界条件：干脆规定了所探讨的物理量在边界上的数值，即其次类边界条件：规定了所探讨的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值，即第三类边界条件：规定了所探讨的物理量及其外法向导数的线性组合在边界的数值，即(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。2、边界条件、边界条件描述系统在边界上的状况描述系统在边界上的状况A、波动方程的边界条件(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：或：(3)弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。或YSYB、热传导方程的边界条件(1)给定温度在边界上的值S给定区域v 的边界(2)绝热状态(3)热交换状态牛顿冷却定律：H热传递系数，T四周介质的温度1 1、定解问题、定解问题三、定解问题的概念三、定解问题的概念(1)初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；(2)边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；(3)混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。定解问题的适定性（推断定解问题是否提的正确）定解问题的适定性（推断定解问题是否提的正确）一个偏微分方程的定解问题，假如它对所考察的物理现象的描述基本上是正确的，那么，它的解通常应当是存在的，唯一确定的，而且是稳定的。u解的存在性：是探讨在确定的定解条件下，方程是否有解。从自然现象归结出偏微分方程时，总要经过一些近似的过程，并提出一些附加的要求。对于比较困难的自然现象，有时也很难断定所给的定解条件是否过多，或者相互冲突。从物理意义上来看，对于合理的提出问题，解的存在似乎不成问题，因为自然现象本身给出了问题的答案。在数学上对解的存在性进行证明的必要性u解的唯一性：是探讨在已给的定解条件下，方程的解是否只有一个。从物理意义上来看，这又是一个不成问题的问题，因为在客观上，决不会在相同的条件，存在两种不同的物理过程。但是，假如所给的定解条件不够，那就不足以保证解的唯一性。u解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应的微小变动。在探讨物理现象时，对定解条件是通过测量得到的，而测量不免有误差。假如定解条件的细小误差便导致了解的极大变更，那么所考察的定解问题，事实上就不能正确的反映所想要确定的物理现象。这样，在数学上就不能保证所获得的解是实际所须要的解的近似。假如定解问题的解是稳定的，那么就可断言，只要定解条件的误差在确定的限制之间，我们所得的解就必定近似于所须要的解。