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数值分析数值分析9边值问题边值问题:2/16令令 h=1/(n+1),xj=jh,yj=jh (i,j=0,1,n+1)记记 ui,j=u(xi,yj),(i,j=0,1,n+1)(i,j=1,n)u0,j=0,ui j=u(xi,yj)ui,0=0,ui,n+1=03/16 AU=f,ui jai j例例4.1特点特点:系数矩阵主系数矩阵主对角元均不为零对角元均不为零计算格式计算格式 X(1)=B X(0)+f取取 X(0)=4/16 X*1.0000 1.0000 1.0000 X(0)0 0 0 X(1)0.7778 0.8000 0.8667 X(2)0.96300.96440.9778 X(3)0.99290.99350.9952计算格式计算格式:X(k+1)=BX(k)+f准确解准确解 X(4)0.99870.99880.99915/16雅可比雅可比迭代法迭代法(i=1,2,n;k=1,2,)取初始向量取初始向量X(0)=x1(0)x2(0)xn(0)T,迭代计算迭代计算(i=1,2,n)6/16迭代法适用于解迭代法适用于解大型稀疏方程组大型稀疏方程组(万阶以上的方程组万阶以上的方程组,系数矩阵中零元素占很系数矩阵中零元素占很大比例大比例,而非零元按某种模式分布而非零元按某种模式分布)背景背景:电路分析、边值问题的数值解和数学电路分析、边值问题的数值解和数学物理方程物理方程问题问题:(1)如何构造迭代格式如何构造迭代格式？(2)迭代格式是否收敛迭代格式是否收敛？(3)收敛速度如何收敛速度如何？(4)如何进行误差估计如何进行误差估计？7/16(i=1,2,n)高斯高斯-赛德尔赛德尔迭代法迭代法(i=1,2,n;k=1,2,)取初始向量取初始向量x(0)=x1(0)x2(0)xn(0)T,迭代计算迭代计算8/16例例8/16雅可比迭代算法雅可比迭代算法A=9-1-1;-1 10-1;-1-1 15;b=7;8;13;x=0;0;0;er=1;k=0;while er0.00005 er=0;k=k+1;for i=1:3 s=0;t=x(i);x(i)=0;for j=1:3 s=s+A(i,j)*x(j);end x(i)=t;y(i)=(b(i)-s)/A(i,i);er=max(abs(x(i)-y(i),er);end x=y;xend0.7778 0.8000 0.86670.9630 0.9644 0.97190.9929 0.9935 0.99520.9987 0.9988 0.99910.9998 0.9998 0.99981.0000 1.0000 1.00001.0000 1.0000 1.000010/16高斯高斯-赛德尔迭代算法赛德尔迭代算法A=9-1-1;-1 10-1;-1-1 15;b=7;8;13;x=0;0;0;er=1;k=0;while er0.00005 er=0;k=k+1;for i=1:3 s=0;t=x(i);x(i)=0;for j=1:3 s=s+A(i,j)*x(j);end x(i)=(b(i)-s)/A(i,i);er=max(abs(x(i)-t),er);end xend 0.7778 0.8778 0.9770 0.9839 0.9961 0.9987 0.9994 0.9998 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.000011/16雅可比雅可比 迭代法的矩阵表示迭代法的矩阵表示将方程组将方程组AX=b 的系数矩阵的系数矩阵 A 分解分解 A=D U LAX=b =DX(k+1)=(U+L)X(k)+bX(k+1)=D-1(U+L)X(k)+D-1b记记BJ=D-1(U+L)X(k+1)=BJX(k)+fJ12/16雅可比迭代矩阵雅可比迭代矩阵13/16高斯高斯-赛德尔迭代法的矩阵表示赛德尔迭代法的矩阵表示(i=1,2,n)(D L)X(k+1)=b+UX(k)X(k+1)=(D L)-1b+(D L)-1UX(k)14/16记记 BG-S=(D L)-1U,fG-S=(D L)-1b 高斯高斯-赛德尔迭代格式赛德尔迭代格式:X(k+1)=BG-SX(k)+fG-S15/16矩阵分裂导出矩阵分裂导出 的迭代法的迭代法A=M N (要求要求M为可逆矩阵为可逆矩阵)AX=b (M N)X=b MX=NX+b X(k+1)=(M-1N)X(k)+M-1b取取 M=D 雅可比迭代法雅可比迭代法 A=D (D A)X(k+1)=D-1(D A)X(k)+b X(k+1)=X(k)+D-1b AX(k)思考思考:取取 将导致什么样的迭代法？将导致什么样的迭代法？16/16