第二章 逻辑代数基础.ppt

第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学思思 考考 题题1逻辑代数逻辑代数与普通代与普通代数运算规数运算规则不同处则不同处2逻辑代数逻辑代数为什么要为什么要进行化简进行化简3逻辑代数逻辑代数表达式类表达式类型为什么型为什么要转换要转换数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础基本概念基本概念逻辑：事物的因果关系逻辑：事物的因果关系逻辑运算的数学基础：逻辑运算的数学基础：逻辑代数逻辑代数在二值逻辑中的变量取值：在二值逻辑中的变量取值：0/10/1数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学2.1 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算与与（AND）或或（OR）非非（NOT）以以A A=1=1表示开关表示开关A A合上，合上，A A=0 0表示开关表示开关A A断开；断开；以以B=1B=1表示开关表示开关B B合上，合上，B=0B=0表示开关表示开关B B断开；断开；以以Y Y=1 1表示灯亮，表示灯亮，Y Y=0 0表示灯不亮；表示灯不亮；三种电路的因果关系不同：三种电路的因果关系不同：数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学与与条件同时具备，结果发生条件同时具备，结果发生Y=A AND B =A&B=AB=ABA BA BY Y0 00 00 00 10 10 01 0 00 01 1 11 1数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学或或条件之一具备，结果发生条件之一具备，结果发生Y=A OR B =A+BA BA BY Y0 00 00 00 10 11 11 0 01 11 1 11 1数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学非非条件不具备，结果发生条件不具备，结果发生 A A Y Y0 0 1 11 10 0数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学几种常用的复合逻辑运算几种常用的复合逻辑运算与非与非 或非或非 与或非与或非数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学几种常用的复合逻辑运算几种常用的复合逻辑运算异或异或A BA BY Y0 00 00 00 10 11 11 0 01 11 1 10 0数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学几种常用的复合逻辑运算几种常用的复合逻辑运算同或同或A BA BY Y0 00 01 10 10 10 01 0 00 01 1 11 1数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学2.2.1 基本公式基本公式表2.3.1为逻辑代数的基本公式，也叫布尔恒等式表2.3.1 逻辑代数的基本公式2.2 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学A 0=0A+0=AA 1=AA+1=12.交换律、结合律、分配律交换律、结合律、分配律a.交换律交换律：AB=BA A+B=B+Ab.结合律结合律：A（BC）=（AB）C A+（B C）=（AB）+Cc.分配律分配律：A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)1.关于变量与常数关系的定理关于变量与常数关系的定理逻辑代数的基本公式逻辑代数的基本公式说明：由表中可以看出说明：由表中可以看出数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学a.互补律：b.重叠律：A A=A A+A=Ac.非非律：d.吸收律：A+A B=A A(A+B)=A e.摩根定律：注：以上定律均可由真值表验证注：以上定律均可由真值表验证3.逻辑函数独有的基本定理逻辑函数独有的基本定理逻辑代数的基本公式逻辑代数的基本公式数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式表2.3.1 逻辑代数的基本公式数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学表2.3.2 常用公式2.2.2 若干常用公式若干常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学2.3 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理2.3.1 代入定理代入定理 任何一个含有变量任何一个含有变量A 的等式，如果的等式，如果将所有出现将所有出现 A 的位置都用同一个逻辑函的位置都用同一个逻辑函数数G来替换，则等式仍然成立。来替换，则等式仍然成立。利用代入定理可以证明一些公式，也可以将利用代入定理可以证明一些公式，也可以将前面的两变量常用公式推广成多变量的公式前面的两变量常用公式推广成多变量的公式数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学2.3.1 代入定理代入定理应用举例：应用举例：式式 A+BC =(A+B)(A+C)A+B(CD)=(A+B)(A+CD)=(A+B)(A+C)(A+D)？数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学应用举例：应用举例：2.3.1 代入定理代入定理利用代入定理可以证明一些公式，也可以将利用代入定理可以证明一些公式，也可以将前面的两变量常用公式推广成多变量的公式前面的两变量常用公式推广成多变量的公式数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学2.3 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理2.3.2 反演定理反演定理 若已知逻辑函数若已知逻辑函数Y的逻辑式，则只要将的逻辑式，则只要将Y式中所有的式中所有的“.”换为换为“+”,“+”换为换为“.”,常量常量“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”，所有，所有原原变量（不带非号）变成变量（不带非号）变成反反变量，变量，所有所有反反变量换成变量换成原原变量，得到的新函数即为变量，得到的新函数即为原函数原函数Y的的反函数反函数（补函数）（补函数）。数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学2.3.2 反演定理反演定理2.3.2 反演定理反演定理 -对任一逻辑式对任一逻辑式 变换顺序 先括号，然后乘，最后加 不属于单个变量的上的反号保留不变数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学2.3.2 反演定理反演定理应用举例：应用举例：数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学2.3.2 反演定理反演定理解：由反演定理解：由反演定理例例例例 若若若若 Y Y（A A B B）C CD D +C+C，求反函数，求反函数，求反函数，求反函数数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学2.3 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理2.3.3 对偶规则对偶规则 设设Y是一个逻辑函数，如果将是一个逻辑函数，如果将Y中所有中所有的的“+”换成与换成与“”，“.”换成与换成与“+”，“1”换成与换成与“0”，“0”换成与换成与“1”，而变量保持，而变量保持不变不变，则所得的新的逻辑式，则所得的新的逻辑式 YD 称为称为Y的的对偶式对偶式。如：如：数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学2.3.3 对偶规则对偶规则对偶规则：对偶规则：如果两个函数如果两个函数Y和和G相等，则其对偶式相等，则其对偶式YD和和GD也必然相等。利用对偶式可以证明一些常用公式也必然相等。利用对偶式可以证明一些常用公式例例 试利用对偶规则证明分配律试利用对偶规则证明分配律 ABC=(A+B)(A+C)式子成立式子成立证明：设证明：设Y ABC，G(A+B)(A+C)，则它们的，则它们的对偶式为对偶式为由于由于故故YG，即，即ABC=(A+B)(A+C)数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学2.3.3 对偶规则对偶规则证明：设证明：设则它们的对偶式为则它们的对偶式为由于由于故故YG，即即试利用对偶规则证明吸收律试利用对偶规则证明吸收律AA BAB 式子成立式子成立数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学2.4 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法真值表真值表逻辑式逻辑式逻辑图逻辑图波形图波形图卡诺图卡诺图逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法各种表示方法之各种表示方法之间可以相互转换间可以相互转换数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学真真 值值 表表输入变量输入变量A B CA B C输出输出Y Y1 1 Y Y2 2 遍历所有遍历所有可能的输可能的输入变量的入变量的取值组合取值组合输出对应输出对应的取值的取值YBA011101110000输出输入数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学逻辑式逻辑式 将输入将输入/输出之间的逻辑关系用输出之间的逻辑关系用与与/或或/非非的运算的运算式表示就得到逻辑式。式表示就得到逻辑式。如异或关系的逻辑函数可写成如异或关系的逻辑函数可写成 YA B AB 逻逻 辑辑 式式数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学逻辑图逻辑图 用用逻辑图形符号逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与逻辑电路表示逻辑运算关系，与逻辑电路的实现相对应。的实现相对应。下图表示的是异或关系的逻辑图下图表示的是异或关系的逻辑图逻逻 辑辑 图图ABY数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学波形图波形图 将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序排将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序排列起来画成时间波形，也称时序图。列起来画成时间波形，也称时序图。如如波波 形形 图图数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学卡卡 诺诺 图图 逻辑函数的卡诺图表示法逻辑函数的卡诺图表示法实质：将逻辑函数的实质：将逻辑函数的最小项之和最小项之和的以图形的方的以图形的方式表示出来式表示出来以以2n个小方块分别代表个小方块分别代表 n 变量的所有最小项，变量的所有最小项，并将它们排列成矩阵，而且使并将它们排列成矩阵，而且使几何位置相邻几何位置相邻的的两个最小项在两个最小项在逻辑上也是相邻的逻辑上也是相邻的（只有一个变（只有一个变量不同），就得到表示量不同），就得到表示n变量全部最小项的卡变量全部最小项的卡诺图。诺图。数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式最小项最小项之和之和 最大项最大项之积之积数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学两变量两变量A，B的最小项的最小项三变量三变量A，B，C的最小项的最小项逻辑函数的最小项之和的形式逻辑函数的最小项之和的形式最小项举例：最小项举例：数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学最小项的编号最小项的编号最小项最小项取值取值对应对应编号编号A B CA B C十进制数十进制数0 0 00 0 0 0 0m m0 00 0 10 0 1 1 1m m1 10 1 00 1 0 2 2m m2 20 1 10 1 1 3 3m m3 31 0 01 0 0 4 4m m4 41 0 11 0 1 5 5m m5 51 1 01 1 0 6 6m m6 61 1 11 1 1 7 7m m7 7数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学逻辑函数转化成最小项之和的形式逻辑函数转化成最小项之和的形式例：例：利用公式可将任何一个函数化为逻辑函数 最小项之和的形式数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学逻辑函数转化成最小项之和的形式逻辑函数转化成最小项之和的形式例：例：数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学卡卡 诺诺 图图 逻辑函数的卡诺图表示法逻辑函数的卡诺图表示法实质：将逻辑函数的实质：将逻辑函数的最小项之和最小项之和的以图形的方的以图形的方式表示出来式表示出来以以2n个小方块分别代表个小方块分别代表 n 变量的所有最小项，变量的所有最小项，并将它们排列成矩阵，而且使并将它们排列成矩阵，而且使几何位置相邻几何位置相邻的的两个最小项在两个最小项在逻辑上也是相邻的逻辑上也是相邻的（只有一个变（只有一个变量不同），就得到表示量不同），就得到表示n变量全部最小项的卡变量全部最小项的卡诺图。诺图。数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学表示最小项的卡诺图表示最小项的卡诺图二变量卡诺图二变量卡诺图 三变量的卡诺图三变量的卡诺图4 4变量的卡诺图变量的卡诺图数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学各种表现形式的相互转换各种表现形式的相互转换真值表真值表 逻辑式逻辑式例：奇偶判别函数的真值表例：奇偶判别函数的真值表nA=0，B=1，C=1使 ABC=1nA=1，B=0，C=1使 ABC=1nA=1，B=1，C=0使 ABC=1这三种取值的任何一种都使这三种取值的任何一种都使Y=1,所以所以 Y=?A AB B C CY Y0 00 00 00 00 00 01 10 00 01 10 00 00 01 11 11 11 10 00 00 01 10 01 11 11 11 10 01 11 11 11 10 0数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学真值表真值表 逻辑式：逻辑式：1.找出真值表中使找出真值表中使 Y=1 的输入变量取值组合。的输入变量取值组合。2.每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值为为1的写原变量，取值为的写原变量，取值为0的写反变量。的写反变量。3.将这些变量相加即得将这些变量相加即得 Y。各种表现形式的相互转换各种表现形式的相互转换数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学例例2.5.2 已知真值表如表已知真值表如表2.5.2所示，试写所示，试写出输出的逻辑函数出输出的逻辑函数解：其输出的逻辑函数为解：其输出的逻辑函数为各种表现形式的相互转换各种表现形式的相互转换数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学真值表真值表 逻辑式：逻辑式：1.找出真值表中使找出真值表中使 Y=1 的输入变量取值组合。的输入变量取值组合。2.每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值为为1的写原变量，取值为的写原变量，取值为0的写反变量。的写反变量。3.将这些变量相加即得将这些变量相加即得 Y。把输入变量取值的所有组合逐个代入逻辑式中把输入变量取值的所有组合逐个代入逻辑式中求出求出Y，列出真值表，列出真值表各种表现形式的相互转换各种表现形式的相互转换数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学例例2.5.3 写出逻辑函数写出逻辑函数YAB C 的的真值表真值表解：其真值表如表解：其真值表如表2.5.3所示所示输入输入输出输出ABCY00001111001100110101010110101110表表2.5.3各种表现形式的相互转换各种表现形式的相互转换数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学逻辑式逻辑式 逻辑图逻辑图1.用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。各种表现形式的相互转换各种表现形式的相互转换数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学例例2.5.4 画出逻辑函数画出逻辑函数Y(AB+C )(AC )B)的逻辑电路的逻辑电路解：其实现电路如解：其实现电路如图图2.5.3所示所示各种表现形式的相互转换各种表现形式的相互转换数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学逻辑式逻辑式 逻辑图逻辑图1.用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。2.从从输入到输出输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑逐级写出每个图形符号对应的逻辑 运算式。运算式。各种表现形式的相互转换各种表现形式的相互转换数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学例例2.5.5 已知逻辑电路如图已知逻辑电路如图2.5.4，试写出，试写出输出端的逻辑函数式。输出端的逻辑函数式。解：输出的逻辑式为解：输出的逻辑式为各种表现形式的相互转换各种表现形式的相互转换数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学波形图波形图 真值表真值表各种表现形式的相互转换各种表现形式的相互转换 将每个时间段内输入变量和输出的取值对将每个时间段内输入变量和输出的取值对应列表，即可得到函数的真值表。应列表，即可得到函数的真值表。数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学波形图波形图 真值表真值表各种表现形式的相互转换各种表现形式的相互转换例例2.5.6 已知图所示是某个逻辑电路的输入输出已知图所示是某个逻辑电路的输入输出波形，试画出该真值表，并判断其逻辑功能波形，试画出该真值表，并判断其逻辑功能Y YB BA A1 11 11 10 00 01 10 01 10 01 10 00 0输出输出输出输出输入输入输入输入数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学波形图波形图 真值表真值表各种表现形式的相互转换各种表现形式的相互转换例例2.5.9 已知逻辑函数的真值表如表已知逻辑函数的真值表如表2.5.9所示，所示，试画出输入输出波形。试画出输入输出波形。输入输入输出输出ABCY00001111001100110101010111001000表表2.5.9解：由真值表画出输入输出波形如解：由真值表画出输入输出波形如图图2.5.9所示所示数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学卡诺图卡诺图 真值表真值表各种表现形式的相互转换各种表现形式的相互转换根据真值表得到其卡诺图如表根据真值表得到其卡诺图如表2.6.6所示所示输入输入输出输出ABCY00001111001100110101010100110001表表2.6.5数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学卡诺图卡诺图 逻辑式逻辑式各种表现形式的相互转换各种表现形式的相互转换卡诺图用于化简逻辑函数式卡诺图用于化简逻辑函数式数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学真值表真值表逻辑式逻辑式逻辑图逻辑图波形图波形图卡诺图卡诺图各种表现形式的相互转换各种表现形式的相互转换数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学2.5 逻辑函数的化简法逻辑函数的化简法逻辑函数的最简形式逻辑函数的最简形式 最简最简与或与或 -包含的乘积项已经最少，每个乘积项的包含的乘积项已经最少，每个乘积项的因子也最少，称为最简的因子也最少，称为最简的与与-或或逻辑式。逻辑式。数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学2.5 逻辑函数的化简法逻辑函数的化简法逻辑函数的化简有两种方法逻辑函数的化简有两种方法1.公式化简法公式化简法2.卡诺图化简法卡诺图化简法 公式法化简就是利用逻辑代数的一些公式法化简就是利用逻辑代数的一些定理定理、公式公式和运算规则，消去多余的乘积项和多余的和运算规则，消去多余的乘积项和多余的因子。因子。将逻辑函数的真值表图形化，将逻辑函数的将逻辑函数的真值表图形化，将逻辑函数的最最小项之和小项之和的以的以图形图形的方式表示出来，然后完成的方式表示出来，然后完成相邻最小项的相邻最小项的合并合并。数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学反复应用基本公式和常用公式，消去多余的反复应用基本公式和常用公式，消去多余的乘积项和多余的因子。乘积项和多余的因子。例：例：2.5.1 公式化简法一般化简需要各种方法综合起来。化简需要技巧和一般化简需要各种方法综合起来。化简需要技巧和经验，需多练习。另外最后的结果是否为最简，难经验，需多练习。另外最后的结果是否为最简，难以判断。以判断。数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学2.5.2 卡诺图化简法卡诺图化简法1.将函数表示为最小项之和的形式将函数表示为最小项之和的形式 。2.在卡诺图上与这些最小项对应的位置上添入在卡诺图上与这些最小项对应的位置上添入1，其余地方添其余地方添0。用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学表示最小项的卡诺图表示最小项的卡诺图二变量卡诺图二变量卡诺图 三变量的卡诺图三变量的卡诺图4 4变量的卡诺图变量的卡诺图数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学最小项的性质最小项的性质在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为值为1。全体最小项之和为全体最小项之和为1。任何两个最小项之积为任何两个最小项之积为0。两个两个相邻相邻的最小项之和可以的最小项之和可以合并合并，消去一对因子，消去一对因子，只留下公共因子。只留下公共因子。-相邻相邻：仅一个变量不同的最小项：仅一个变量不同的最小项 如如 数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学最大项之积最大项之积最大项最大项M：M是相加项；是相加项；包含包含n个因子。个因子。n个变量均以原变量和反变量的形式在个变量均以原变量和反变量的形式在M中出现一次。中出现一次。如：两变量如：两变量A,B的最大项的最大项对于对于n n变量函数变量函数2 2n n个个数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学最大项的性质最大项的性质在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的值为值为0 0；全体最大项之积为全体最大项之积为0 0；任何两个最大项之和为任何两个最大项之和为1 1；只有一个变量不同的最大项的乘积等于各相同变只有一个变量不同的最大项的乘积等于各相同变量之和。量之和。数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学最大项的编号最大项的编号最大项最大项取值取值对应对应编号编号A B CA B C十进制数十进制数1 1 11 1 17 7MM7 71 1 01 1 06 6MM6 61 0 11 0 15 5MM5 51 0 01 0 04 4MM4 40 1 10 1 13 3MM3 30 1 00 1 02 2MM2 20 0 10 0 11 1MM1 10 0 00 0 00 0MM0 0数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学设有三变量设有三变量A、B、C的最小项，如的最小项，如m5 AB C，对其求反得，对其求反得由此可知对于由此可知对于n 变量中任意一对最小项变量中任意一对最小项 mi 和和最大项最大项Mi，都是互补的，即，都是互补的，即最小项与最大项的关系数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学若某函数写成最小项之和的形式为若某函数写成最小项之和的形式为则此函数的反函数必为则此函数的反函数必为如表如表2.5.15中中最小项与最大项的关系数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学利用反演定理可得利用反演定理可得上式或写成上式或写成最小项与最大项的关系数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学最小项与最大项的关系数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学例2.5.12 试将下列函数利用真值表转化成两种标准形式解：其真值表如表2.5.16所示逻辑函数转化成两种标准形式逻辑函数转化成两种标准形式数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学逻辑函数的标准或与型为逻辑函数的标准或与型为则逻辑函数的标准与或型为则逻辑函数的标准与或型为逻辑函数转化成两种标准形式逻辑函数转化成两种标准形式数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数 0000 0101 1 11 1 1 01 00 00 01 11 11 11 11 11 10 01 1ABC数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学 用卡诺图化简函数用卡诺图化简函数依据：具有相邻性的最小项可合并，消去不同因依据：具有相邻性的最小项可合并，消去不同因子。子。在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图形中直观在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图形中直观地反映出来。地反映出来。数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学卡诺图化简的原则卡诺图化简的原则化简后的乘积项应包含函数式的所有最小项，化简后的乘积项应包含函数式的所有最小项，即覆即覆盖图中所有的盖图中所有的1。乘积项的数目最少，乘积项的数目最少，即圈成的矩形最少即圈成的矩形最少。每个乘积项因子最少，每个乘积项因子最少，即圈成的矩形最大即圈成的矩形最大。n 为了使圈成的矩形最大，可以在不同的圈中为了使圈成的矩形最大，可以在不同的圈中反复反复圈圈 入某一项。入某一项。n 边边边边相连，相连，角角角角相连。相连。数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学合并最小项的原则：合并最小项的原则：n两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子n四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消去两对因子去两对因子n八个相邻最小项可合并为一项，消去三对因子八个相邻最小项可合并为一项，消去三对因子 用卡诺图化简函数用卡诺图化简函数数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学例：例：0000 0101 1 11 1 1 01 00 01 1ABC 用卡诺图化简函数用卡诺图化简函数数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学例：例：0000 0101 1 11 1 1 01 00 00 01 11 11 11 11 11 10 01 1ABC 用卡诺图化简函数用卡诺图化简函数数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学例：例：0000 0101 1 11 1 1 01 00 00 01 11 11 11 11 11 10 01 1ABC 用卡诺图化简函数用卡诺图化简函数数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学例：例：化 简 结 果 不 唯 一 用卡诺图化简函数用卡诺图化简函数数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学例例 用卡诺图简化下面逻辑函数用卡诺图简化下面逻辑函数解解:11111111111 用卡诺图化简函数用卡诺图化简函数数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学例：例：00000101111110100000010111111010ABCD 用卡诺图化简函数用卡诺图化简函数数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学例：例：00000101111110100000 1 10 00 01 10101 1 10 00 01 11111 1 11 11 11 11010 1 11 11 11 1ABCD 用卡诺图化简函数用卡诺图化简函数数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学注：注：以上是通过合并卡诺图中的以上是通过合并卡诺图中的“1”项来简化逻辑函数的，项来简化逻辑函数的，有时也通过合并有时也通过合并“0”项先求项先求F的反函数，再求反得的反函数，再求反得Y例如上面的例题例如上面的例题,圈圈“0”情况如情况如表所示，可得表所示，可得111111111111 用卡诺图化简函数用卡诺图化简函数数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学a.任意项：任意项：输入变量的某些取值对电路的功能没影输入变量的某些取值对电路的功能没影响，这些项称为响，这些项称为任意项任意项。例如例如8421BCD码取值为码取值为0000 1001十个状态，而十个状态，而10101111这六个状态不可能出现，故对应的函数取这六个状态不可能出现，故对应的函数取“0”或取或取“1”对函数没有影响，这些项就是任意对函数没有影响，这些项就是任意项。项。2、化简时，根据需要任意项可以、化简时，根据需要任意项可以作为作为“1”也可作也可作“0”处理处理，以得到相邻最小项矩形组合最大（包含，以得到相邻最小项矩形组合最大（包含“1”的个数最多）为原则。的个数最多）为原则。1、将任意项在卡诺图相应位置、将任意项在卡诺图相应位置用用“”表示表示最小项的表达式为最小项的表达式为其中其中d为任意项为任意项无关项的逻辑函数化简无关项的逻辑函数化简数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学例例 用卡诺图简化下列逻辑函数，并写成最简与或式用卡诺图简化下列逻辑函数，并写成最简与或式解：根据解：根据Y的卡诺图的卡诺图则最简与或式为则最简与或式为111111无关项的逻辑函数化简无关项的逻辑函数化简数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学无关项的逻辑函数化简无关项的逻辑函数化简b.约束项约束项 ：在逻辑函数中，输入变量的取值不是任：在逻辑函数中，输入变量的取值不是任意的，受到限制。对输入变量取值所加的限制称为意的，受到限制。对输入变量取值所加的限制称为约束约束，被约束的项叫做，被约束的项叫做约束项约束项。例如有三个逻辑变量例如有三个逻辑变量A、B、C分别表示一台电动机的分别表示一台电动机的正转、反转和停止。若正转、反转和停止。若A1表示电动机正转，表示电动机正转，B1表表示电动机反转，示电动机反转，C1表示电动机停止，则其表示电动机停止，则其ABC的只的只能是能是100、010、001，而其它的状态如，而其它的状态如000、011、101、110、111是不能出现的状态，故是不能出现的状态，故ABC为具有约束的变为具有约束的变量，恒为量，恒为0。可写成。可写成这些恒等于这些恒等于“0”的最小项的最小项称为约束项称为约束项数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学例例 试简化下列逻辑函数，写最简成与或式试简化下列逻辑函数，写最简成与或式解：约束条件为解：约束条件为则则Y的卡诺图如所示的卡诺图如所示最简与或式为最简与或式为11111无关项的逻辑函数化简无关项的逻辑函数化简数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学 将约束项和任意项统称为将约束项和任意项统称为无关项无关项。即把这些最。即把这些最小项是否写入卡诺图对逻辑函数无影响小项是否写入卡诺图对逻辑函数无影响 含有无关项的逻辑函数的表示方法含有无关项的逻辑函数的表示方法最小项的表达式为最小项的表达式为其中其中d为无关项为无关项也可以写成也可以写成利用无关项可以使得函数进一步简化利用无关项可以使得函数进一步简化无关项的逻辑函数化简无关项的逻辑函数化简数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学化简步骤：化简步骤：1、用卡诺图表示逻辑函数、用卡诺图表示逻辑函数 2、合并的最小项、合并的最小项n 矩形圈上所有的矩形圈上所有的1 1n 矩形圈要最大，圈数要最少矩形圈要最大，圈数要最少n 有无关项用有无关项用“”表示，表示，可作可作“1”1”也也可作可作“0”0”3、化简后的乘积项相加、化简后的乘积项相加 用卡诺图化简函数用卡诺图化简函数数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学2.6 逻辑函数表达式类型的转换逻辑函数表达式类型的转换 逻辑函数表达式的形式有很多种，如与或逻辑函数表达式的形式有很多种，如与或式、或与式、与非式、与或非式等，不同的表式、或与式、与非式、与或非式等，不同的表达形式可由达形式可由不同的门电路不同的门电路来实现。一般的逻辑来实现。一般的逻辑函数为与或式（乘积和），这样需要转换成其函数为与或式（乘积和），这样需要转换成其它的形式，利用卡诺图可以很方便的实现转换。它的形式，利用卡诺图可以很方便的实现转换。数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学与或式转换成与非式与或式转换成与非式1.与或式转换成与非式与或式转换成与非式 利用摩根定理将整个与或式两次求反利用摩根定理将整个与或式两次求反，即可得到与非式。即可得到与非式。数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学例例2.6.1 将下面逻辑函数简化成最简与非式将下面逻辑函数简化成最简与非式与或式转换成与非式与或式转换成与非式Y=AB +ABD+CDY=(Y)=(AB+ABD+CD)=(AB)(ABD)(CD)数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学与或式转换成与或非式与或式转换成与或非式2.与或式转换成与或非式与或式转换成与或非式 已知逻辑函数式，先画出其卡诺图，已知逻辑函数式，先画出其卡诺图，然然后圈后圈“0”，写出逻辑函数的补函数的与或式，写出逻辑函数的补函数的与或式，再取反即可得到与或非式。再取反即可得到与或非式。数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学例例2.6.2 将下面逻辑函数简化成最简与或非式将下面逻辑函数简化成最简与或非式解：其卡诺图如表解：其卡诺图如表2.7.9所示所示取反即得与或非式，即取反即得与或非式，即1111110000000000圈圈“0”可得可得Y 为为与或式转换成与或非式与或式转换成与或非式数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学2.6 逻辑函数表达式类型的转换逻辑函数表达式类型的转换3.与或式转换成或与式与或式转换成或与式 已知逻辑函数的与或式，先画出逻辑函数已知逻辑函数的与或式，先画出逻辑函数的卡诺图，再圈的卡诺图，再圈“0”，便可得到最简的或与，便可得到最简的或与非式；非式；然后利用摩根定理然后利用摩根定理转换成或与式。转换成或与式。数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学例例2.6.3将下面逻辑函数化成最简或与式将下面逻辑函数化成最简或与式解：其卡诺图如表解：其卡诺图如表2.7.8所示所示1则最简或与式为：则最简或与式为：1111100与或式转换成或与式与或式转换成或与式数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学与或式转换成或非式与或式转换成或非式 已知逻辑函数的与或式，先画出卡诺图，圈已知逻辑函数的与或式，先画出卡诺图，圈“0”，得到最简或与式，进行两次取反，利用摩根定，得到最简或与式，进行两次取反，利用摩根定理即可得到或非式理即可得到或非式4.与或式转换成或非式与或式转换成或非式数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学例例1.5.4 将下面逻辑函数化成最简或非式将下面逻辑函数化成最简或非式解：先化成与或式：解：先化成与或式：与或式转换成或非式与或式转换成或非式数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学由与或式得到其卡诺图如图由与或式得到其卡诺图如图2.7.10所示，则所示，则1111111111110000圈圈“0”可得最简或与式为：可得最简或与式为：两次求反，并利用摩根定理可两次求反，并利用摩根定理可得：得：与或式转换成或非式与或式转换成或非式数数字字电电子子技技术术基基础础 第第五五版版五邑大学五邑大学作作 业业题题2.3（a）题题2.6（a）题题2.8 题题2.10（1）题题2.12(1)题题2.15(9)题题2.16(a)题题2.17(4)题题2.18(3)（7）