小学三年级奥数上学期找简单数列的规律教案.doc

日常生活中，我们经常接触到许多按一定顺序排列的数，如：自然数：1，2，3，4，5，6，7， （1）年份：1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996 （2）某年级各班的学生人数（按班级顺序一、二、三、四、五班排列）45，45，44，46，45 （3）像上面的这些例子，按一定次序排列的一列数就叫做数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项，其中第1个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项，第n个数就称为第n项.如数列（3）中，第1项是45，第2项也是45，第3项是44，第4项是46，第5项45。根据数列中项的个数分类，我们把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列，把项数无限的数列（即有无穷多个项的数列）称为无穷数列，上面的几个例子中，（2）（3）是有穷数列，（1）是无穷数列。研究数列的目的是为了发现其中的内在规律性，以作为解决问题的依据，本讲将从简单数列出发，来找出数列的规律。例1 观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.2，5，8，11，（），17，20。19，17，15，13，（），9，7。1，3，9，27，（），243。64，32，16，8，（），2。1，1，2，3，5，8，（），21，341，3，4，7，11，18，（），471，3，6，10，（），21，28，36，（）.1，2，6，24，120，（），5040。1，1，3，7，13，（），31。1，3，7，15，31，（），127，255。(11)1，4，9，16，25，（），49，64。(12)0，3，8，15，24，（），48，63。(13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）.(14)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）.分析与解答不难发现，从第2项开始，每一项减去它前面一项所得的差都等于3.因此，括号中应填的数是14，即：113=14。 同考虑，可以看出，每相邻两项的差是一定值2.所以，括号中应填11，即：132=11。不妨把与联系起来继续观察，容易看出：数列中，随项数的增大，每一项的数值也相应增大，即数列是递增的；数列中，随项数的增大，每一项的值却依次减小，即数列是递减的.但是除了上述的不同点之外，这两个数列却有一个共同的性质：即相邻两项的差都是一个定值.我们把类似这样的数列，称为等差数列.1，3，9，27，（），243。此数列中，从相邻两项的差是看不出规律的，但是，从第2项开始，每一项都是其前面一项的3倍.即：3=1×3，9= 3×3， 27=9×3.因此，括号中应填 81，即 81= 27×3，代入后， 243也符合规律，即 24381×3。64，32，16，8，（），2与类似，本题中，从第1项开始，每一项是其后面一项的2倍，即：因此，括号中填4，代入后符合规律。综合考虑，数列是递增的数列，数列是递减的数列，但它们却有一个共同的特点：每列数中，相邻两项的商都相等.像这样的数列，我们把它称为等比数列。 1， 1， 2， 3， 5， 8，（ ）， 21， 34首先可以看出，这个数列既不是等差数列，也不是等比数列.现在我们不妨看看相邻项之间是否还有别的关系，可以发现，从第3项开始，每一项等于它前面两项的和.即2=1+1，3=2+1，5=2+3，8=35.因此，括号中应填的数是 13，即 13=5+8， 21=8+13， 34=13+21。这个以1，1分别为第1、第2项，以后各项都等于其前两项之和的无穷数列，就是数学上有名的斐波那契数列，它来源于一个有趣的问题：如果一对成熟的兔子一个月能生一对小兔，小兔一个月后就长成了大兔子，于是，下一个月也能生一对小兔子，这样下去，假定一切情况均理想的话，每一对兔子都是一公一母，兔子的数目将按一定的规律迅速增长，按顺序记录每个月中所有兔子的数目（以对为单位，一月记一次），就得到了一个数列，这个数列就是数列的原型，因此，数列又称为兔子数列，这些在高年级递推方法中我们还要作详细介绍。1， 3， 4， 7， 11， 18，（ ），47在学习了数列的前提下，数列的规律就显而易见了，从第3项开始，每一项都等于其前两项的和.因此，括号中应填的是29，即 29=1118。数列不同于数列的原因是：数列的第2项为3，而数列为1，数列称为鲁卡斯数列。1，3，6，10，（ ）， 21， 28， 36，（ ）。方法1：继续考察相邻项之间的关系，可以发现：因此，可以猜想，这个数列的规律为：每一项等于它的项数与其前一项的和，那么，第5项为15，即15=10+5，最后一项即第 9项为 45，即 45369.代入验算，正确。方法2：其实，这一列数有如下的规律：第1项：1=1第2项：3=12第3项：6=1+2+3第4项：10=1+2+3+4第5项：（ ）第6项：21=1+2+3+4+5+6第7项：28=1+2+3+4+5+6+7第8项；36=1+2+3+4+5+6+7+8第9项：（ ）即这个数列的规律是：每一项都等于从1开始，以其项数为最大数的n个连续自然数的和.因此，第五项为15，即：15= 1+ 2+ 3+ 4+ 5；第九项为45，即：45=1+2+3+4+5+6+7+8+9。1，2，6，24，120，（ ），5040。方法1：这个数列不同于上面的数列，相邻项相加减后，看不出任何规律.考虑到等比数列，我们不妨研究相邻项的商，显然：所以，这个数列的规律是：除第1项以外的每一项都等于其项数与其前一项的乘积.因此，括号中的数为第6项720，即 720=120×6。方法2：受的影响，可以考虑连续自然数，显然：第1项 1=1第2项 2=1×2第3项 6=1×2×3第4项 24=1×2×3×4第5项 120=1×2×3×4×5第6项 （ ）第7项 5040=1×2×3×4×5×6×7所以，第6项应为 1×2×3×4×5×6=7201，1，3，7，13，（ ），31与类似：可以猜想，数列的规律是该项=前项+2×（项数-2）（第1项除外），那么，括号中应填21，代入验证，符合规律。1，3，7，15，31，（ ），127，255。则：因此，括号中的数应填为63。小结：寻找数列的规律，通常从两个方面来考虑：寻找各项与项数间的关系；考虑相邻项之间的关系.然后，再归纳总结出一般的规律。事实上，数列或数列的两种方法，就是分别从以上两个不同的角度来考虑问题的.但有时候，从两个角度的综合考虑会更有利于问题的解决.因此，仔细观察，认真思考，选择适当的方法，会使我们的学习更上一层楼。在题中，1=2-13=22-17=23-115=24-131=25-1127=27-1255=28-1所以，括号中为26-1即63。（11）1，4，9，16，25，（ ），49，64.1=1×1， 4=2×2， 9=3×3， 16=4×4， 25=5×5，49= 7×7，64=8×8，即每项都等于自身项数与项数的乘积，所以括号中的数是36。本题各项只与项数有关，如果从相邻项关系来考虑问题，势必要走弯路。(12)0，3，8，15，24，（ ）， 48， 63。仔细观察，发现数列(12)的每一项加上1正好等于数列(11)，因此，本数列的规律是项=项数×项数-1.所以，括号中填35，即 35= 6×6-1。(13)1， 2， 2， 4， 3， 8，4， 16， 5，（ ）。前面的方法均不适用于这个数列，在观察的过程中，可以发现，本数列中的某些数是很有规律的，如1，2，3，4，5，而它们恰好是第1项、第3项、第5项、第7项和第9项，所以不妨把数列分为奇数项（即第1，3，5，7，9项）和偶数项（即第2，4，6，8项）来考虑，把数列按奇数和偶数项重新分组排列如下：奇数项：1，2，3，4，5偶数项：2，4，8，16 可以看出，奇数项构成一等差数列，偶数项构成一等比数列.因此，括号中的数，即第10项应为32（32=16×2）。(14) 2， 1， 4， 3， 6， 9， 8， 27， 10，（ ）。同上考虑，把数列分为奇、偶项：偶数项：2，4，6，8，10奇数项：1，3，9，27，（ ）.所以，偶数项为等差数列，奇数项为等比数列，括号中应填81（81=27×3）。像(13)(14)这样的数列，每个数列中都含有两个系列，这两个系列的规律各不相同，类似这样的数列，称为双系列数列或双重数列。例2 下面数列的每一项由3个数组成的数组表示，它们依次是：（1，3，5），（2，6，10），（3，9，15）问：第100个数组内3个数的和是多少？方法1：注意观察，发现这些数组的第1个分量依次是：1，2，3构成等差数列，所以第 100个数组中的第 1个数为100；这些数组的第2个分量 3，6，9也构成等差数列，且3=3×1，6=3×2，9=3×3，所以第100个数组中的第2个数为3×100=300；同理，第3个分量为5×100=500，所以，第100个数组内三个数的和为100+300+500=900。方法2：因为题目中问的只是和，所以可以不去求组里的三个数而直接求和，考察各组的三个数之和。第1组：1+3+5=9，第2组：2+6+10=18第3组：3+ 9+ 15= 27，由于9=9×1，18= 9×2，27= 9×3，所以9，18，27构成一等差数列，第100项为9×100=900，即第100个数组内三个数的和为900。例3 按下图分割三角形，即：把三角形等分为四个相同的小三角形（如图（b）；把中的小三角形（尖朝下的除外）都等分为四个更小的三角形（如图（C）继续下去，将会得到一系列的图，依次把这些图中不重叠的三角形的个数记下来，成为一个数列：1，4，13，40请你继续按分割的步骤，以便得到数列的前5项.然后，仔细观察数列，从中找出规律，并依照规律得出数列的第10项，即第9项分割后所得的图中不重叠的小三角形的个数.分析与解答第4次分割后的图形如左图：因此，数列的第5项为121。这个数列的规律如下：第1项1第2项4=1+3第3项13=4+3×3第4项40=13+3×3×3第5项121=40+3×3×3×3或者写为：第1项 1=1第2项4=1+31第3项13=1332第4项 40=133233第 5项 121=1332+3334因此，第10项也即第9次分割后得到的不重叠的三角形的个数是29524。例4 在下面各题的五个数中，选出与其他四个数规律不同的数，并把它划掉，再从括号中选一个合适的数替换。42，20，18，48，24（21，54，45，10）15，75，60，45，27（50，70，30，9）42，126，168，63，882（27，210，33，25）解：中，42、18、48、24都是6的倍数，只有20不是，所以，划掉20，用54代替。 15、 75、 60、 45都是 15的整数倍数，而 27不是，用30来替换27。同上分析，发现这些数中， 42、 126、 128、 882都是42的整数倍，而63却不是.因此，用210来代替63。