线性方程组的求解问题.doc

目录1 引言.2 1.1 概念.31.2 解的情况及其通解.42 线性方程组的常见解法.42.1 高斯消元法.42.2 矩阵初等变换法 .6 2.2.1 LU分解.62.2.2 追赶法.9 2.3平方根法.103 线性方程组解法探讨.12 3.1 线性方程组的直接方法.12 3.2 线性方程组的多项式矩阵的初等变换法.164结束语.19参考文献.20线性方程组的解法摘要: 线性方程组是线性代数中一个最基础的内容，广泛应用于现代科学的许多分支。其核心问题之一就是线性方程组的求解问题。本文先简要介绍了线性方程组的概念，然后给出线性方程组解的结构，重点介绍了解线性方程组的几种方法:高斯消元法，追赶法，平方根法，直接法，初等变换法等求解线性方程组的方法。说明研究线性方程组求解问题的探讨及本文的写作意义。关键词: 线性方程组；高斯消元法；平方根法；追赶法；直接法；初等变换法1 引言线性方程组即各个方程关于未知量均为一次的方程组。对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早1500年，记载在公元初九章算术方程章中。线性方程组是线性代数的主要内容，它主要包括线性方程组有解性的判定、线性方程组的求解和线性方程组解的结构等。线性方程组的核心问题是研究它何时有解，以及解是什么。本节主要对线性方程组解的情况进行讨论，给出当解不唯一时通解的表示形式。另外还介绍了几种特殊的线性方程组的求解方法。线性方程组可以分成两类，一类是未知量个数与方程的个数相等，另一类是未知量个数与方程的个数不等。对于前一类特殊的线性方程组，我们可以采用克拉默法则，对于后一种线性方程组我们可以采用高斯消元法。而且随着现代工业的发展，线性方程组的应用出现在各个领域，伴随着大量方程和多未知数的出现，而追赶法是数值计算中解线性方程组的一种直接法，它能在无舍入误差存在的情况下，经过有限步运算即可求得方程组的精确解的算法。用矩阵初等变化的方法求解线性方程组，是线性方程组矩阵解法的一种延伸。利用这种方法，只需通过对线性方程组的系数矩阵（或增广矩阵）进行初等变换，便可直接求得基础解系或者一般解。寻找简便而且准确的求解方法就显得十分重要而且具有现实意义。因此对线性方程组解法的研究就显得十分必要。本文主要内容是介绍了线性方程组的工作，探讨了线性方程组的直接方法和多项式的初等变换法，总结了线性方程组的解题方法以及更多的广泛应用。 1.1 概念线性方程组的一般形式如下：(1.1)其中是n个未知量，是m个一次方程的系数，称为方程组的常数项。常数项一般写在等式的右边，一个方程完全由常数项与系数确定的。如果所有的常数项都等于0，则方程组称为齐次线性方程组,否则称为非齐次线性方程组。线性方程组(1.1)的解是数域K的一个有序数组，当未知量分别用代入时，(1.1)中的每个方程都成立我们将方程组(1.1)记为矩阵形式,称为此线性方程组的系数矩阵，如果再把常数项也添加进去，使它成为矩阵的最后一列：称它为此线性方程组的增广矩阵，记为。1.2 解的情况及其通解一般求解线性方程组前，我们要先讨论该线性方程组解的情况。它可能无解，可能只存在唯一解或者可能有无穷多组解。本小节，我们主要讨论线性方程组解的情况，以及它的通解表示形式。对于一般情况下的线性方程组(1.1)，将它的增广矩阵化为行阶梯矩阵。其中比少了最后一列，为R的主元所在列的个数，即全不等于零。若(即)，则原方程组(2.1)无解。若(即)，且，则原方程组(2.1)有唯一解。若(即)，且，则原方程组(2.1)有无穷多组解。这无穷多组解可以用一般解来表示，其中自由变量有个，主变量有个。如果对于一般情况下的齐次线性方程组(2.2)，它显然有一组零解。我们将方程组(2.2)的系数矩阵化为行阶梯矩阵(比(2.3)少最后一列)。若，则齐次线性方程组(2.2)只有零解。若，则齐次线性方程组(2.2)有无穷多个解。若，则齐次线性方程组(2.2)必有非零解。一般线性方程组的求解步骤大致为：1.写出它的增广矩阵；2.将增广矩阵变化为行阶梯矩阵，判断方程组是否有解；3.如果有解，写出行阶梯矩阵所对应的与原方程同解的方程组；4.写出原方程组的通解。2 线性方程组的解法 我们在高等代数上学习了线性方程组的解法有克莱姆法则,高斯消元法,矩阵分解法，平方根法， 2.1 高斯消元法高斯(Gauss)消元法解线性方程组最早出现在在我们古代的数学著作九章算术中。九章算术第八章“方程”主要研究线性方程组的解法，其基本思想是消元。在解方程组时，将方程组的系数(包括常数)分离出来排成一个数表，相当于现在线性代数中的增广矩阵，然后通过类似于矩阵初等变换的方法消元，此方法在西方被称为“高斯消元法”。高斯消元法的基本思想是：通过一系列的加减进行消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵，然后，再逐一回代，解出方程组。本节将简单介绍高斯消元法的基本思想，并且运用它来解决形如(2.1)，并且存在唯一解的线性方程组。下面我们通过具体的例子来了解高斯消元法的主要解题过程。例2.1.1 解线性方程组(2.1)解：首先，我们将(2.1)中第二个方程减去第一个方程的倍，再将第三个方程减去第一个方程的2倍，则得到等价方程组 (2.2)其中(2.1)中的第二，第三个方程中的已经消去了。类似的，我们将(2.2)中的第三个方程减去第二个方程的倍，又可以消去第三个方程中的变量，最后得到与(2.1)等价的方程组(2.3)这个方程很容易求解由第三个方程解出，将其带入第二个方程解出再将代入第一个方程解出其中，将原方程组(2.1)化成方程组(2.3)的过程叫做消元过程，求解方程组(2.7)的过程称为回代过程。下面，我们用矩阵变化来描绘消元的过程线性方程组(2.1)可以写成矩阵的形式其增广矩阵为把增广矩阵变成阶梯形矩阵后，再写出它代表的方程组用代入消元法解上述第一个阶梯形方程组，或者直接由第二个方程组就能求得原方程组的全部解。 2.2 矩阵初等变换法 求解线性方程组除了上述几种常规的方法外，还常用到追赶法。将线性方程组的系数矩阵分解为一个下三角阵和一个上三角阵的乘积，再利用追赶法来求解线性方程组。而如何将系数矩阵分解为一个下三角阵和一个上三角阵的乘积，则需要用到LU分解法，也称三角形分解法。LU分解法的优点是当方程组左端系数矩阵不变，仅仅是方程组右端列向量改变时，能够方便地求解方程组。本小节将讨论LU分解的方法以及用如何用追赶法解线性方程组。2.2.1 LU分解设的前n-1个顺序主子矩阵非奇异，则存在单位下三角阵，及上三角阵，使而且这样的分解是唯一的。设矩阵有LU分解，即比较两端的第一行元素得比较两端的第一列元素得比较两端的第二行的其余元素得比较两端的第二列其余元素得 k=2,3,.,n则对于一般的用递推关系得出(2.4)即可求出和，从而实现的三角分解。这一过程就是矩阵的LU分解。 2.2.2 追赶法将线性方程组的系数矩阵，通过公式(2.8)进行LU分解后，再通过追赶法解出该线性方程组，是最有效快捷的方法追赶法的关键在于它的追过程和赶过程。记a) 分解对计算b) 追过程对于计算c) 赶过程对于计算而对于线性方程组（2.1）中，可得该线性方程组的Jacobi迭代公式如下：简记成：下面我们通过具体的例子来了解用追赶法解线性方程组的解题过程例2.2.1 用追赶法解线性方程组解：系数矩阵利用公式(2.8)对进行LU分解，所以追过程：解即赶过程：解即即得线性方程组的解。 2.3平方根法在求解线性方程组时,直接解法有顺序高斯消元法、列主元高斯消元法、全主元高斯消元法、高斯约当消元法、消元形式的追赶法、LU分解法、矩阵形式的追赶法，当我们遇到对称正定线性方程组时，我们就要用到平方根法(对称LLT分解法)来求解，为了熟悉和熟练运用平方根法求解线性方程组，下面对运用平方根法求解线性方程组进行解析。我们在运用平方根法求解线性方程组时，要判定线性方程组的系数矩阵是否是对称正定矩阵，那么我们就要了解正定矩阵的性质和如下定理及定义：1、由线性代数知，正定矩阵具有如下性质：1) 正定矩阵是非奇异的2) 正定矩阵的任一主子矩阵也必为正定矩阵3) 正定矩阵的主对角元素均为正数4) 正定矩阵 的特征值均大于零5) 正定矩阵的行列式必为正数 定理1 线性方程组的系数矩阵是对称正定矩阵，那么是对称正定线性方程组。 定理2 如果方阵A满足，那么是对称阵。2、平方根法和改进的平方根法如果是n阶对称矩阵，由定理2还可得如下分解定理：定理2 若为n阶对称矩阵，且A的各阶顺序主子式都不为零，则可惟一分解为：，其中为单位下三角阵，为对角阵。证明 因为的各阶顺序主子式都不为零，所以A可惟一分解为：因为 ，所以可将 分解为：其中 D为对角矩阵，U1为单位上三角阵于是：因为为对称矩阵，所以，由 的 分解的惟一性即得：即故工程技术中的许多实际问题所归结出的线性方程组，其系数矩阵常有对称正定性，对于具有此类特殊性质的系数矩阵，利用矩阵的三角分解法求解是一种较好的有效方法，这就是对称正定矩阵方程组的平方根法及改进的平方根法，这种方法目前在计算机上已被广泛应用。 定理3对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的各阶顺序主子式大于零。 用平方根法求解对称正定方线性程组Ax=b的步骤如下：例 2.3.2用平方根法求解方程组 解 设右端矩阵相乘并比较等式两端。由第一列有可得比较第二列有 求得 由第三列得 故由 解得,由解得。一般情形，设 根据矩阵乘法有 及 于是有 在上式中取k=1,2,n便可求出的全部元素。除了上面几种线性方程组解法以外，还有其他的方法，在这就不一一讲解了。 3线性方程组解法探讨3.1 求解方程组的直接方法求齐次线性方程组的基础解系及求非齐次线性方程组的通解,教材给出的方法,过程多而烦杂,下面给出一种只用矩阵的初等行变换求方程组通解的简便方法。1齐次线性方程组基础解系的一种简便求法设有齐次线性方程组 （3.1）矩阵形式为,其中求方程组的一个基础解系的方法如下:其中,即为一个行满秩，为阶可逆矩阵。则矩阵p的后行即为方程组（1）的为一个行满秩矩阵，为n阶单位矩阵，p为n阶可逆矩阵。证明 对于矩阵必存在n阶和m阶可逆矩阵P,Q,使，所以因为为可逆矩阵,的行向量组线性无关,所以的后行行向量线性无关,而矩阵的后行为,因为=行为方程组（1）的一个基础解系。p也就是对矩阵施行初等行变换，将其转变为，例3.11 求其次线性方程组因为2 非齐次线性方程组通解的一种简便方法 设有非齐次线性方程组 （3.2） 其矩阵方程为例3.12 解线性方程组所以方程组的通解，3.2 多项式矩阵的初等变换法设=，矩阵的特征多项式为.称为的表征多项式.本节利用多项式矩阵的初等行变换，给出了线性方程组的解的判定条件与求解的方法.引理1多项式矩阵经过行初等变换一定可化为，其中，且引理2 设为矩阵的一个1-逆，若线性方程组有解，则其通解为，为任意的维列向量.定理1 线性方程组有唯一解的充要条件为（，）=1.当线性方程组有唯一解时，存在唯一的矩阵，使得的第一列为的唯一解.证明 必要性：因为有唯一解，所以非奇异，从而的行列式，其中是的个根，因此与无公共根，故（，）=1.设，以为第一列构造一矩阵，使得= .多项式矩阵经过一系列初等行变换可化为.于是，.若取，则的第一列为，且=.所以的第一列为线性方程组的唯一解.充分性：因为（，）=1，所以多项式矩阵经过行初等变换一定可化为.于是，故可逆，从而线性方程组有唯一解.定理2 设无重根. 线性方程组有无穷多解的充要条件为（，），且，当线性方程组有无穷多解时，存在矩阵及，使得的第一列为的一个特解，为的通解，为任意的维列向量.证明 必要性：因为有无穷多解，所以奇异，从而的行列式，其中是的个不同的根，因此与有公共根，故（，）1.设1，且设，则，由于无重根，所以，从而，.设，以为第一列构造一矩阵，使得= .多项式矩阵经过一系列初等行变换可化为.于是， ， . 由得， . 若令，则，由，可知=.因为的第一列为，且=，所以的第一列为的一个特解.又，故为的通解，为任意的维列向量.充分性：因为1，所以的个不同的根中至少有一个为的根，从而的行列式，奇异，又因为=，所以有无穷多解.例3.21 已知，解线性方程组.解 取，则， .因为，因此，从而，所以原方程组的唯一解为.例3.22 已知，解线性方程组.解 取，则， .显然（，），.因为，因此，从而，.所以原方程组的一特解为=，通解为，为任意的3维列向量. 很多复杂繁琐的问题，运用线性方程组的知识就能很方便快捷的求出它的解本节所举出的几个应用只是线性方程组在其他领域中一些最简单基本的应用在今后的研究道路上，随着新问题的不断涌现，线性方程组的应用将越来越广泛，线性方程组的重要性也将越来越呈现出来 4 结束语 本文主要讨论了线性方程组解的几种基本结构以及通解的表示形式，并且举出了当线性方程组存在唯一解时的三种常见的解题方法线性方程组是线性代数中一个最重要的内容，它除了本文介绍的几种解题的方法以及解法探讨，还有很多其它的解题方法以及更多广泛的应用它是数学以及其它理工科解题时必不可少的知识之一对线性方程组的解题方法以及它的应用，也会一直不断的研究下去而且随着现代工业的发展，现代科技的进步，线性方程组的思想也将越来越多的被应用到各个领域中去。参考文献1 北京大学数学系. 高等代数M. 北京: 高等教育出版社, 1988.2 张禾瑞, 郝鈵新高等代数(第四版)M. 北京: 高等教育出版社, 1999.3 丘维声. 高等代数M. 北京: 高等教育出版社, 1996.4北京大学数学系.高等代数M.北京:高等教育出版社,20035王文省.高等代数M.济南:山东大学出版社,2004.6 李师正.高等代数解题方法与技巧M.北京:高等教育出版社,2004.7张小红，蔡秉衡.高等代数专题研究选编M.西安：西安科学技术出版社，1992.8 何旭初，孙文瑜.广义逆矩阵引论M.南京：江苏科学技术出版社，1990.