一阶微分方程的解法.docx

高数论文一阶微分方程解法的研究研究课题：一阶微分方程的解法 小组成员：张鹏 窦文博 孙洪毅 余雷学院班级：商学院工商管理（2）班第一节 微分方程的基本概念【考研大纲要求解读】了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念。【重点及常考点突破】1. 一阶微分方程初值问题的几何意义：F(x，y，y）=0 y（x0）=y0寻求过点（X0 ,Y0) 且在该点出的切线斜率为y的满足方程的那条积分曲线。2.带有未知函数的变上（下）限积分的方程称为积分方程，它通常可以通过一次或多次求导化为微分方程求解。3.验证函数是否是微分方程解的方法，可以由相应微分方程的阶数，求至n阶导数，代入方程看是否恒等，若恒等，再进一步验证初始条件。 【典型例题解析】基本题型一：验证所给函数是相应微分方程的通解或解.【例1】 判断y=x（ex/xdx+C）是方程xy- y=xex的通解。将原式代入即得解：由y=x（ex/xdx+C），两边对x求导得；y=ex/xdx+C+x*ex/x，即y=ex/xdx+C+ex，两边同乘以x，得xy=x（ex/xdx+C）+xex=y+xex，即xy- y=xex.故y=x（ex/xdx+C）是原方程的通解.基本类型二：化积分方程为微分方程.【例2】 设f(x)=sinx-（x-t）f（t）dt，其中f为连续函数，求f（x）所满足的微分方程.【 思路探索】如遇到积分方程，其求解问题可化为相应的微分方程初值问题求解方法是对变上（下)线积分求导来确定微分方程，再利用原积分方程进一步确定初始条件解：对原积分方程关于x求导，得 F（x）=cosx-f（t）dt， 对式关于x求导得f“（x）=-sinx-f(x),即f“（x）+f（x）=-sinx又有f（0）=0，f（0）=1，记y=f（x），则f（x）满足的微分方程为 y”+ y=-sinx Y|x=0，y|x=0=1基本类型三：求初值问题的解【例3】求以下初值问题的解 y”=x y（0）=a0，y（0）=a1，y”（0）=a2.解：由 y”=x，得 y”=1/2x2+C1， y=1/6x3+C1x+C2，y=1/24x4+1/2C1x2+C2x+C3,其中C1，C2,C3为待定的常数，将初值y”（0）=a2，y（0）=a1，y（0）=a0代入以上三式得C1=a2，C2=a1，C3=a0，故初值问题的解为y=1/24 x4+1/2 a2x2+a1x+a0.基本类型四：由微分方程通解求微分方程【例4】 求以y=C1ex+C2e-x-X (C1，C2为任意常数)为通解的微分方程.解：由 y=C1ex+C2e-x-X ， 两边关于x求导得 y=C1ex- C2e-x -1 上式两边再关于x求导得 Y”=C1ex+C2e-x 由式与式得 y=y”-x,即所求微分方程为y”-y-x=0第二节 可分离变量的微分方程 【考研大纲要求解读】 掌握可分离变量的微分方程 【重点及常考点突破】1. 可分离变量方程的通解形式为：1/g(y)dy=f(x)dx，由于将g(y)作为分母，故若g(y)=0有解y1,y2,y3,.ym,则变量可分离方程还有特解 y=yi(i=1,2,.,m). 故注意在分离变量的同时，经常在两边要同除以某一函数，此时往往会遗漏该函数的某些特解，而这些特解通常并不能由通解得到，因此要及时补全。2. 在解微分方程时变量代换是重点也是难点，应根据具体问题尽量简化方程，选好代换变量，使得变换后的方程式比较熟悉的方程类型，求解后，应还原为原变量。【典型例题分析】基本类型：求解可直接变量分离型微分方程【例1】 求解下列微分方程（1）ydy+(x2-4x)dy=0; (2) xyy=(x+a)(x+b); (a,b为常数) （3）1+y=ey解:(1) 分离变量得dx/x2-4x + dy/y=0,即1/4（1/x-4 1/x）dx+dy/y=0,积分得 1/4（ln|x-4|- ln|x|）+ln|y|=C1故原方程通解为（x-4）y2=Cx(C为任意常数)，特解y=0 包含在通解之中。（2）用x（y+b）去除方程，则有y/y+b dy=x+a/a dx.积分得y-bln|y+b|=x+aln|x|+C1故通解为xa(y+b)b=Cey-x(C为任意常数)，特解y=-b包含在通解之中。（3）由原方程可得dy/dx=ey -1 分离变量得 dy/ey-1=dx, 积分得dy/ey-1=dx，（1/ey -1 1/ey）dey =dx,ln|ey -1/ey|=x+lnC1则通解为ln|1-e-y|=x+ lnC1 即1-e-y=Cex(C为任意常数)。方法点击:变量分离的同时，有时会漏掉一些解，最后要补上，这一点一定要注意！基本类型:求初值问题的解【例2】 微分方程xy+y(lnx-lny)=0 满足条件y(1)=e3 的解为y=_ 解：xy+y（lnx-lny）=0，y+y/xlnx/y=0,u=y/x 则 y=ux+u. 所以ux+u=ulnu,u/ulnu-u=1/x, u/ulnu-u=1/x dx,ln|lnu-1|=ln|x|+C1,lnu-1=cx 即y=xecx+1. 又y(1)=e3, 所以e3=ex+1 所以c=2 所以y=xe2x+1.【例3】 若可导函数f（x）满足关系式f（x）=（0,2x）f（2/t）dt+ln2,则f(x)=_ 解：由题设条件求导得f(x)=2f(x),解方程得f(x)=Ce2x. 又当x=0时，f(0)=ln2,所以C= ln2;故f(x)=ln2.e2x,故应填：ln2.e2x 方法点击:对于这类问题，一般是对积分方程两边求导将其化为微分方程，再求解；这时应注意关系式中隐含的初始条件。基本题型：求解经变量代换后可化为变量可分离型方程的微分方程【例4】 求下列微分方程的通解：(1)xdy-ydx=xx2+y2dx; (2)dy/dx=(x+y-1/x+y+1)2 解：（1） 设y=xv,则dy=x=vdx+xdv,则原方程变为 x(vdx+xdv)-xvdx=xx2+x2v2)dx, 即dv=±1+v2dx. 当上式取正号即x>0时，有dv/1+v2=dx 积分得ln（v+ 1+v2）=x+C1,即v+ 1+v2=Cex. 由于v=y/x ,故原方程的解为y+ x2+y2=Cxex.当x<0时 即dv=- 1+v2dx时 可得到y- x2+y2=Cxe-x （2）设u=x+y,则du/dx=1+dy/dx,故du/dx=1+(u-1/u+1),即（1+2u/u2+1）du=2dx 积分得u+ln(u2+1)=2x+C 变量还原得原方程通解为（x+y）2=Cex-y -1 基本题型：应用题【例5】 已知函数y=y(x)在任意点处的增量y=yx/1+x2 +a,且当0 时，a是x的高阶无穷小，y（0）=，则y（1）等于（）【思路探索】 如果能够获得y（x）的表达式，则y（1）显然可求，由于x0时，a=0（x），这说明y在x处可微，且dy=y/1+x2dx，于是本问题转化为微分方程的特解问题。解：由于y=yx/1+x2 +a,又当x0时，a是x的高阶无穷小，故由微分方程的定义知 dy=y/1+x2 dx【例6】线通过点（2,3），它在两坐标轴间的任意切线线段均被切点所平分，求这曲线方程。解：设曲线方程y=y（x），曲线上点（x，y）的切线方程。由假设，当Y=0时，X=2x，代入上式，得曲线所满足的微分方程初值问题分离变量后积分得xy=C，由y（2）=3知c=6，故所求曲线方程为xy=6【例7】海中放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y（从海平面算起）与下沉速度v之间的函数关系，设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k（k0）试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y=y（v）从船上向海中放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y（从海平面算起）与下沉速度v之间的函数关系，设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k（k0）试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y=y（v）解：以沉放点为原点，垂直向下为y轴正方向，则有mg-kv-bp=m由，则，则由上式化为v与y之间的微分方程mv=mg-kv-bp，分离变量得dy=，积分得dv=由知c=故所求关系式为Y=【例8】某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为，流入湖泊内不含A的水量为 ，流出湖泊的水量为已知1999年年底湖中A的含量为5m0，超过国家规定指标为了治理污水，从2000年年初起，限定排入湖泊中含A污水的浓度不超过问至多需经过多少年，湖泊中污染物A的含量降至m0以内？（注：设湖水中A的浓度时均匀的）解：设从2000年初（令此时t=0）开始，第t年湖中A的含量为，则在时间间隔t，t+dt内，排入湖中a的量为*dt=，流出湖泊的水中a的含量为，因在此时间间隔内湖中a的该变量为dm=（）dt，分离变量解得m=初始条件m|=5m，得c=-于是m=，令m=m得t=6ln3，所以至多6ln3年，a含量降至m以内。第三节 齐次方程【基本题型：求解齐次方程或可化为齐次方程的方程】【例1】 求解下列方程的通解（1） （2）(3)解（1）令x=，dx=2udu，原方程化为齐次方程，即令y=zu dy=zdu+udz，原方程化为，分离变量得，积分得，即，代入y=zu x=，得原方程通解为（2） 令x=，dx=2udu方程化为齐次方程令，则dy=zdu+udz 积分得再由y=zu 得到原方程为（3） 设，原方程变为，分离变量得cotudu=，积分得sinu=cx，故方程通解为sin第四节 一阶线性微分方程【考研大纲要求解读】掌握一阶线性微分方程的解法，会解伯努利方程。【重点及常考点突破】1. 在求解一阶线性微分方程时，一定要化为标准形式（即y的系数为1）+P(x)y=Q()否则用公式求解时容易出错。2. 一阶线性方程的解题程序： 标准化，即将方程化为（*）的形式。 求方程y+P(x)y=0的通解， 用常数变易法求方程（*）的通解。令为方程（*）的解，将其代入方程并整理得 故原方程通解为3. 伯努利方程是可以化为一阶线性方程的一种形式，只需令并以乘方程两边，得即化为线性方程实际解题时也可由观察得到【典型例题解析】基本题型：一阶线性方程求解（1） 解：化为标准方程 相应齐次方程分离变量得 积分得齐次方程通解为即 令原方程通解为，则 从而即故原方程通解为. 【方法点击】：求解一阶线性方程可用常数变易法或直接由公式求解。（2） 解：把x看作未知函数，把y看作自变量，原方程变为关于函数x的线性方程 其解为 即原方程的通解为 （3） 解：引进变换，则方程变为 故由一阶线性方程的通解公式得， 故原方程通解为【我们的反思】转眼之间大一已经快要过去，高数的学习也有了两个学期。仔细一想，高数也不是传说那么可怕，当然也没有那么容易，前提是自己真的用心了。人戏称高数是一棵高树，很多人就挂在了上面。但是，只要努力，就能爬上那棵高树，凭借它的高度，便能看到更远的风景。首先，不能有畏难情绪。一进大学，就听到很多师兄师姐甚至是老师说高数非常难学，有很多人挂科了，这基本上是事实，但是或多或少有些夸张了吧。事实上，当我们抛掉那些畏难的情绪，心无旁骛地去学习高数时，它并不是那么难，至少不是那种难到学不下去的。所以，我们要有信心去学好它时，就走好了第一步。其次，课前预习很重要。每个人的学习习惯可能不同，有些人习惯预习，有些人觉得预习不适合自己。每次上新课前，把课本上的内容仔细地预习一下，或者说先自学一下，把知识点先过一遍，能理解的先自己理解好，到课堂上时就会觉得有方向感，不会觉得茫然，并且自己预习时没有理解的地方在课堂上听老师讲后就能解决了，比较有针对性。然后，要把握课堂。课堂上老师讲的每一句话都有可能是很有用的，如果错过了就可能会使自己以后做某些题时要走很多弯路，甚至是死路。我们主要应该在课堂上认真听讲，解解题方法，我们现在所需要的是方法，是思维，而不仅仅是例题本身的答案，我们学数不是为了将来能计算算术，而是为了获得一种思想，为了提高我们的思维能力，为了能够用于解决现实问题。此外，要以教材为中心。虽然说“尽信书不如无书”，但是，就算教材不是完美的，但是教材上包含了我们所要掌握的知识点，而那些知识点是便是我们解题的基础。书上的一些基本公式、定理，是我们必须掌握的。最后，坚持做好习题。做题是必要的，但像高中那样搞题海战术就不必要了。做好教材上的课后题和习题册就足够了，当然，前提是认真地做好了。对于每一道题，有疑问的地方就要解决，不能不求甚解，尽量把每一个细节都理解好，这样的话做好一道题就能解决很多同类型的题了。（以上内容皆为手输）