微分中值定理开题报告.doc

- 1 - 附件10：论文（设计）管理表一 昌吉学院本科毕业论文（设计）开题报告 论文（设计）题目 微分中值定理的若干推广及其应用 系（院） 数学与应用数学 专业班级 07 级数本（2）班 学科 理科 学生 姓名 李娜 指导教师 姓名 黄永峰 学号 职称 助教 一、选题的根据（1、内容包括：选题的来源及意义，国内外研究状况，本选题的研究目标、内容创新点及主要 参考文献等。2、撰写要求：宋体、小四号。） 1.选题的来源及意义 微分中值定理是数学分析课程中的重要内容，同时也是微积分学的基本定理，是研究函数性质的有力工具。函数与其导函数是两个不同的的函数，而导数只是反映函数在一点的局部特征，如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理正好起到了这种作用。它不仅沟通了函数与其导数的关系，而且也是微积分学理论应用的桥梁与基石。但其理论性较强，内容抽象，在许多的教材中定理的形式单一，导致学生的兴趣不大，同时理解和应用起来比较困难，甚至容易得出错误结论。本文针对这一情况，着重论述微分中值的内涵以及相互联系，希望能运用多种方法给出证明，同时对定理的形式和结论做一些推广，并给出一些比较好的应用. 2.国内外研究状况 人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之始就开始了。1637 年，法国著名数学家费马（Fermat，16011665）在求最大值和最小值的方法中给出了费马定理，在许多教科书中，人们通常将它作为微分中值定理的第一个定理。罗尔于1691 年在题为任意次方程的一个解法的证明的论文指出了：在多项式方程的两个相邻的实根之间，方程至少有一个根。一百多年后，即1846 年，尤斯托.伯拉维提斯将这个定理推广到可微函数，并把此命题命名为罗尔定理。1797 年，法国数学家拉格朗日在解析函数论一书中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明。对微分中值定理进行系统研究的是法国的数学家柯西，他是数学分析严格化运动的推动者，其三部巨著分析教程、无穷小计算教程概论及微分计算教程以严格化为其主要目标，对微积分理论进行了重构。他首先赋予中值定理以重要作用，使其成为微分学的核心定理。在无穷小计算教程概论中，柯西首先严格的证明了拉格朗日定理，随后又在微分计算教程中将其推广为广义中值定理柯西定理。 国内关于微分中值定理的理论及应用的研究工作较多，而且得到了一些较好的结果。在参考文献2中,作者运用推广与收缩的观点了揭示了微分中值定理之间的关系，阐述了微分中值定理在微分学的地位与作用，同时介绍了微分中值定理在解题中一些相关应用；在参考文献4中，文章把区间及端点的函数值推广为无限，改进了相应的结果；在参考文献5中，作者采用了启发性教学及应用综合分析法来构造辅助函数， - 2 - 能达到理想的教学效果；在参考文献6中，作者针对在闭区间端点处不连续的函数以及无穷区间上的可导函数的相关问题作了进一步研究，所得结论推广和完善了文献中相应的定理；在参考文献9中，文章通过几个例子具体说明微分中值定理在证明不等式中的应用，以及不同中值定理在解决的不等式的区别；在参考文献10中，作者通过实例系统地介绍一些较好的证明方法，如辅助函数法中导出辅助函数的观察法、积分法、微分方程法以及待定系数法，以此为基础推出若干新的微分中值定理。 3.研究目标 在已学知识和参考文献的的基础上，本文从四个方面进行考虑：第一：将证明方法进行改进；第二：将定理的条件减弱，对结论进行推广；第三：从应用的方面进行推广；第四：对微分中值定理的教学过程中的讲授方法进行相关的探讨。 4.本文创新点 本文将详细介绍三大中值定理之间的密切联系，详细阐述如何构造辅助函数，并给出和常规证法不一样的证明方法；同时对结论进行了相应的推广，给出一些形式更好和条件更弱的结果；此外，还将微分中值定理应用于解决一些实际问题，给出一些比较的应用。 5.主要参考文献 1华东师范大学数学系. 数学分析(第二版)上册M 北京：高等教育出版社.1980. 2刘章辉.微分中值定理及其应用J.山西大同大学学报(自然科学报). 2007， 23(2)：79-81. 3 张玉莲，杨要杰.拉格朗日中值定理的推广J.河南教育学院学报(自然科学版). 2008，29(2)：11-12. 4高波.微分中值定理的推广J.常州工学院学报. 2007,20(6):58-62. 5张珍珍，吴筠.中值定理数学探讨J.九江学院学报. 2007，(3)：109-110. 6齐春玲，李晓培.关于罗尔中值定理条件的研究J.河南科技大学学报：自然科学版. 2007，28（5）：96-97. 7辛健.拉格朗日中值定理在证明中的应用N.大众科技. 2007，(97)： 181-183. 8宋秀英.关于微分中值定理的一点注记J.宜春学院学报(自然性科学). 2007，29(6):46-47. 9赵文祥.微分中值定理与不等式的证明J.天津电大学报. 2007：25-27. 10张太忠，黄星，朱建国.微分中值定理应用的新研究J.南京工业职业技术学院学报. 2007，7(4)：23-26. - 3 - 二、采用的研究方法及手段（1、内容包括：选题的研究方法、手段及实验方案的可行性分析和已具备的实 验条件等。2、撰写要求：宋体、小四号。） 本文采取的是文献研究法的：具体采用了数学归纳法、分析法、反证法、演绎法等方法. 三、论文的框架结构（宋体、小四号） 微分中值定理的若干推广及其应用 0.引言 1.微分中值定理常见的结论及证明 1.1 微分中值定理的历史演变 1.2 Rolle 中值定理及其证明 1.3 Lagrange 中值及其证明 1.4 Cauchy 中值定理及其证明 1.5 Rolle 中值定理、Lagrange 中值、Cauchy 中值定理的区别及联系 2. 微分中值定理的推广 2.1 Rolle 中值定理的推广 2.2 Lagrange 中值定理的推广 2.3 Cauchy 中值定理的推广 2.4 高阶形式的微分中值定理 3. 应用 3.1 利用微分中值定理判别根的存在性 3.2 利用微分中值定理证明不等式 3.3 利用微分中值定理求极限 3.4 中值定理在高中数学中应用 4. 微分中值定理的教学一些探讨 4.1 关于微分中值定理条件的研究 4.2 微分中值定理在现实生产生活的研究 5. 结论 6. 参考文献 7. 致谢 - 4 - 四、写作的阶段计划（宋体、小四号 ） 第一阶段：2010 年11 月29 日2011 年03 月10 日，完成初稿 第二阶段：2011 年03 月11 日2011 年03 月31 日，完成二稿 第三阶段：2011 年04 月01 日2011 年04 月21 日，完成三稿 第四阶段：2011 年04 月22 日2011 年05 月09 日，完成四稿 第五阶段：2011 年05 月10 日2011 年05 月15 日，完成定稿 指 导 教 师 意 见 指 指导教师签名： 年 月 日 - 5 - 系（院） 毕 业 论 文 （设计） 指 导 委 员会 意 见 主任签名： 年 月 日 附件10：论文（设计）管理表二 昌吉学院本科毕业论文（设计）指导记录 论文（设计） 题 目 学 生 姓名 指导教师 姓 名 学号 职 称 指导 次数/ 时间 指 导 内 容（修改意见） 学生 签名/ 时间 - 6 - 附件10：论文（设计）管理表三 昌吉学院本科毕业论文（设计）中期报告 论文（设计） 题 目 学 生 姓名 指导教师 姓 名 学号 职 称 简述开题以来所做的具体工作和取得的进展或成果： 存在的具体问题： 下一步工作具体设想与安排： - 7 - 指导教师意见： 指导教师签名： 年 月 日 系（院）论文（设计）指导委员会意见： 主任签名： 年 月 日 - 8 -