基础拓扑学-教学大纲.doc

拓扑学(Topology)一、基本信息适用专业：数学与应用数学专业课程编号：教学时数：72学时学 分：4课程性质：专业核心课开课系部：数学与计算机科学院使用教材：梁基华，蒋继光拓扑学基础.高等教育出版社参考书1（美）亚当斯 著，沈以淡 等译拓扑学基础及应用.机械工业出版社;2 Munkries "Topology" 2nd ed. Prentice Hall；3尤承业基础拓扑学讲义. 北京大学出版社. 二、课程介绍拓扑学要求掌握一般拓扑学的基本知识，学习处理拓扑学问题的基本方法。了解拓扑学与其他一些学科的联系，强化抽象思维与逻辑推理能力，提高数学素养,为进一步学习奠定基础三、考试形式考试课程，考试成绩由平时成绩和期末考试组成，平时作业占百分之二十，期末考试百分之八十。期末考试是闭卷的形式，重点考察学生的解题能力和基础理论。四、课程教学内容及课时分配第一章 集，映射与序结构要求(1) 熟练笛卡儿积和商集的构造。(2)    了解选择公理与等价的引理，并能在证明中正确应用。(3)掌握映射的基本性质(4)了解偏序集，保序映射，定向与可滤，上，下确界，格与完备格的概念主要内容作为准备，本章介绍有关集合的基本概念，可数集与不可数集的有关结果。集合的交，并，补，笛卡儿积，商集运算极其性质，刻画。选择公理和Zorn引理。映射极其基本性质，偏序集的有关概念和结果，保序映射，序同构。难点 定向与可滤，上，下确界，格与完备格的概念 课时安排（8学时）a) 映射及其性质（1学时）b) 序论基础（6学时）c)      笛卡儿积与选择公理（1学时）第二章  拓扑空间 要求本章是拓扑学最基础的内容，要求理解，熟悉本章的各种概念及其相互联系。熟练应用生成拓扑的各种方法，了解几个具体的拓扑空间。理解分离性和可数性及其等价刻画。主要内容拓扑空间的定义，开集，闭集。生成拓扑的各种方法。基，邻域，闭包，内部极其刻画。 正规，正则分离性。连续映射极其等价刻画，同胚映射与拓扑性质。网与滤子的收敛，相互关系。乘积空间，映射的乘积和乘性问题。重难点 拓扑空间、基、网与漉子的收敛、连续映射课时安排（16学时）a)         拓扑空间，开集，基，邻域(2学时) b)        闭包，内部与分离性(3学时)c)        连续映射与同胚(3学时)d)        网与漉子的收敛(4学时)e)         乘积空间(4学时) 第三章  几类重要的拓扑空间要求 这一章是一般拓扑学的经典内容，在数学的其他学科也有着重要的应用。因此要求理解这几类空间的定义，等价刻画，基本性质以及相互联系。 主要内容度量空间，度量拓扑，基本性质。可度量化空间，完备度量空间。正规性和完全正则性，Uryson引理和Tietze扩张定理。收缩映射与绝对收缩映射，Tychonoff嵌入定理。紧空间极其基本性质，可度量化空间，完备度量空间。正规性和完全正则性度量空间的刻画与性质。紧化理论。重难点 可度量化空间、完备度量空间、正规性、完全正则性、紧性课时安排（16学时）a）度量空间（4学时）b) 具有函数分离性的空间（4学时）c)      紧空间与紧化（4学时）d)      连通与道路连通空间（4学时） 第四章  拓扑与序结构 要求了解处理拓扑学问题的另一种方法，拓扑与序结构之间的有机联系。主要内容分配格与连续格极其刻画，拓扑与序结构的有机联系。局部紧空间及其性质，以及与连续格的相互联系。分配格和布尔代数的拓扑表示定理。Stone空间的刻画课时安排（16学时）a)         具有分配性的格（4学时）b)        Sober空间与特殊序（4学时）c)        局部紧空间（4学时）d)        Stone 对偶理论（4学时） 第五章  基本群 要求 理解商空间和商映射的概念，掌握利用商空间粘和曲面的方法。了解用代数学方法处理拓扑学问题的基本思想。了解基本群及其基本性质，以及简单空间的基本群的计算方法主要内容 商空间和商映射，各种经典的几何曲面的商空间刻画。闭曲面的构造。基本群的建立及其基本性质。道路与同伦提升定理。几类基本空间的基本群的计算。代数基本定理和Brower不动点定理的证明课时安排（16学时）e)         商空间与各种曲面的制作（4学时）f)         基本群的概念与性质（4学时）g)        覆盖空间（4学时）h)        基本群的计算与应用（4学时） 拓扑学考试大纲院 系：数学与计算机科学学院课程名称：拓扑学（第二学期）使用专业：数学与应用数学专业学 时：72 其中，理论学时：72 实践学时：0学 分：4一、设课目的：拓扑学要求掌握一般拓扑学的基本知识，学习处理拓扑学问题的基本方法。了解拓扑学与其他一些学科的联系，强化抽象思维与逻辑推理能力，提高数学素养,为进一步学习奠定基础.二、课程教学内容和教学目标：通过本门课程的教学，使学生掌握点集拓扑学概论基本理论和基本方法，培养学生高度的抽象思维能力，严密的逻辑思维能力。让学生了解现代拓扑学的发展现状，为以后的教学或科研工作打下良好的基础.三、课程考核的基本形式、内容和要求：本课程考核分为两部分：形成性考核和课程期末考试（一）形成性考核形成性考核部分分为：平时考勤（占20%）、作业（占70%）、课堂提问情况（占10%）这三个部分。要求随时检查学生考勤，批改作业，敦促学生边学边做。学生应按时完成各阶段的平时作业。对于抄袭作业的或不按时完成的应给予说服教育，严重者应给予扣分处理。 （二）课程期末考试期末考试采用笔试闭卷形式。考试命题由教研室集体讨论，任课教师可参与命题。本课程期末考试的命题依据是专业教学计划、课程教学大纲以及使用教材。本课程的试卷涉及该教材所含的有关知识内容及练习，其中重点内容为：定向与可滤，上，下确界，格与完备格的概念 ；拓扑空间的定义，开集，闭集。生成拓扑的各种方法。基，邻域，闭包，内部极其刻画。 正规，正则分离性。连续映射极其等价刻画，同胚映射与拓扑性质。网与滤子的收敛，相互关系。乘积空间，映射的乘积和乘性问题；度量空间，度量拓扑，基本性质。可度量化空间，完备度量空间。正规性和完全正则性，Uryson引理和Tietze扩张定理。收缩映射与绝对收缩映射，Tychonoff嵌入定理。紧空间极其基本性质，可度量化空间，完备度量空间。正规性和完全正则性度量空间的刻画与性质。紧化理论；分配格与连续格极其刻画，拓扑与序结构的有机联系。局部紧空间及其性质，以及与连续格的相互联系。分配格和布尔代数的拓扑表示定理。Stone空间的刻画；商空间和商映射，各种经典的几何曲面的商空间刻画。闭曲面的构造。基本群的建立及其基本性质。道路与同伦提升定理。几类基本空间的基本群的计算。代数基本定理和Brower不动点定理的证明.四、考核的组织：本课程的平时作业由任课教师根据学生完成情况进行批阅、评分。 课程期末考试教研室统一组织，以集体流水作业的方式进行批阅。根据班级学生的学习情况形成性考核成绩可占总成绩的30%，期末考试成绩可占总成绩的70%。五、教材1（美）亚当斯 著，沈以淡 等译拓扑学基础及应用.机械工业出版社;2 Munkries "Topology" 2nd ed. Prentice Hall；3尤承业基础拓扑学讲义. 北京大学出版社.六、其他有关说明或要求