20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题10.7 椭圆双曲线抛物线与直线的位置关系（解析版）.docx

第七讲椭圆双曲线抛物线与直线的位置关系【套路秘籍】-始于足下始于足下揣摸直线与圆锥曲线的位置方法1.方法一：代数法常用代数法求位置关系的全然思路联破直线方程与圆锥曲线方程，消y或消x掉掉落一个关于变量x或者变量y的一元方程ax2bxc0或ay2byc0当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的根的判不式为，那么当a0，b0时，即掉掉落一个一次方程，那么直线l与圆锥曲线C订交，且只需一个交点，现在，假设C为双曲线，那么直线l与双曲线的渐近线平行；假设C为抛物线，那么直线l与抛物线的对称轴平行或重合留心：联破直线与圆锥曲线的方程消元后，应留心讨论二次项系数是否为零的情况2.方法二：几多何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，按照图象揣摸大年夜众点个数3.方法三：数形结合使用小题1直线过定点时，按照定点的位置跟双曲线的渐近线的歪率与直线的歪率的大小关系判定其位置关系(2)直线歪率肯定时，通过平行移动直线，比较直线歪率与渐近线歪率的关系来判定其位置关系【修炼套路】-为君聊赋往日诗，努力请从往日始考向一直线与椭圆的位置关系【例1】已经清楚直线，椭圆C：试征询当m取何值时，直线l与椭圆C：1有两个不重合的大年夜众点；2有且只需一个大年夜众点；3不大年夜众点【答案】看法析【分析】将直线l的方程与椭圆C的方程联破，得方程组得，判不式1当，即时，方程有两个差异的实数解，可知原方程组有两组差异的实数解，这时直线l与椭圆C有两个不重合的大年夜众点2当，即时，方程有两个一样的实数解，可知原方程组有两组一样的实数解，这时直线l与椭圆C有且只需一个大年夜众点3当，即或时，方程不实数解，可知原方程组不实数解，这时直线l与椭圆C不大年夜众点【举一反三】1已经清楚直线l过点(0,-1)，椭圆C：x225+y236=1，那么直线l与椭圆C的交点个数为。【答案】2【分析】点0,-1在椭圆C：x225+y236=1的内部，而直线l过点0,-1，直线与椭圆订交，交点个数为2，应选C2设直线l：y2x2，假设l与椭圆x2+y24=1的交点为A，B，点P为椭圆上的动点，那么使PAB的面积为2-1的点P的个数为。【答案】3【分析】由直线l的方程与椭圆x2+y24=1的方程形成方程组y=2x+2x2+y24=1，解得x=0y=2或x=-1y=0，那么A0，2，B1，0，AB=(0+1)2+(2-0)2=5，PAB的面积为21，AB边上的高为h=2-112×5=2(2-1)5设P的坐标为a，b，代入椭圆方程得：a2+b24=1，P到直线y=2x+2的距离d=|2a-b+2|5=2(2-1)5，即2ab=224或2ab=22；联破得：2a-b=22-4a2+b24=1或2a-b=-22a2+b24=1，中的b消去得：2a2222a+542=0，=42224×2×5420，a有两个不相当的根，称心题意的P的坐标有2个；由消去b得：2a2+22a+1=0，=2224×2×1=0，a有两个相当的根，称心题意的P的坐标有1个综上，使PAB面积为21的点P的个数为33 直线yxm与椭圆x24+y2=1有两个差异的交点，那么m的范围是。【答案】5m5【分析】由y=x+mx24+y2=1，得5x2+8mx+4m24=0，结合题意=64m2204m240，解得：5m5，考向二直线与双曲线的位置关系【例2】已经清楚直线与双曲线当k为何值时，直线与双曲线：（1） 有两个大年夜众点；2有一个大年夜众点；3不大年夜众点【答案】看法析【分析】由当4-k2=0,，方程无解当当当当综合上述：当-2<k<2时，直线与双曲线有两个交点（2） 不存在使直线与双曲线有一个大年夜众点的k值（3） 当或时，直线与双曲线不大年夜众点【套路总结】直线与双曲线有三种位置关系：1无大年夜众点，现在直线有可以为双曲线的渐近线2有一个大年夜众点，分两种情况：直线是双曲线的切线，特不地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个大年夜众点3有两个大年夜众点，可以都在双曲线一支上，也可以两支上各有一点【举一反三】1过点P(2，1)作直线l，使l与双曲线x24y21有且仅有一个大年夜众点，如斯的直线l共有条。【答案】2【分析】由双曲线的方程可知其渐近线方程为y±12x，那么点P(2，1)在渐近线y12x上，又双曲线的右顶点为A(2，0)，如以下列图称心条件的直线l有两条：x2，y112(x2)2直线ybax3与双曲线x2a2-y2b21的交点个数是。【答案】1【分析】因为双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线方程为：y=±bax，从而掉掉落直线y=bax+3与双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线平行，因而直线y=bax+3与双曲线x2a2-y2b2=1的交点个数是1，3过点0,1的直线l与双曲线C:x24-y2=1有且只需一个大年夜众点，如斯的直线共有。【答案】4【分析】设过点0,1与双曲线x24-y2=1有且只需一个大年夜众点的直线为y=kx+1，代入双曲线方程，消去y拾掇得1-4k2x2-8kx-8=0，1-4k20时,=64k2+321-4k2=0,k=±22，1-4k2=0时，k=±12，直线与渐近线平行也成破.故过点0,1与双曲线x24-y2=1有且只需一个大年夜众点的直线有4条，4 已经清楚双曲线x2-y2b2=1的离心率等于2，直线y=kx+2与双曲线的左右两支各有一个交点，那么k的取值范围是。【答案】(-1,1)【分析】双曲线x2-y2b2=1的离心率等于2,a=1,ca=2,可得c=2,b=2-1=1,双曲线x2-y2=1,直线y=kx+2与双曲线联破可得1-k2x2-4kx-5=0,直线y=kx+2与双曲线的左右两支各有一个交点,1-k20>05k2-1<0,-1<k<1,即k的取值范围是(-1,1).考向三直线与抛物线的位置关系【例3】设直线l：ykx1，抛物线C：y24x，当k为何值时，l与C相切、订交、相离【答案】看法析【分析】联破方程组消去y，拾掇得k2x2(2k4)x10.假设k0，方程k2x2(2k4)x10为一元二次方程(2k4)24k216(1k)(1)当0，即k1时，l与C相切，(2)当>0，即k<1时，l与C订交，(3)当<0，即k>1时，l与C相离假设k0，直线l方程为y1，显然与抛物线C交于.综上所述，当k1时，l与C相切；当k<1时，l与C订交；当k>1时，l与C相离【举一反三】1已经清楚直线y(a1)x1与曲线y2ax只需一个大年夜众点，务虚数a的值【答案】a0或a1或a45【分析】由题意可得方程组y=a+1x-1y2=ax，1当a0时，方程组化为y=x-1y2=0，解得x=1y=0，因而直线与曲线只需一个交点(1,0)2当a0时，消去x并拾掇得(a1)y2aya0.(*)当a10，即a1时，方程化为y10，方程组的解为x=-1y=-1，方程组只需一组解，因而直线与曲线只需一个交点当a10，即a1时，在方程(*)中，由(a)24a(a1)0，得a=-45，现在方程组只需一组解，因而直线与曲线只需一个大年夜众点，且为切点综上所述，当a0或a1或a=-45时，直线与曲线y2ax只需一个大年夜众点2已经清楚抛物线C:y2=x，直线l:x=my+1，那么“m0是“直线l与抛物线C有两个差异交点的()A充分而不必要条件B需要而不充分条件C充分需要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】设直线l与抛物线C有两个差异交点，把联破直线与抛物线方程消去y得y2-my-1=0,因而=m2+4>0，因而mR,因为“m0是“mR的充分非需要条件，因而“m0是“直线l与抛物线C有两个差异交点的充分非需要条件.【使用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1直线x-2y-3=0与椭圆x2+2y2=3的大年夜众点个数是。【答案】1【分析】由题得y=12x-32，代入椭圆方程得x2-2x+1=0,=22-4=0，因而直线跟椭圆的交点的个数为1。2假设直线axby40跟圆x2y24不大年夜众点，那么过点(a，b)的直线与椭圆x29y241的大年夜众点个数为.【答案】2【分析】因为直线ax+by+4=0跟圆x2+y2=4不大年夜众点，因而原点到直线ax+by+4=0的距离d=4a2+b22，因而a2+b24，因而点Pa，b是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点椭圆的长半轴3，短半轴为2圆x2+y2=4内切于椭圆点P是椭圆内的点过点Pa，b的一条直线与椭圆的大年夜众点数为23已经清楚椭圆C：x24+y23=1，直线l：x+my-m=0mR，l与C的大年夜众点个数为.【答案】2【分析】因为直线：x+my-m=0恒过0,1，而将0,1代入椭圆方程得：13<1，故此点在椭圆内部，因而直线与椭圆订交，故有两个交点.4直线y=kx-2与双曲线x2-y2=1有且仅有一个大年夜众点，那么k=_【答案】±1或±5【分析】联破y=kx-2x2-y2=1，可得(1-k2)x2+4kx-5=0当1-k2=0时，可得k=±1，现在直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有且只需一个交点，称心题意；当1-k20时，由直线与双曲线有且只需一个大年夜众点，可得=16k2+20(1-k2)=0，解得k=±5，称心条件综上可得：k=±1，±5故答案为：±1，±55已经清楚双曲线x212-y24=1的右中心为F，假设过点F的直线与双曲线的右支有且只需一个交点，那么此直线的歪率的取值范围是_【答案】-33,33【分析】双曲线x212-y24=1的渐近线方程y=±33x，当过中心的直线与两条渐近线平行时，直线与双曲线右支分不仅需一个交点(因为双曲线正在与渐近线无限濒临中)，由图可知，歪率不在-33,33的所有直线与双曲线右支有两点交点如图中直线l2，歪率在-33,33的所有直线都与双曲线右支只需一个交点如图中直线m因而此直线的歪率的取值范围-33,33.故答案为-33,33.6直线y=-2x-3与曲线y29-xx4=1的大年夜众点的个数为_【答案】2.【分析】当x0时，曲线y29-xx4=1化为y29-x24=1，当x0时，曲线y29-xx4=1化为y29+x24=1，因而曲线y29-xx4=1是半个双曲线跟半个椭圆形成的图形.因为y29-x24=1的渐近线为y=±32x，直线y=-2x-3的歪率-2-32，数形结合分析得直线y=-2x-3与曲线y29-xx4=1的大年夜众点的个数为2个，故答案为：2.7 已经清楚直线y=kx-1与抛物线x2=8y相切，那么双曲线：x2-k2y2=1的离心率等于.【答案】3【分析】由y=kx-1x2=8y，得x2-8kx+8=0，因为直线与曲线相切，因而=64k2-32=0，k2=12，因而双曲线为x2-y22=1，即a=1，b=2，c=3,离心率等于3，8已经清楚双曲线x216-y29=1的左中心为F1，过F1的直线l交双曲线左支于A、B两点，那么l歪率的取值范围为.【答案】(-,-34)(34,+)【分析】双曲线的渐近线为y=±34x，当直线l与渐近线平行时，与双曲线只需一个交点.当直线l歪率大年夜于零时，要与双曲线左支交于两点，那么需直线歪率k>34；当直线l歪率小于零时，要与双曲线左支交于两点，那么需歪率k<-34.9已经清楚直线l：4x-3y+6=0跟抛物线C：y2=4x，P为C上的一点，且P到直线l的距离与P到C的中心距离相当，那么如斯的点P有.【答案】2【分析】由题P为C上的一点，设Py24,y，P到直线l：4x-3y+6=0的距离d1=y2-3y+632+42又因为抛物线上的点到抛物线中心的距离与到准线的距离相当，因而P到C的中心距离d2=y24+1，那么y2-3y+632+42=y24+1i)当y2-3y+632+42=y24+1即y2+12y-4=0时，>0方程有两个不相当的实数根，即P点有两个；ii)当-y2-3y+632+42=y24+1即9y2-12y+44=0时，<0方程无实根，因而P点不存在。综上，点P有2个10已经清楚直线y=kx+mk>0与抛物线C：y2=4x及其准线分不交于M，N两点，F为抛物线的中心，假设2FM=MN，那么k等于_【答案】3【分析】如以下列图，k>0，设直线l的倾歪角为，由抛物线的定义可知，点M到准线的距离MQ=MF，故sin(2-)=MQMN=MFMN=12，cos=12，那么=3，那么k=tan3=311已经清楚抛物线C：y2=4x，过中心F作倾歪角为60°的直线交抛物线C于A，B两点，且AF>BF，那么AFBF=_.【答案】3【分析】抛物线y22pxp0的中心坐标为p2，0，直线l倾歪角为60°，直线l的方程为：y0=3x-p2设直线与抛物线的交点为Ax1，y1、Bx2，y2，|AF|x1+p2，|BF|x2+p2，联破方程组，消去y并拾掇，得12x220px+3p20，解得x1=3p2，x2=p6，|AF|x1+p2=2p，|BF|x2+p2=2p3，|AF|：|BF|3：1，|AF|BF|的值为3故答案为：312已经清楚中心在原点的双曲线C的右中心为(2,0)，实轴长为23.(1)求双曲线C的方程；(2)假设直线l：ykx2与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；【答案】1x23-y2=1；233<k<1【分析】(1)设双曲线C的方程为1(a>0，b>0)由已经清楚得：a，c2，再由a2b2c2，b21，双曲线C的方程为y21.(2)设A(xA，yA)、B(xB，yB)，将ykx代入y21，得：(13k2)x26kx90.由题意知解得<k<1.当<k<1时，l与双曲线左支有两个交点13已经清楚动点E到点A2，0与点B-2，0的直线歪率之积为-14，点E的轨迹为曲线C1求曲线C的方程；2过点Dl，0作直线l与曲线C交于P，Q两点，且OPOQ=-35求直线l的方程【答案】1x24+y2=1x±2；2x±y-1=0【分析】1动点E到点A2，0与点B-2，0的直线歪率之积为-14，yx+2yx-2=-14x±2化为：x24+y2=1x±2，即为点E的轨迹曲线C的方程2当lx轴时，l的方程为：x=1，代入：x24+y2=1，解得P1，32，Q1，-32OPOQ=1-34=14-35不符合题意，舍去当l与x轴不垂直时，设l的方程为：y=kx-1k0，代入：x24+y2=1，化为：1+4k2x2-8k2x+4k2-4=0，0设Px1，y1，Qx2，y2那么：x1+x2=8k21+4k2，x1x2=4k2-41+4k2，OPOQ=x1x2+y1y2=x1x2+k2x1-1x2-1=1+k2x1x2-k2x1+x2+k2=k2-41+4k2=-35，解得k=±1直线l的方程x±y-1=014已经清楚F为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左中心，离心率为22，过F且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为2(1)求该椭圆方程；(2)设直线l同时与椭圆跟抛物线y2=4x各恰有一个大年夜众交点，求直线l的方程【答案】1x22+y2=1；2y=22x+2或y=-22x-2或y=±1【分析】(1)由e=ca=22，得a2=2b2，方程椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)中，令x=c，可得y=±b2a即2×b2a=2，得a=2，b=1，得椭圆方程x22+y2=1；(2)显然直线l存在歪率，设其方程为y=kx+m，x2+2y2=2y=kx+m，拾掇得：(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0，由=0，化简得：m2-2k2-1=0，y=kx+m代入抛物线C2：y2=4x，掉掉落k4y2-y+m=0，k=0时，y=mk0时=0，化简得：km-1=0，当km=1m2=2k2+1k=22m=2，k=-22m=-2当k=0时，m=±1直线的方程为y=22x+2或y=-22x-2或y=±115在直角坐标系中椭圆C：y2a2+x2b2=1a>b>0通过A3，0，B0，2两点1求椭圆C的方程2过原点O的直线与线段AB交于点D，与椭圆C交于E，F两点，求四边形AEBF面积的最大年夜值【答案】1x24+y23=1；226【分析】1由题可知a=2,b=3，因而椭圆方程是y24+x23=1.2因为直线EF过原点，因而E，F关于原点对称，S四边形AEBF=SAOF+SBOF+SBOE+SAOE=2SAOE+2SBOE=2SAOB+SABEAB直线方程x3+y2=1与AB平行的直线l得方程x3+y2=m，m>0，即2x+3y-23m=0由2x+3y-23m=0x24+y23=1联破得y2-2my+2m2-2=0由=4m2-42m2-2=0可得m=2因而AB到直线l的距离d=232-17因而SABE的最大年夜值是12×7×232-17=32-1=6-3而SAOB=12×3×2=3S四边形AEBF的最大年夜值是2×6-3+3=26.16已经清楚椭圆C：x2a2+y2b2=1ab0通过点1，32，且焦距为231求椭圆C方程；2椭圆C的左，右中心分不为F1，F2，过点F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，求F2AB面积S的最大年夜值并求出呼应直线l的方程【答案】1x24+y2=1；2x+2y-3=0，x-2y-3=0【分析】1由已经清楚可得1a2+34b2=1a2-b2=3，解得a2=4，b2=1，椭圆C方程为x24+y2=1，2由题中左、右中心易知F1-3，0，F2-3，0，假设直线l的倾歪角为0，显然F，A，B三点不形成三角形，故直线l的倾歪角不为0，可设直线l的方程为x=my+3，由x=my+3x24+y2=1，消x可得m2+4y2+23my-1=0设Ax1，y1、Bx2，y2，那么y1+y2=-23mm2+4，y1y2=-1m2+4|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y212m2(m2+4)+4m2+4=4m2+1m2+4F2AB的面积S=12|F1F2|y1-y2|=43m2+1m2+4=43m2+1m2+1+3=431m2+1+3m2+14312m2+13m2+1=2当且仅当m2+1=3，即m=±2时，等号成破，S取得最大年夜值2，现在直线l的方程为x+2y-3=0，或x-2y-3=017已经清楚椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，且通过点M(3,12)求椭圆C的方程；与x轴不垂直的直线l通过N(0,2)，且与椭圆C交于A，B两点，假设坐标原点O在以AB为直径的圆内，求直线l歪率的取值范围【答案】x24+y2=1(-,-62)(62,+)【分析】由题意可得3a2+14b2=1a2=b2+c2ca=32，解得a=2，b=1，椭圆C的方程为x24+y2=1设直线l的方程为y=kx+2，代入椭圆方程x24+y2=1拾掇可得得(1+4k2)x2+82kx+4=0，=(82k)2-16(1+4k2)>0，解得k>12或k<-12，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，又x1+x2=-82k1+4k2，x1x2=41+4k2，y1y2=k2x1x2+2k(x1+x2)+2，坐标原点O在以AB为直径的圆内，OAOB<0，x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+2=(1+k2)41+4k2+2k(-82k1+4k2)+2<0，解得k<-62或k>62.故直线l歪率的取值范围为(-,-62)(62,+).