知识讲解_三角恒等变换_基础.doc

三角恒等变卦编稿：李霞审稿：孙永钊【考大年夜纲求】1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2、能使用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3、能使用两角差的余弦公式导出两角跟的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的外延联系.4、能使用上述公式停顿复杂的恒等变卦包括导出积化跟差、跟差化积、半角公式，但对这三组公式不恳求阅历.【知识搜集】复杂的三角恒等变卦三角恒等变卦两角跟与差的三角函数公式倍角公式【考点梳理】考点一、两角跟、差的正、余弦公式要点说明：1公式的有用条件(定义域)：前两个公式,对任意实数，都成破，这说明该公式是R上的恒等式；公式中2正向用公式,，能把跟差角的弦函数表示成单角，的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为跟差角的弦函数。公式正向用是用单角的正切值表示跟差角的正切值化简。考点二、二倍角公式1.在两角跟的三角函数公式时，就可掉掉落二倍角的三角函数公式：；。要点说明：1在公式中，角没有限制，但公式中，只需事前才成破；2.余弦的二倍角公式有三种：；解题对应按照差异函数名的需要，函数差异的方法，公式的双向使用分不起缩角升幂跟扩角落幂的感染。3.二倍角公式不仅限于2跟的二倍的方法，不的如4是2的二倍，的二倍等等，要熟悉这多种方法的两个角相对二倍关系，才能熟练地使用二倍角公式，这是敏锐使用这些公式的关键。考点三、二倍角公式的推论落幂公式：；.万能公式：；.半角公式：；.其中根号的标志由所在的象限决定.要点说明：(1)半角公式中正负号的拔取由所在的象限判定；(2)半角全然上相对于某个角来说的，如可以看作是3的半角，2可以看作是4的半角等等。(3)正切半角公式成破的条件是2k+(kZ)正切尚有不的两个半角公式：，这两个公式不用考虑正负号的拔取征询题，但是需要清楚两个三角函数值。常常用于把正切化为正余弦的表达式。考点四、三角形内角定理的变形由，知可得出：，.而，有：，.【模典范题】典范一：正用公式例12016世界新课标假设，那么ABCD【答案】D【分析】因为，因而，即，即.【点评】例1是对公式的正用举一反三：【变式1】已经清楚，那么.【答案】.【变式2】已经清楚，那么.【答案】【变式3】已经清楚跟是方程的两个根，求的值.【答案】【分析】由韦达定理，得，.【高清课堂：三角恒等变卦397881例1】【变式4】某同学在一次研究性深造中觉察,以下五个式子的值都等于一致个常数.(1)(2)(3)(4)(5)试从上述五个式子中选择一个,求出谁人常数按照()的打算结果,将该同学的觉察履行三角恒等式,并证明你的结论.【分析】.选择(2)式打算如下.证明:例2(源汇区校级一模)设，且，那么.【思路点拨】留心到，将，看做一个全部使用公式.【答案】【分析】且，且，【点评】1、给出某些角的三角函数式的值，求不的一些角的三角函数值，解题关键在于“变角，例2中使用了的变卦，表达了敏锐处理征询题的才能，应着重体会，稀有的变卦技艺尚有，,等.2、已经清楚某一个或两个角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，全然的解题策略是从“角的关系式入手切入或攻破.角的关系要紧有互余或互补关系，跟差为特不角关系，倍半关系等.对于比较复杂的征询题，那么需要两种关系的混淆使用.举一反三：【变式1】已经清楚，是第二象限角，且，求的值.【答案】【分析】由且是第二象限角，得，.【变式2】函数的最大年夜值为ABCD【答案】C；【分析】，.因而其最大年夜值为2，应选C.【变式3】(河南模拟)假设，那么等于()A.B.C.D.【答案】A【分析】应选A.【变式4】已经清楚，求的值。【答案】【分析】，。典范二：逆用公式例3.求值：1；2；3；4.【思路点拨】逆用两角跟差正余弦公式，正切公式.【分析】1原式=；2原式；3原式；4原式.【点评】把式中某函数作适当的转换之后，再逆用两角跟差正余弦公式，二倍角公式等，即所谓“逆用公式。辅助角公式：，其中角在公式变形过程中自然判定.举一反三：【变式1】化简.【答案】【变式2】已经清楚，那么的值为ABCD【答案】A；【分析】，.例4.求值：1；2【思路点拨】要使能使用公式化简，分子分母同乘以第一个角的正弦值.【分析】1原式=；2原式=【点评】此种类型题比较特不，特不在：余弦相乘；后一个角是前一个角的2倍；最大年夜角的2倍与最小角的跟与差是p。三个条件缺一弗成。不的需要留心2的个数。应看到操纵了这些方法后可处理一类征询题，假设通过适当的转化，转化成存在这种特色的结构，那么可考虑采用谁人方法。举一反三：【变式】求值：1；2.【答案】1；2【分析】1原式=2典范三：变用公式例5求值：1；2【思路点拨】通过正切公式，留心到与之间的联系.【分析】1，原式.2，.【点评】此题是使用了两角跟正切公式的变形，寻出与三者间的关系，停顿转化，即所谓“变用公式处理征询题；变用公式在一些解三角征询题中起着要紧感染，需敏锐操纵.但它是以公式原型为基础，按照题目需要而采用的方法，如：，.举一反三：【变式1】求值：=【答案】1【变式2】在中，,，试揣摸的形状.【答案】等腰三角形【分析】由已经清楚得,即，又,故,故是顶角为的等腰三角形.典范四：三角函数式的化简与求值例6.化简：1；(2【思路点拨】1中函数有正弦有正切，一般将切化弦处理；2中有平方，同时角度之间也有关系，因而要用二倍角公式落次.【分析】1原式=2原式=【点评】三角变卦所涉及的公式理论上正是研究了各种组合的角如跟差角，倍半角等的三角函数与每一单角的三角函数关系。因而具体使用时，留心对征询题所涉及的角度及角度关系停顿不雅观看。三角变卦中一般采用“落次、“化弦、“通分的方法；在三角变卦中常常用到落幂公式：，.举一反三：【变式1】化简：1；2；3【答案】1原式=；2原式=；3原式=.【变式2】假设，且，那么_.【答案】由，得，.例7已经清楚，且，求的值.【思路点拨】题设中给出是角的正切值，故考虑正切值的打算，同时通过估算的区间求出精确的值.【分析】，而，故，又，故，从而，而，而，又，【点评】对给值求角征询题，一般是通过求三角函数值实现的，先求出某一种三角函数值，再考虑角的范围，然后得出称心条件的角本例的确是给值求角，关键是估算的区间，给值求角肯定要将所求角限制在某个单值区间内，这是关键点也是难点在本例中使用了配角技艺，这些都要予以留心.举一反三：【变式1】已经清楚，为锐角，那么的值是A.B.C.或D.【答案】A【变式2】已经清楚，求。【分析】，解得,，.