高考数学(理)一轮复习讲义10.2　排列与组合.docx

§10.2摆设与组合最新考纲考情考向分析1.理解摆设的不雅念及摆设数公式，并能使用公式处理一些复杂的理论征询题2.理解组合的不雅念及组合数公式，并能使用公式处理一些复杂的理论征询题.以理解跟应用摆设、组合的不雅念为主，常常以理论征询题为载体，调查分类讨论思想，调查分析、处理征询题的才干，题型以选择、填空为主，难度为中档.1摆设与组合的不雅念名称定义摆设从n个差异元素中取出m(mn)个元素按照肯定的次第排成一列组合并成一组2.摆设数与组合数(1)摆设数的定义：从n个差异元素中取出m(mn)个元素的所有摆设的个数叫做从n个差异元素中取出m个元素的摆设数，用A表示(2)组合数的定义：从n个差异元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个差异元素中取出m个元素的组合数，用C表示3摆设数、组合数的公式及性质公式(1)An(n1)(n2)(nm1)(2)C性质(3)0！1；An！(4)CC；CCC_不雅念办法微考虑1摆设征询题跟组合征询题的区不是什么？提示元素之间与次第有关的为摆设，与次第有关的为组合2摆设数与组合数公式之间有何关联？它们公式都有两种办法，怎么样选择应用？提示(1)摆设数与组合数之间的联系为CAA.(2)两种办法分不为：连乘积办法；阶乘办法前者多用于数字打算，后者多用于含有字母的摆设数式子的变形与论证3解摆设组合综合应用征询题的思路有哪些？提示解摆设组合综合应用题要从“分析“辨别“分类“分步的角度入手“分析是寻出题目的条件、结论，哪些是“元素，哪些是“位置；“辨别的确是辨别是摆设仍然组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类的确是对于较复杂的应用题中的元素屡屡分成互相排斥的多少多类，然后逐类处理；“分步的确是把征询题化成多少多个互相联系的步伐，而每一步根本上复杂的摆设组合征询题，然后逐步处理题组一考虑辨析1揣摸以下结论是否精确(请在括号中打“或“×)(1)所有元素完好一样的两个摆设为一样摆设(×)(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后次第(×)(3)两个组合一样的充要条件是其中的元素完好一样()(4)(n1)！n！n·n！.()(5)假设组合式CC，那么xm成破(×)(6)kCnC.()题组二讲义改编26把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A144B120C72D24答案D分析“插空法，先排3个空位，形成4个漏洞供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A4×3×224.3用数字1,2,3,4,5形成无反双数字的四位数，其中偶数的个数为()A8B24C48D120答案C分析末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，共有AA48(种)排法，因此偶数的个数为48.题组三易错自纠4六集团从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不克不迭排甲，那么差异的排法共有()A192种B216种C240种D288种答案B分析第一类：甲在最左端，有A5×4×3×2×1120(种)排法；第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有4A4×4×3×2×196(种)排法因此共有12096216(种)排法5为展开海外孔子学院，教诲部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，假设每个国家至多去一人，那么差异的选派方案种数为()A180B240C540D630答案C分析依题意，选派方案分为三类：一个国家派4名，另两个国家各派1名，有·A90(种)；一个国家派3名，一个国家派2名，一个国家派1名，有CCCA360(种)；每个国家各派2名，有·A90(种)，故差异的选派方案种数为9036090540.6寒假里5名同学结伴乘动车外出巡游，实名制购票，每人一座，恰在一致排A，B，C，D，E五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，那么恰有一人坐对与自己车票符合座位的坐法有_种(用数字作答)答案45分析设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，假设恰有一人坐对与自己车票符合的坐法，设E同学坐在自己的座位上，那么其他四位都不坐自己的座位，那么有BADC，BDAC，BCDA，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共9种坐法，那么恰有一人坐对与自己车票符合座位的坐法有9×545(种).题型一摆设征询题1用1,2,3,4,5这五个数字，可以形成比20000大年夜，同时百位数不是数字3的不反双数字的五位数，共有()A96个B78个C72个D64个答案B分析按照题意知，恳求谁人五位数比20000大年夜，那么首位必须是2,3,4,5这4个数字中的一个，当首位是3时，百位数不是数字3，符合恳求的五位数有A24(个)；当首位是2,4,5时，由于百位数不克不迭是数字3，那么符合恳求的五位数有3×(AA)54(个)，因此共有542478(个)如斯的五位数符合恳求应选B.2某高三毕业班有40人，同学之间两两互相给对方写一条毕业留言，那么全班共写了_条毕业留言(用数字作答)答案1560分析由题意知两两互相给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的摆设数，因此全班共写了A40×391560(条)留言36名同学站成1排照相，恳求同学甲既不站在最右边又不站在最右边，共有_种差异站法答案480分析办法一(位置优先法)先从其他5人中安排2人站在最右边跟最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：第1步，从除甲外的5人中选2人站在最右边跟最右边，有A种站法；第2步，余下4人(含甲)站在剩下的4个位置上，有A种站法由分步乘法计数情理可知，共有AA480(种)差异的站法办法二(元素优先法)先安排甲的位置(既不站在最右边又不站在最右边)，再安排其他5人的位置，分为两步：第1步，将甲排在除最右边、最右边外的任意位置上，有A种站法；第2步，余下5人站在剩下的5个位置上，有A种站法由分步乘法计数情理可知，共有AA480(种)差异的站法思想升华摆设应用征询题的分类与解法(1)对于无限制条件的摆设征询题，分析征询题时有位置分析法、元素分析法，在理论停顿摆设时一般采用特不元素优先原那么，即先安排无限制条件的元素或无限制条件的位置，对于分类过多的征询题可以采用开门见山法(2)对相邻征询题采用捆绑法、不相邻征询题采用插空法、定序征询题采用倍缩法是处理无限制条件的摆设征询题的常用办法题型二组合征询题例1男运发起6名，女运发起4名，其中男、女队长各1名现选派5人外出参加比赛，在以下状况中各有多少多种选派办法？(1)男运发起3名，女运发起2名；(2)至多有1名女运发起；(3)队长中至多有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运发起解(1)分两步完成：第一步，选3名男运发起，有C种选法；第二步，选2名女运发起，有C种选法由分步乘法计数情理可得，共有C·C120(种)选法(2)办法一“至多有1名女运发起包括以下四种状况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男由分类加法计数情理可得总选法共有CCCCCCCC246(种)办法二“至多有1名女运发起的反面为“全是男运发起，可用开门见山法求解从10人中任选5人有C种选法，其中全是男运发起的选法有C种因此“至多有1名女运发起的选法有CC246(种)(3)办法一(开门见山法)可分类求解：“只需男队长的选法种数为C；“只需女队长的选法种数为C；“男、女队长都中选的选法种数为C，因此共有2CC196(种)选法办法二(开门见山法)从10人中任选5人有C种选法，其中不选队长的办法有C种因此“至多有1名队长的选法有CC196(种)(4)当有女队长时，其不人任意选，共有C种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有C种选法，其中不含女运发起的选法有C种，因此不选女队长时的选法共有(CC)种因此既要有队长又要有女运发起的选法共有CCC191(种)思想升华组合征询题常有以下两类题型变卦：(1)“含有或“不含有某些元素的组合题型：“含，那么先将这些元素取出，再由不的元素补足；“不含，那么先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去拔取(2)“至多或“至多含有多少多个元素的组合题型：解这类题必须特不重视“至多与“至多这两个关键词的含义，防范重复与漏解用开门见山法跟开门见山法都可以求解，素日用开门见山法分类复杂时，考虑逆向思想，用开门见山法处理跟踪训练1某市工商局对35种商品停顿抽样检查，已经清楚其中有15种假货现从35种商品中拔取3种(1)其中某一种假货必须在内，差异的取法有多少多种？(2)其中某一种假货不克不迭在内，差异的取法有多少多种？(3)恰有2种假货在内，差异的取法有多少多种？(4)至多有2种假货在内，差异的取法有多少多种？(5)至多有2种假货在内，差异的取法有多少多种？解(1)从余下的34种商品中，拔取2种有C561种取法，某一种假货必须在内的差异取法有561种(2)从34种可选商品中，拔取3种，有C种或者CCC5984种取法某一种假货不克不迭在内的差异取法有5984种(3)从20种真货中拔取1种，从15种假货中拔取2种有CC2100种取法恰有2种假货在内的差异的取法有2100种(4)拔取2种假货有CC种，拔取3种假货有C种，共有拔取办法CCC21004552555(种)至多有2种假货在内的差异的取法有2555种(5)办法一(开门见山法)拔取3种的总数为C，因此共有拔取办法CC65454556090(种)至多有2种假货在内的差异的取法有6090种办法二(开门见山法)拔取3种真货有C种，拔取2种真货有CC种，拔取1种真货有CC种，因此共有拔取办法CCCCC6090(种)至多有2种假货在内的差异的取法有6090种题型三摆设与组合的综合征询题命题点1相邻征询题例23名男生、3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为()A2B9C72D36答案C分析可分两步完成：第一步，把3名女生作为一个全部，看成一个元素，3名男生作为一个全部，看成一个元素，两个元素排成一排有A种排法；第二步，3名女生排在一起有A种排法，3名男生排在一起有A种排法，故排法种数为AAA72.命题点2相间征询题例3某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目跟1个相声类节目的演出次第，那么同类节目不相邻的排法种数是()A72B120C144D168答案B分析先安排小品节目跟相声节目，然后让歌舞节目去插空安排小品节目跟相声节目的次第有三种：“小品1，小品2，相声“小品1，相声，小品2跟“相声，小品1，小品2对于第一种状况，办法为“小品1歌舞1小品2相声，有ACA36(种)安排办法；同理，第三种状况也有36种安排办法，对于第二种状况，三个节目形成4个空，其办法为“小品1相声小品2，有AA48(种)安排办法，故共有363648120(种)安排办法命题点3特不元素(位置)征询题例4大年夜数据时代出现了滴滴打车效力，二胎政策的摊开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在某都市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个小孩共8人，他们准备应用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘一致辆车的4个小孩不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘一致辆车，那么乘坐甲车的4个小孩恰有2个来自于一致个家庭的乘坐办法共有()A18种B24种C36种D48种答案B分析按照题意，分两种状况讨论：A家庭的孪生姐妹在甲车内，甲车内不的的两个小孩要来自差异的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个小孩中任选一个来乘坐甲车，有C×C×C12(种)乘坐办法；A家庭的孪生姐妹不在甲车内，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个小孩都在甲车内，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个小孩中任选一个来乘坐甲车，有C×C×C12(种)乘坐办法，故共有121224(种)乘坐办法，应选B.思想升华解摆设、组合征询题要按照的两个原那么按元素(位置)的性质停顿分类；按状况发生的过程停顿分步具体地说，解摆设、组合征询题常以元素(位置)为主体，即先称心特不元素(位置)，再考虑其他元素(位置)跟踪训练2(1)把5件差异的产品摆成一排，假设产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，那么差异的摆法有_种答案36分析将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品停顿全摆设，共有AA种办法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品停顿全摆设，共有AA种办法因此符合题意的摆法共有AAAA36(种)(2)从6男2女共8名老师中选出队长1人，副队长1人，一般队员2人形成4人效力队，恳求效力队中至多有1名女生，那么共有_种差异的选法(用数字作答)答案660分析办法一只需1名女生时，先选1名女生，有C种办法；再选3名男生，有C种办法；然后排队长、副队长位置，有A种办法由分步乘法计数情理知，共有CCA480(种)选法有2名女生时，再选2名男生，有C种办法；然后排队长、副队长位置，有A种办法由分步乘法计数情理知，共有CA180(种)选法因此按照分类加法计数情理知，共有480180660(种)差异的选法办法二不考虑限制条件，共有AC种差异的选法，而不女生的选法有AC种，故至多有1名女生的选法有ACAC840180660(种)1“中国梦的英文翻译为“ChinaDream，其中China又可以简写为CN，从“CNDream中取6个差异的字母排成一排，含有“ea字母组合(次第波动)的差异摆设共有()A360种B480种C600种D720种答案C分析从其他5个字母中任取4个，然后与“ea停顿全摆设，共有CA600种，应选C.2有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，同时乙、丙两位同学要站在一起，那么差异的站法有()A240种B192种C96种D48种答案B分析当丙跟乙在甲的左侧时，共有ACAA96种摆设办法，同理，当丙跟乙在甲的右侧时也有96种摆设办法，因此共有192种摆设办法3某小区有排成一排的7个车位，现有3辆差异型号的车需要停放，假设恳求剩余的4个车位连在一起，那么差异的停放办法的种数为()A16B18C24D32答案C分析将4个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆差异型号的车，在3个车位上任意摆设，有A6(种)排法，再将捆绑在一起的4个车位拔出4个空档中，有4种办法，故共有4×624(种)办法4(2017·世界)安排3名志愿者完成4项义务，每人至多完成1项，每项义务由1人完成，那么差异的安排办法共有()A12种B18种C24种D36种答案D分析由题意可知，其中1人必须完成2项义务，其他2人各完成1项义务，可得安排办法为C·C·A36(种)，或列式为C·C·C3××236(种)5(2018·大年夜连质检)互纷歧样的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为白色，先要摆成一排，恳求白色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放办法()AA种BA种CAA种DCCAA种答案D分析白色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，即白色菊花单方各一盆白色菊花，一盆黄色菊花，共有CCAA种摆放办法6(2016·四川)用数字1,2,3,4,5形成不反双数字的五位数，其中奇数的个数为()A24B48C60D72答案D分析由题可知，五位数要为奇数，那么个位数只能是1,3,5.分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有C种选法，再将剩下的4个数字摆设有A种排法，那么称心条件的五位数有C·A72(个)应选D.7假设把英语单词“good的字母次第写错了，那么可以出现的差错办法共有_种(用数字作答)答案11分析把g，o，o，d4个字母排一列，可分两步停顿，第一步：排g跟d，共有A种排法；第二步：排两个o，共1种排法，因此总的排法种数为A12.其中精确的有一种，因此差错的共有A112111(种)8在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其他5张无奖将这8张奖券分配给4集团，每人2张，差异的获奖状况有_种(用数字作答)答案60分析分两类：第一类：3张中奖奖券分给3集团，共A种分法；第二类：3张中奖奖券分给2集团，相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人，共有CA种分法总获奖状况共有ACA60(种)9(2018·抚顺模拟)要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上说话，假设甲、乙都被选中，且他们说话中间偏偏间隔一人，那么差异的说话次第共有_种(用数字作答)答案120分析先从除了甲、乙以外的6人中选一人，安排在甲乙中间，有CA12(种)，把这三集团看成一个全部，与从剩下的五人中选出的一集团全摆设，有CA10(种)，故差异的说话次第共有12×10120(种)10用数字0,1,2,3,4形成的五位数中，中间三位数字各纷歧样，但首末两位数字一样的共有_个答案240分析由题意知此题是一个分步计数征询题，从1,2,3,4四个数中拔取一个有四种选法，接着从这五个数中拔取3个在中间三个位置摆设，共有A60(个)，按照分步乘法计数情理知，有60×4240(个)11将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个差异的盒子中，每个盒子至多有一个球，那么一共有_种放法答案150分析标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个差异的盒子中，每个盒子至多有一个球，故可分成(3,1,1)跟(2,2,1)两组，共有C25(种)分法，再分配到三个差异的盒子中，共有25·A150(种)放法12某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至多住1人，且A，B不克不迭住一致房间，那么共有_种差异的安排办法(用数字作答)答案114分析5集团住3个房间，每个房间至多住1人，那么有(3,1，1)跟(2,2,1)两种，当为(3,1,1)时，有C·A60(种)，A，B住一致房间有C·A18(种)，故有601842(种)，当为(2,2,1)时，有·A90(种)，A，B住一致房间有C·A18(种)，故有901872(种)，按照分类加法计数情理可知，共有4272114(种)13(2018·呼跟浩特质检)7人站成两排行列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人参加行列，前排加一人，后排加两人，其不人保持相对位置波动，那么差异的参加办法的种数为()A120B240C360D480答案C分析前排3人有4个空，从甲、乙、丙3人中选1人拔出，有CC种办法，对于后排，假设拔出的2人不相邻，有A种办法；假设相邻，有CA种，故共有CC(ACA)360(种)，应选C.14设三位数nabc，假设以a，b，c为三条边的长可以形成一个等腰(含等边)三角形，那么如斯的三位数n有多少多个？解a，b，c要能形成三角形的边长，显然均不为0，即a，b，c1,2,3，9假设形成等边三角形，设如斯的三位数的个数为n1，由于三位数中三个数字都一样，因此n1C9；假设形成等腰(非等边)三角形，设如斯的三位数的个数为n2，由于三位数中只需2个差异数字，设为a，b，留心到三角形腰与底可以互换，因此可取的数组(a，b)共有2C组，但昔时夜数为底时，设a>b，必须称心b<a<2b，现在，不克不迭形成三角形的数字是a98765432b4,3,2,14,3,2,13,2,13,2,11,21,211共20种状况同时，每个数组(a，b)中的两个数字填上三个数位，有C种状况，故n2C(2C20)156.综上，nn1n2165.15用0,1,2,3,4,5可以形成的无反双数字的能被3整除的三位数的个数是()A20B24C36D40答案D分析由于能被3整除的三位数字形成为012,024,015,045,123,234,315,345，共8种状况，因此对应摆设数分不为2A，2A，2A，2A，A，A，A，A，因此一共有2A2A2A2AAAAA40(种)16设聚拢A(x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7)|xi1,0,1，i1,2,3,4,5,6,7，那么聚拢A中称心条件“1|x1|x2|x3|x7|4的元素个数为()A938B900C1200D1300答案A分析A中元素为有序数组(x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7)，题中恳求有序数组的7个数中仅有1个±1，仅有2个±1，仅有3个±1或仅有4个±1，因此共有C×2C×22C×23C×24938(个)