部编8 第7讲　正弦定理和余弦定理的应用举例　新题培优练.doc

基础题组练1.如图，两座灯塔A跟B与河岸不雅观看站C的距离相当，灯塔A在不雅观看站南偏西40°，灯塔B在不雅观看站南偏东60°，那么灯塔A在灯塔B的()A北偏东10°B北偏西10°C南偏东80°D南偏西80°分析：选D.由条件及题图可知，AB40°，又BCD60°，因此CBD30°，因此DBA10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.2已经清楚A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km，现测得ABC120°，那么A，C两地间的距离为()A10kmB10kmC10kmD10km分析：选D.由余弦定理可得：AC2AB2CB22AB×CB×cos120°1022022×10×20×700.因此AC10(km)3如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分不为75°，30°，现在气球的高是60m，那么河流的宽度BC等于()A240(1)mB180(1)mC120(1)mD30(1)m分析：选C.因为tan15°tan(60°45°)2，因此BC60tan60°60tan15°120(1)(m)4已经清楚台风中心位于都市A东偏北(为锐角)度的150公里处，以v公里/小时沿正东倾向快速移动，2.5小时后到达距都市A西偏北(为锐角)度的200公里处，假设coscos，那么v()A60B80C100D125分析：选C.画出图象如以下列图，由余弦定理得(2.5v)2200215022×200×150cos()，由正弦定理得，因此sinsin.又coscos，sin2cos21，解得sin，故cos，sin，cos，故cos()0，代入解得v100.5空中上有两座相距120m的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为，且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角，那么两塔的高度分不为()A50m，100mB40m，90mC40m，50mD30m，40m分析：选B.设高塔高Hm，矮塔高hm，在O点望高塔塔顶的仰角为.那么tan，tan，按照三角函数的倍角公式有.因为在两塔底连线的中点O望两塔塔顶的仰角互为余角，因此在O点望矮塔塔顶的仰角为，由tan，tan，得.联破解得H90，h40.即两座塔的高度分不为40m，90m.6一船自西向东匀速飞翔，上午10时到达灯塔P的南偏西75°，距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的西南倾向的N处，那么此船飞翔的速度为_海里/小时分析：如图，由题意知MPN75°45°120°，PNM45°.在PMN中，因此MN68×34(海里)又由M到N所用的时刻为14104(小时)，因此此船的飞翔速度v(海里/小时)答案：7.如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，A，B的距离是84m，那么塔高CD_m.分析：设塔高CDxm，那么ADxm，DBxm.又由题意得ADB90°60°150°，在ABD中，运用余弦定理，得842x2(x)22·x2cos150°，解得x12(负值舍去)，故塔高为12m.答案：128.如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，不雅观看者寻到一个点C，从C点可以不雅观看到点A，B；寻到一个点D，从D点可以不雅观看到点A，C；寻到一个点E，从E点可以不雅观看到点B，C.测量掉掉落：CD2，CE2，D45°，ACD105°，ACB48.19°，BCE75°，E60°，那么A，B两点之间的距离为_.分析：依题意知，在ACD中，DAC30°，由正弦定理得AC2，在BCE中，CBE45°，由正弦定理得BC3.在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22AC·BCcosACB10，因此AB.答案：9如图，为测量山高MN，选择A跟另一座山的山顶C为测量不雅观察点从A点测得M点的仰角MAN60°，C点的仰角CAB45°以及MAC75°，从C点测得MCA60°.已经清楚山高BC100m，求山高MN.解：按照题图，AC100m.在MAC中，CMA180°75°60°45°.由正弦定理得AM100m.在AMN中，sin60°，因此MN100×150(m)10.如图，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到A的距离分不为20千米跟50千米，某时刻，B收到发自运动目标P的一个声波旗帜暗记，8秒后A，C同时接到该声波旗帜暗记，已经清楚声波在水中的转达速度是1.5千米/秒(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；(2)求P到海防警戒线AC的距离解：(1)依题意，有PAPCx，PBx1.5×8x12.在PAB中，AB20，cosPAB，同理，在PAC中，AC50，cosPAC.因为cosPABcosPAC，因此，解得x31.(2)作PDAC于点D(图略)，在ADP中，由cosPAD，得sinPAD，因此PDPAsinPAD31×4.故运动目标P到海防警戒线AC的距离为4千米综合题组练1如图，某室庐小区的破体图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出出口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已经清楚某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟假设此人步行的速度为每分钟50米，那么该扇形的半径的长度为()A50米B50米C50米D50米分析：选B.设该扇形的半径为r米，连接CO.由题意，得CD150(米)，OD100(米)，CDO60°，在CDO中，CD2OD22CD·OD·cos60°OC2，即150210022×150×100×r2，解得r50.2.如以下列图，在一个坡度肯定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平空中的坡角，在山坡的A处测得DAC15°，沿山坡前进50m到达B处，又测得DBC45°，按照以上数据可得cos_分析：由DAC15°，DBC45°可得BDA30°，DBA135°，BDC90°(15°)30°45°，由内角跟定理可得DCB180°(45°)45°90°，按照正弦定理可得，即DB100sin15°100×sin(45°30°)25(1)，又，即，掉掉落cos1.答案：13如图，小明同学在山顶A处不雅观察到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分不为30°，45°，且BAC135°.假设山高AD100m，汽车从B点到C点历时14s，那么这辆汽车的速度约为_m/s(精确到0.1，参考数据：1.414，2.236)分析：因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分不为30°，45°，因此BAD60°，CAD45°.设这辆汽车的速度为vm/s，那么BC14v，在RtADB中，AB200.在RtADC中，AC100.在ABC中，由余弦定理，得BC2AC2AB22AC·AB·cosBAC，因此(14v)2(100)220022×100×200×cos135°，因此v22.6，因此这辆汽车的速度约为22.6m/s.答案：22.64(运用型)校运动会开幕式长进展升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排跟最后一排测得旗杆顶部的仰角分不为60°跟30°，第一排跟最后一排的距离为10m(如以下列图)，旗杆底部与第一排在一个水平面上，假设国歌时长为50s，升旗手应以_m/s的速度匀速升旗分析：依题意可知AEC45°，ACE180°60°15°105°，因此EAC180°45°105°30°.由正弦定理可知，因此AC·sinCEA20(m)因此在RtABC中，ABAC·sinACB20×30(m)因为国歌时长为50s，因此升旗速度为0.6m/s.答案：0.65.已经清楚在东东倾向上有M，N两座小山，山顶各有一座发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分不为AM100m跟BN200m，一测量车在小山M的正北倾向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°倾向行驶了100m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为，且BQA，经测量tan2，求两发射塔顶A，B之间的距离解：在RtAMP中，APM30°，AM100，因此PM100.连接QM，在PQM中，QPM60°，PQ100，因此PQM为等边三角形，因此QM100.在RtAMQ中，由AQ2AM2QM2，得AQ200.在RtBNQ中，tan2，BN200.因此BQ100，cos.在BQA中，BA2BQ2AQ22BQ·AQcos(100)2，因此BA100.即两发射塔顶A，B之间的距离是100m.6(运用型)如以下列图，经过乡村A有两条夹角60°的公路AB，AC，按照方案拟在两条公路之间的地域建一工厂P，分不在两条公路边上建两个客栈M，N(异于乡村A)，恳求PMPNMN2(单位：千米)怎么样方案，使得工厂发作的噪声对住夷易近的阻碍最小(即工厂与乡村的距离最远)?解：设AMN，在AMN中，.因为MN2，因此AMsin(120°)在APM中，cosAMPcos(60°)AP2AM2MP22AM·MP·cosAMPsin2(120°)42×2×sin(120°)cos(60°)sin2(60°)sin(60°)cos(60°)41cos(2120°)sin(2120°)4sin(2120°)cos(2120°)sin(2150°)，(0°，120°)当且仅当2150°270°，即60°时，AP2取得最大年夜值12，即AP取得最大年夜值2.因此方案AMN60°时，工厂发作的噪声对住夷易近的阻碍最小