高考数学(理)一轮复习讲义9.7　抛物线.docx

§9.7抛物线最新考纲考情考向分析1.了解抛物线的理论背景，了解抛物线在描述幻想世界跟处置理论征询题中的感染.2.操纵抛物线的定义、几多何图形、标准方程及庞杂几多何性质.抛物线的方程、几多何性质及与抛物线相关的综合征询题是命题的抢手题型既有小巧敏锐的选择、填空题，又有综合性较强的解答题.1抛物线的不雅观点破体内与一个定点F跟一条定直线l(l不经过点F)的距离相当的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的中心，直线l叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程与几多何性质标准方程y22px(p>0)y22px(p>0)x22py(p>0)x22py(p>0)p的几多何意思：中心F到准线l的距离图形顶点坐标O(0,0)对称轴x轴y轴中心坐标FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口倾向向右向左向上向下不雅观点方法微思索1假设抛物线定义中定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？提示过点F且与l垂直的直线2直线与抛物线只需一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？提示直线与抛物线的对称轴平行时，只需一个交点，但不是相切，因此直线与抛物线只需一个交点是直线与抛物线相切的需要不充分条件题组一思索辨析1揣摸以下结论是否精确(请在括号中打“或“×)(1)破体内与一个定点F跟一条定直线l的距离相当的点的轨迹肯定是抛物线(×)(2)方程yax2(a0)表示的曲线是中心在x轴上的抛物线，且其中心坐标是，准线方程是x.(×)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形(×)(4)AB为抛物线y22px(p>0)的过中心F的弦，假设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1x2，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.()(5)过抛物线的中心与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x22ay(a>0)的通径长为2a.()题组二讲义改编2过抛物线y24x的中心的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，假设x1x26，那么|PQ|等于()A9B8C7D6答案B分析抛物线y24x的中心为F(1,0)，准线方程为x1.按照题意可得，|PQ|PF|QF|x11x21x1x228.3假设抛物线y24x的准线为l，P是抛物线上任意一点，那么P到准线l的距离与P到直线3x4y70的距离之跟的最小值是()A2B.C.D3答案A分析由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到中心F的距离，由抛物线y24x及直线方程3x4y70可得直线与抛物线相离点P到准线l的距离与点P到直线3x4y70的距离之跟的最小值为点F(1,0)到直线3x4y70的距离，即2.应选A.4已经清楚抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，同时经过点P(2，4)，那么该抛物线的标准方程为_答案y28x或x2y分析设抛物线方程为y2mx(m0)或x2my(m0)将P(2，4)代入，分不得方程为y28x或x2y.题组三易错自纠5设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，那么点P到该抛物线中心的距离是()A4B6C8D12答案B分析如以下列图，抛物线的准线l的方程为x2，F是抛物线的中心，过点P作PAy轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，那么|AB|2.由于点P到y轴的距离为4，那么点P到准线l的距离|PB|426，因此点P到中心的距离|PF|PB|6.应选B.6已经清楚抛物线C与双曲线x2y21有一样的中心，且顶点在原点，那么抛物线C的方程是()Ay2±2xBy2±2xCy2±4xDy2±4x答案D分析由已经清楚可知双曲线的中心为(，0)，(，0)设抛物线方程为y2±2px(p>0)，那么，因此p2，因此抛物线方程为y2±4x.应选D.7设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，假设过点Q的直线l与抛物线有群众点，那么直线l的歪率的取值范围是_答案1,1分析Q(2,0)，当直线l的歪率不存在时，不称心题意，故设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y拾掇得k2x2(4k28)x4k20，当k0时，符合题意，当k0时，由(4k28)24k2·4k264(1k2)0，解得1k1且k0，综上，k的取值范围是1,1题型一抛物线的定义跟标准方程命题点1定义及应用例1设P是抛物线y24x上的一个动点，假设B(3,2)，那么|PB|PF|的最小值为_答案4分析如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，那么|P1Q|P1F|.那么有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4，即|PB|PF|的最小值为4.引申探究1假设将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|PF|的最小值解由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部|PB|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，|PB|PF|BF|2，即|PB|PF|的最小值为2.2假设将本例中的条件改为：已经清楚抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy50，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1d2的最小值解由题意知，抛物线的中心为F(1,0)点P到y轴的距离d1|PF|1，因此d1d2d2|PF|1.易知d2|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2|PF|的最小值为3，因此d1d2的最小值为31.命题点2求标准方程例2设抛物线C：y22px(p>0)的中心为F，点M在C上，|MF|5，假设以MF为直径的圆过点(0,2)，那么C的标准方程为()Ay24x或y28xBy22x或y28xCy24x或y216xDy22x或y216x答案C分析由题意知，F，抛物线的准线方程为x，那么由抛物线的定义知，xM5，设以MF为直径的圆的圆心为，因此圆的方程为22，又由于圆过点(0,2)，因此yM4，又由于点M在C上，因此162p，解得p2或p8，因此抛物线C的标准方程为y24x或y216x，应选C.思维升华(1)与抛物线有关的最值征询题，一般情况下都与抛物线的定义有关“看到准线想中心，看到中心想准线，这是处置与过抛物线中心的弦有关征询题的要紧路途(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是揣摸中心肠位、开口倾向，在方程的典范已经判定的条件下，只需一个条件就可以判定抛物线的标准方程跟踪训练1(1)设P是抛物线y24x上的一个动点，那么点P到点A(1，1)的距离与点P到直线x1的距离之跟的最小值为_答案分析如图，易知抛物线的中心为F(1,0)，准线是x1，由抛物线的定义知点P到直线x1的距离等于点P到F的距离因此，征询题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之跟最小，显然，连接AF与抛物线订交的点即为称心题意的点，现在最小值为.(2)如以下列图，过抛物线y22px(p>0)的中心F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，假设|BC|2|BF|，且|AF|3，那么此抛物线的标准方程为()Ay2xBy29xCy2xDy23x答案D分析分只是点A，B作AA1l，BB1l，且垂足分不为A1，B1，由已经清楚条件|BC|2|BF|，得|BC|2|BB1|，因此BCB130°.又|AA1|AF|3，因此|AC|2|AA1|6，因此|CF|AC|AF|633，因此F为线段AC的中点故点F到准线的距离为p|AA1|，故抛物线的标准方程为y23x.题型二抛物线的几多何性质例3(1)已经清楚抛物线C：y22px(p>0)，过中心F且歪率为的直线与C订交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的射影分不为M，N两点，那么SMFN等于()A.p2B.p2C.p2D.p2答案B分析不妨设P在第一象限，过Q作QRPM，垂足为R，设准线与x轴的交点为E，直线PQ的歪率为，直线PQ的倾歪角为60°.由抛物线中心弦的性质可得|PQ|PF|QF|p.在RtPRQ中，sinRPQ，|QR|PQ|·sinRPQp×p，由题意可知|MN|QR|p，SMNF|MN|·|FE|×p×pp2.应选B.(2)过点P(2,0)的直线与抛物线C：y24x订交于A，B两点，且|PA|AB|，那么点A到抛物线C的中心的距离为()A.B.C.D2答案A分析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分只是点A，B作直线x2的垂线，垂足分不为点D，E.|PA|AB|，又得x1，那么点A到抛物线C的中心的距离为1.思维升华在处置与抛物线的性质有关的征询题时，要留心使用几多何图形的笼统、直不雅观的特征来解题，特不是涉及中心、顶点、准线的征询题更是如此跟踪训练2(1)设F为抛物线C：y23x的中心，过F且倾歪角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，那么OAB的面积为()A.B.C.D.答案D分析由已经清楚得中心坐标为F，因此直线AB的方程为y，即4x4y30.方法一联破直线方程与抛物线方程化简得4y212y90，故|yAyB|6.因此SOAB|OF|yAyB|××6.方法二联破直线方程与抛物线方程得x2x0，故xAxB.按照抛物线的定义有|AB|xAxBp12，同时原点到直线AB的距离为h，因此SOAB|AB|·h.(2)抛物线C1：yx2(p>0)的中心与双曲线C2：y21的右中心的连线交C1于第一象限的点M.假设C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，那么p等于()A.B.C.D.答案D分析经过第一象限的双曲线C2的渐近线方程为yx.抛物线C1的中心为F，双曲线C2的右中心为F2(2,0)由于yx2，因此yx.因此抛物线C1在点M处的切线歪率为，即x0，因此x0p.由于F，F2(2,0)，M三点共线，因此，解得p，应选D.题型三直线与抛物线例4设抛物线的顶点在坐标原点，中心F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3.(1)求抛物线的标准方程；(2)设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点连接QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程解(1)设抛物线的方程是x22py(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义可知y1y2p8，又AB的中点到x轴的距离为3，y1y26，p2，抛物线的标准方程是x24y.(2)由题意知，直线m的歪率存在，设直线m：ykx6(k0)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，由消去y得x24kx240，(*)易知抛物线在点P处的切线方程为y(xx3)，令y1，得x，R，又Q，F，R三点共线，kQFkFR，又F(0,1)，即(x4)(x4)16x3x40，拾掇得(x3x4)24(x3x4)22x3x41616x3x40，将(*)式代入上式得k2，k±，直线m的方程为y±x6.思维升华(1)直线与抛物线的位置关系跟直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系(2)有关直线与抛物线的弦长征询题，要留心直线是否过抛物线的中心假设过抛物线的中心(设中心在x轴的正半轴上)，可开门见山应用公式|AB|x1x2p，假设只是中心，那么必须用一般弦长公式(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关征询题时，一般使用根与系数的关系采用“设而不求、“全部代入等解法提示：涉及弦的中点、歪率时一般用“点差法求解(4)设AB是过抛物线y22px(p>0)中心F的弦，假设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1x2，y1y2p2.弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾歪角)以弦AB为直径的圆与准线相切通径：过中心垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过中心最短的弦跟踪训练3(2018·丹东质检)已经清楚抛物线C：x22py(p>0)，圆O：x2y21.(1)假设抛物线C的中心F在圆O上，且A为抛物线C跟圆O的一个交点，求|AF|；(2)假设直线l与抛物线C跟圆O分不相切于点M，N，求|MN|的最小值及呼应p的值解(1)由题意得F(0,1)，从而抛物线C：x24y.解方程组得yA2，|AF|1.(2)设M(x0，y0)，那么切线l：y(xx0)y0，结合x2py0，拾掇得x0xpypy00.由|ON|1得1，即|py0|，p且y1>0.|MN|2|OM|21xy12py0y1y14(y1)8，当且仅当y0时等号成破|MN|的最小值为2，现在p.直线与圆锥曲线征询题的求解策略例(12分)已经清楚抛物线C：ymx2(m>0)，中心为F，直线2xy20交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)求抛物线C的中心坐标；(2)假设抛物线C上有一点R(xR,2)到中心F的距离为3，求现在m的值；(3)是否存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？假设存在，求出m的值；假设不存在，请说明因由标准解答解(1)抛物线C：x2y，它的中心为F.2分(2)|RF|yR，23，得m.4分(3)存在，联破方程消去y得mx22x20(m>0)，依题意，有(2)24×m×(2)8m4>0恒成破，方程必有两个不等实根6分设A(x1，mx)，B(x2，mx)，那么(*)P是线段AB的中点，P，即P，Q，8分得，.假设存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，那么·0，即·0，10分结合(*)式化简得40，即2m23m20，m2或m，m>0，m2.存在实数m2，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形12分处置直线与圆锥曲线的位置关系的一般步伐第一步：联破方程，得关于x或y的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：按照题目恳求列出关于x1x2，x1x2(或y1y2，y1y2)的关系式，求得结果；第四步：反思回想，反省有无忽略专门情况1抛物线yax2的准线方程是y1，那么a的值为()A.BC4D4答案B分析由yax2，变形得x2y2×y，p.又抛物线的准线方程是y1，1，解得a.2(2018·包头诊断)设F为抛物线y22x的中心，A，B，C为抛物线上三点，假设F为ABC的重心，那么|的值为()A1B2C3D4答案C分析依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又中心F，因此x1x2x33×，那么|(x1x2x3)3.3(2018·辽宁五校联考)抛物线x24y的中心为F，过点F作歪率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分订交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，那么AHF的面积是()A4B3C4D8答案C分析由抛物线的定义可得|AF|AH|，AF的歪率为，AF的倾歪角为30°，AH垂直于准线，FAH60°，故AHF为等边三角形设A，m>0，过F作FMAH于M，那么在FAM中，|AM|AF|，1，解得m2，故等边三角形AHF的边长|AH|4，AHF的面积是×4×4sin60°4.应选C.4抛物线C：y22px(p>0)的中心为F，M是抛物线C上的点，假设OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36，那么p等于()A2B4C6D8答案D分析OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径圆的面积为36，圆的半径为6.又圆心在OF的垂直平分线上，|OF|，6，p8.应选D.5已经清楚直线l：ykxk(kR)与抛物线C：y24x及其准线分不交于M，N两点，F为抛物线的中心，假设2，那么实数k等于()A±B±1C±D±2答案C分析抛物线C：y24x的中心F(1,0)，直线l：ykxk过抛物线的中心当k>0时，如以下列图，过点M作MM垂直于准线x1，垂足为M，由抛物线的定义，得|MM|MF|，易知MMN与直线l的倾歪角相当，由2，得cosMMN，那么tanMMN，直线l的歪率k；当k<0时，可得直线l的歪率k.应选C.6已经清楚抛物线C的顶点是原点O，中心F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，假设·12，那么抛物线C的方程为()Ax28yBx24yCy28xDy24x答案C分析由题意，设抛物线方程为y22px(p>0)，直线方程为xmy，联破消去x得y22pmyp20，显然方程有两个不等实根设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么y1y22pm，y1y2p2，得·x1x2y1y2y1y2m2y1y2(y1y2)y1y2p212，得p4(舍负)，即抛物线C的方程为y28x.7动点P到点A(0,2)的距离比它到直线l：y4的距离小2，那么动点P的轨迹方程为_答案x28y分析动点P到点A(0,2)的距离比它到直线l：y4的距离小2，动点P到点A(0,2)的距离与它到直线y2的距离相当按照抛物线的定义可得点P的轨迹为以A(0,2)为中心，以直线y2为准线的抛物线，其标准方程为x28y.8(2018·呼伦贝尔质检)已经清楚F是抛物线y24x的中心，A，B是抛物线上两点，假设AFB是等边三角形，那么AFB的边长为_答案84或84分析由题意可知点A，B肯定关于x轴对称，且AF，BF与x轴夹角均为30°，由于y24x的中心为(1,0)，由化简得y24y40，解得y124，y224，因此AFB的边长为84或84.9已经清楚直线l：ykxt与圆：x2(y1)21相切，且与抛物线C：x24y交于差异的两点M，N，那么实数t的取值范围是_答案t>0或t<3分析由题意知k0.由于直线l与圆相切，因此1，即k2t22t.由k2>0，得t>0或t<2，再把直线l的方程代入抛物线方程并拾掇得x24kx4t0，因此由16k216t16(t22t)16t>0，得t>0或t<3.综上，实数t的取值范围是t>0或t<3.10过抛物线y24x的中心F的直线交该抛物线于A，B两点，假设|AF|3，那么|BF|_.答案分析方法一由题意知，抛物线的中心F的坐标为(1,0)，|AF|3，由抛物线的定义知，点A到准线x1的距离为3，因此点A的横坐标为2.如以下列图，不妨设点A在第一象限，将x2代入y24x，得y28，因此点A的纵坐标为2，即A(2,2)，因此直线AF的方程为y2(x1)由解得或因此点B的横坐标为，因此|BF|(1).方法二如以下列图，不妨设点A在第一象限，设AFx，A(xA，yA)，B(xB，yB)，那么由抛物线的定义知xA123cos3，解得cos.又|BF|xB11|BF|·cos12|BF|，因此|BF|.11已经清楚过抛物线y22px(p>0)的中心，歪率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|9.那么该抛物线的方程为_答案y28x分析直线AB的方程是y2，与y22px联破，从而有4x25pxp20.由题意知，25p216p29p2>0，方程必有两个不等实根因此x1x2，由抛物线定义得|AB|x1x2pp9，因此p4，从而抛物线方程为y28x.12(2018·包头模拟)过抛物线C：y24x的中心F且歪率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|8.(1)求l的方程；(2)假设A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD过定点，并求出该点的坐标解(1)易知点F的坐标为(1,0)，那么直线l的方程为yk(x1)，代入抛物线方程y24x得k2x2(2k24)xk20，由题意知k0，且(2k24)24k2·k216(k21)>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，x1x21，由抛物线定义知|AB|x1x228，6，k21，即k±1，直线l的方程为y±(x1)(2)由抛物线的对称性知，D点的坐标为(x1，y1)，直线BD的歪率kBD，直线BD的方程为yy1(xx1)，即(y2y1)yy2y1y4x4x1，y4x1，y4x2，x1x21，(y1y2)216x1x216，即y1y24(y1，y2异号)，直线BD的方程为4(x1)(y1y2)y0，恒过点(1,0)13如以下列图，过抛物线y22px(p>0)的中心F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，假设F是AC的中点，且|AF|4，那么线段AB的长为()A5B6C.D.答案C分析方法一如以下列图，设l与x轴交于点M，过点A作ADl并交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|AF|4，由F是AC的中点，知|AF|2|MF|2p，因此2p4，解得p2，因此抛物线的方程为y24x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么|AF|x1x114，因此x13，解得y12，因此A(3,2)，又F(1,0)，因此直线AF的歪率k，因此直线AF的方程为y(x1)，代入抛物线方程y24x得，3x210x30，因此x1x2，|AB|x1x2p.应选C.方法二如以下列图，设l与x轴交于点M，过点A作ADl并交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|AF|4，由F是AC的中点，知|AF|2|MF|2p，因此2p4，解得p2，因此抛物线的方程为y24x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么|AF|x1x114，因此x13，又x1x21，因此x2，因此|AB|x1x2p.应选C.方法三如以下列图，设l与x轴交于点M，过点A作ADl并交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|AF|4，由F是AC的中点，知|AF|2|MF|2p，因此2p4，解得p2，因此抛物线的方程为y24x.由于，|AF|4，因此|BF|，因此|AB|AF|BF|4.应选C.14.(2018·广东七校联考)如以下列图，抛物线yx2，AB为过中心F的弦，过A，B分不作抛物线的切线，两切线交于点M，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，那么：假设AB的歪率为1，那么|AB|4；|AB|min2；yM1；假设AB的歪率为1，那么xM1；xA·xB4.以上结论精确的个数是()A1B2C3D4答案B分析由题意得，中心F(0,1)，关于，lAB的方程为yx1，与抛物线的方程联破，得消去x，得y26y10，因此yAyB6，那么|AB|yAyBp8，那么差错；关于，|AB|min2p4，那么差错；由于y，那么lAM：yyA(xxA)，即yxAx，lBM：yyB(xxB)，即yxBx，联破lAM与lBM的方程得解得M.设lAB的方程为ykx1，与抛物线的方程联破，得消去y，得x24kx40，因此xAxB4k，xA·xB4，因此yM1，跟均精确；关于，当AB的歪率为1时，xM2，那么差错，应选B.15已经清楚曲线G：y及点A，假设曲线G上存在相异两点B，C，其到直线l：2x10的距离分不为|AB|跟|AC|，那么|AB|AC|_.答案15分析曲线G：y，即为半圆M：(x8)2y249(y0)，由题意得B，C为半圆M与抛物线y22x的两个交点，由y22x与(x8)2y249(y0)联破方程组得x214x150，方程必有两不等实根，设B(x1，y1)，C(x2，y2)因此|AB|AC|x1x214115.16设直线l与抛物线y24x订交于A，B两点，与圆(x5)2y2r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点假设如此的直线l恰有4条，那么r的取值范围是_答案(2,4)分析如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，那么两式相减得，(y1y2)(y1y2)4(x1x2)当l的歪率k不存在时，符合条件的直线l必有两条当k存在时，x1x2，那么有·2，又y1y22y0，因此y0k2.由CMAB，得k·1，即y0k5x0，因此25x0，x03，即M必在直线x3上将x3代入y24x，得y212，那么有2<y0<2，由于点M在圆上，因此(x05)2yr2，故r2y4<12416.又y4>4(为保证有4条，在k存在时，y00)，因此4<r2<16，即2<r<4.