高考数学(理)一轮复习讲义5.1平面向量的概念及线性运算.docx

§5.1破体向量的不雅念及线性运算最新考纲考情考向分析1.理解向量的理论背景2.理解破体向量的不雅念，理解两个向量相当的含义3.理解向量的几多何表示4.操纵向量加法、减法的运算，并理解其几多何意思5.操纵向量数乘的运算及其几多何意思，理解两个向量共线的含义6.理解向量线性运算的性质及其几多何意思.要紧调查破体向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几多何意思、共线向量定理，常与三角函数、分析几多何交汇调查，偶尔也会有创新的新定义征询题；题型以选择题、填空题为主，属于中高级题目偶尔会在解答题中作为货色出现.1向量的有关不雅念名称定义备注向量存在大小跟倾向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)破体向量是自由向量零向量长度为0的向量；其倾向不判定记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±平行向量(共线向量)共线向量的倾向一样或相反0与任一向量平行或共线相当向量同向且等长的有向线段两向量只需相当或不等，不克不迭比较大小相反向量长度相当且倾向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法那么(或几多何意思)运算律向量的加法求两个向量跟的运算(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)向量的减法求a与b的相反向量b的跟的运算叫做a与b的差aba(b)数乘向量务虚数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当>0时，a的倾向与a的倾向一样；当<0时，a的倾向与a的倾向相反；当0时，a0(1)()aaa；(2)(a)()a；(3)(ab)ab3.平行向量全然定理假设ab，那么ab；反之，假设ab，且b0，那么肯定存在唯逐一个实数，使ab.不雅念方法微思索1假设b与a共线，那么存在实数使得ba，对吗？提示差错，由于当a0，b0时，不存在称心ba.2怎么样理解数乘向量？提示a的大小为|a|a|，倾向要分类讨论：当>0时，a与a同倾向；当<0时，a与a反倾向；当0或a为零向量时，a为零向量，倾向不判定3怎么样理解平行向量全然定理？提示假设ab，那么ab；反之，假设ab，且b0，那么肯定存在唯逐一个实数，使得ab.题组一思索辨析1揣摸以下结论是否精确(请在括号中打“或“×)(1)向量不克不迭比较大小，但向量的模可以比较大小()(2)|a|与|b|是否相当与a，b的倾向有关()(3)假设ab，bc，那么ac.(×)(4)假设向量与向量是共线向量，那么A，B，C，D四点在一条直线上(×)(5)当两个非零向量a，b共线时，肯定有ba，反之成破()(6)假设两个向量共线，那么其倾向确信一样或相反(×)题组二讲义改编2已经清楚ABCD的对角线AC跟BD订交于点O，且a，b，那么_，_.(用a，b表示)答案baab分析如图，ba，ab.3在平行四边形ABCD中，假设|，那么四边形ABCD的形状为_答案矩形分析如图，由于，因此|.由对角线长相当的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形题组三易错自纠4对于非零向量a，b，“ab0是“ab的()A充分不用要条件B需要不充分条件C充要条件D既不充分也不用要条件答案A分析假设ab0，那么ab，因此ab.假设ab，那么ab0不用定成破，故前者是后者的充分不用要条件5设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，那么实数_.答案分析向量a，b不平行，a2b0，又向量ab与a2b平行，那么存在唯一的实数，使ab(a2b)成破，即aba2b，那么解得.6设D，E分不是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.假设12(1，2为实数)，那么12的值为_答案分析()，1，2，即12.题型一破体向量的不雅念1给出以下命题：假设两个向量相当，那么它们的起点一样，起点一样；假设a与b共线，b与c共线，那么a与c也共线；假设A，B，C，D是不共线的四点，且，那么ABCD为平行四边形；ab的充要条件是|a|b|且ab；已经清楚，为实数，假设ab，那么a与b共线其中真命题的序号是_答案分析差错，两个向量起点一样，起点一样，那么两个向量相当；但两个向量相当，不用定有一样的起点跟起点；差错，假设b0，那么a与c不用定共线；精确，由于，因此|且；又A，B，C，D是不共线的四点，因此四边形ABCD为平行四边形；差错，当ab且倾向相反时，即使|a|b|，也不克不迭掉掉落ab，因此|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是需要不充分条件；差错，当0时，a与b可以为恣意向量，称心ab，但a与b不用定共线故填.2给出以下四个命题：假设ab，那么ab；假设|a|b|，那么ab；假设|a|b|，那么ab；假设ab，那么|a|b|，其中精确命题的个数是()A1B2C3D4答案A分析只需精确思维升华向量有关不雅念的关键点(1)向量定义的关键是倾向跟长度(2)非零共线向量的关键是倾向一样或相反，长度没有限制(3)相当向量的关键是倾向一样且长度相当(4)单位向量的关键是长度全然上一个单位长度(5)零向量的关键是长度是0，规那么零向量与任何向量共线题型二破体向量的线性运算命题点1向量加、减法的几多何意思例1(2017·世界)设非零向量a，b称心|ab|ab|，那么()AabB|a|b|CabD|a|>|b|答案A分析方法一|ab|ab|，|ab|2|ab|2.a2b22a·ba2b22a·b.a·b0.ab.应选A.方法二运用向量加法的平行四边形法那么在ABCD中，设a，b，由|ab|ab|知，|，从而四边形ABCD为矩形，即ABAD，故ab.应选A.命题点2向量的线性运算例2(1)(2019·包头模拟)在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设a，b，那么向量等于()A.abBabCabD.ab答案C分析()ab，应选C.(2)(2018·世界)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，那么等于()A.B.C.D.答案A分析作出表示图如以下列图×()().应选A.命题点3按照向量线性运算求参数例3在直角梯形ABCD中，A90°，B30°，AB2，BC2，点E在线段CD上，假设，那么的取值范围是_答案分析由题意可求得AD1，CD，2.点E在线段CD上，(01)，又2，2，即.01，0.思维升华破体向量线性运算征询题的稀有典范及解题策略(1)向量加法或减法的几多何意思向量加法跟减法均适宜三角形法那么(2)求已经清楚向量的跟共起点的向量求跟用平行四边形法那么；求差用三角形法那么；求首尾相连向量的跟用三角形法那么(3)求参数征询题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，停顿比较，求参数的值跟踪训练1(1)在ABC中，点D，E分不在边BC，AC上，且2，3，假设a，b，那么等于()A.abB.abCabDab答案C分析()ab，应选C.(2)(2018·营口模拟)在平行四边形ABCD中，E，F分不为边BC，CD的中点，假设xy(x，yR)，那么xy_.答案2分析由题意得，由于xy，因此，因此解得因此xy2.题型三平行向量全然定理的运用例4设两个非零向量a与b不共线(1)假设ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线；(2)试判定实数k，使kab跟akb共线(1)证明ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5，共线又它们有大年夜众点B，A，B，D三点共线(2)解假设kab与akb共线，那么存在实数，使kab(akb)，即(k)a(k1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，kk10.消去，得k210，k±1.引申探究1假设将本例(1)中“2a8b改为“amb，那么m为何值时，A，B，D三点共线？解(amb)3(ab)4a(m3)b，即4a(m3)b.假设A，B，D三点共线，那么存在实数，使.即4a(m3)b(ab)因此解得m7.故当m7时，A，B，D三点共线2假设将本例(2)中的“共线改为“反向共线，那么k为何值？解由于kab与akb反向共线，因此存在实数，使kab(akb)(<0)因此因此k±1.又<0，k，因此k1.故当k1时两向量反向共线思维升华(1)证明三点共线征询题，可用向量共线来处置，但应留心向量共线与三点共线的区不与联系，当两向量共线且有大年夜众点时，才能得出三点共线(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成破；假设1a2b0，当且仅当120时成破，那么向量a，b不共线跟踪训练2已经清楚O，A，B是不共线的三点，且mn(m，nR)(1)假设mn1，求证：A，P，B三点共线；(2)假设A，P，B三点共线，求证：mn1.证明(1)假设mn1，那么m(1m)m()，m()，即m，与共线又与有大年夜众点B，那么A，P，B三点共线(2)假设A，P，B三点共线，那么存在实数，使，()又mn.故有m(n1)，即(m)(n1)0.O，A，B不共线，不共线，mn1.1对于非零向量a，b，“a2b0是“ab的()A充分不用要条件B需要不充分条件C充要条件D既不充分也不用要条件答案A分析假设a2b0，那么a2b，因此ab.假设ab，那么a2b0不用定成破，故前者是后者的充分不用要条件2已经清楚向量a3b，5a3b，3a3b，那么()AA，B，C三点共线BA，B，D三点共线CA，C，D三点共线DB，C，D三点共线答案B分析2a6b2，与共线，由于与有大年夜众点B，因此A，B，D三点共线，应选B.3.如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC上的一个濒临点B的三中分点，那么等于()A.B.C.D.答案D分析在CEF中，有.由于点E为DC的中点，因此.由于点F为BC上的一个濒临点B的三中分点，因此.因此，应选D.4(2018·锦州模拟)在ABC中，点G称心0.假设存在点O，使得，且mn，那么mn等于()A2B2C1D1答案D分析0，0，可得，m，n，mn1，应选D.5.如图，已经清楚AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三中分点，a，b，那么等于()AabB.abCabD.ab答案D分析连接OC，OD，CD，由点C，D是半圆弧的三中分点，可得AOCCODBOD60°，且OAC跟OCD均为边长等于圆O半径的等边三角形，因此四边形OACD为菱形，因此ab，应选D.6.如图，在ABC中，P是BN上的一点，假设m，那么实数m的值为()A.B.C.D.答案B分析留心到N，P，B三点共线，因此mm，从而m1，因此m.7假设|2，那么|_.答案2分析由于|2，因此ABC是边长为2的正三角形，因此|为ABC的边BC上的高的2倍，因此|2.8假设点O是ABC所在破体内的一点，且称心|2|，那么ABC的形状为_答案直角三角形分析由于2，因此|，即·0，故，ABC为直角三角形9假设M是ABC的边BC上的一点，且3，设，那么的值为_答案分析由题设知3，过M作MNAC交AB于N，那么，从而，又，因此.10(2019·包头质检)已经清楚e1，e2为破体内两个不共线的向量，2e13e2，e16e2，假设M，N，P三点共线，那么_.答案4分析由于M，N，P三点共线，因此存在实数k使得k，因此2e13e2k(e16e2)，又e1，e2为破体内两个不共线的向量，可得解得4.11如以下列图，设O是ABC内部一点，且2，求ABC与AOC的面积之比解取AC的中点D，连接OD，那么2，O是AC边上的中线BD的中点，SABC2SOAC，ABC与AOC面积之比为21.12.如以下列图，在ABC中，D，F分不是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设a，b，试用a，b表示向量.解方法一由D，O，C三点共线，可设k1k1()k1k1ak1b(k1为实数)，同理，可设k2k2()k2k2ak2b(k2为实数)，又a(1k1)ak1b，因此由，得k2ak2b(1k1)ak1b，即(1k12k2)ab0.又a，b不共线，因此解得因此ab.因此a(ab)方法二延长AO交BC于点E，O为ABC的重心，那么E为BC的中点，因此×()(ab)13如以下列图，矩形ABCD的对角线订交于点O，E为AO的中点，假设(，为实数)，那么22等于()A.B.C1D.答案A分析()，因此，故22，应选A.14A，B，C是圆O上差异的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，假设(，R)，那么的取值范围是()A(0,1)B(1，)C(1，D(1,0)答案B分析设m，那么m>1，由于，因此m，即，又知A，B，D三点共线，因此1，即m，因此>1，应选B.15已经清楚A，B，C是破体上不共线的三点，O是ABC的重心，动点P称心，那么点P肯定为ABC的()ABC边中线的中点BBC边中线的三中分点(非重心)C重心DBC边的中点答案B分析设BC的中点为M，那么，(2)，即32，也的确是2，P，M，A三点共线，且P是AM上濒临A点的一个三中分点16设W是由一破体内的n(n3)个向量形成的聚拢假设aW，且a的模不小于W中除a外的所有向量跟的模那么称a是W的极大年夜向量有以下命题：假设W中每个向量的倾向都一样，那么W中必存在一个极大年夜向量；给定破体内两个不共线向量a，b，在该破体内总存在唯一的破体向量cab，使得Wa，b，c中的每个元素全然上极大年夜向量；假设W1a1，a2，a3，W2b1，b2，b3中的每个元素全然上极大年夜向量，且W1，W2中无大年夜众元素，那么W1W2中的每一个元素也全然上极大年夜向量其中真命题的序号是_答案分析假设有几多个倾向一样，模相当的向量，那么无极大年夜向量，故不精确；由题意得a，b，c围成闭合三角形，那么恣意向量的模等于除它本身外所有向量跟的模，故精确；3个向量全然上极大年夜向量，等价于3个向量之跟为0，故W1a1，a2，a3，W2b1，b2，b3中的每个元素全然上极大年夜向量时，W1W2中的每一个元素也全然上极大年夜向量，故精确