知识讲解_空间角、空间距离(基础).doc

空间角、空间距离编稿：孙永钊审稿:张林娟【考大年夜纲求】1、了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置；2、操纵空间向量的线性运算及其坐标表示；操纵空间向量的数量积及其坐标表示，能使用向量的数量积揣摸向量的共线与垂直。3、使用向量法求空间角与距离；4、在解答题中综合调查空间想象才干，打算才干及数形结合思想。【知识搜集】空间向量定义、加法、减法、数乘运算数量积坐标表示：夹角跟距离公式求距离求空间角证明平行与垂直【考点梳理】考点一、空间向量有关知识一、空间直角坐标系1、空间直角坐标系及有关不雅念1空间直角坐标系：以空间一点O为原点，树破三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴。这时树破了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，X轴，y轴，z轴统称坐标轴。由坐标轴判定的立体叫做坐标立体；2右手直角坐标系的含义是：当右手拇指指向x轴正倾向，食指指向y轴倾向时，中指肯定指向z轴的正倾向；3空间一点M的坐标为有序实数组x,y,z,记作Mx,y,z，其中x叫做M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。2、空间两点间的距离公式设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),那么|AB|=要点说明：在空间直角坐标系中，点Mx,y,z的坐标称心x2+y2+z2=1,那么点M的轨迹是一个以原点为球心，以1为半径的球面。二、空间向量及其运算空间向量的不雅念及运算同立体向量全然一样。加减运算按照三角形或平行四边形法那么；数乘运算跟数量积运算与立体向量的数乘运算跟数量积运算一样；坐标运算与立体向量的坐标运算类似，仅多出了一个竖坐标。考点二、直线的倾向向量与立体的法向量的确定1、直线的倾向向量：在直线上任取一非零向量作为它的倾向向量；2、立体的法向量可使用方程组求出：设，是立体内两不共线向量，为立体的法向量，那么求法向量的方程组为。要点说明：所列方程组中有三个变量，但只需两个方程，怎么样求法向量？给其中一个变量适当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐标。考点三、空间向量与空间角的关系1、设异面直线，的倾向向量分不为那么，所成的角称心cos=|cos<>|;2、设直线的倾向向量和立体的法向量分不为,那么直线与立体所成角称心sin=|cos<>|;3、求二面角的大小如图，AB，CD是二面角-的两个面内与棱垂直的直线，那么二面角的大小=<,>如图，分不是二面角-的两个半立体，的法向量，那么二面角的大小称心cos=cos<>或-cos<>考点四、点面距的求法如图，设AB为立体的一条歪线段，为立体的法向量，那么B到立体的距离要点说明：对于以下几多类立体几多何征询题：(1)共线与共面征询题；(2)平行与垂直征询题；(3)夹角征询题；(4)距离征询题；(5)探求性征询题使用向量来处置它们偶尔会表达出肯定的下风用空间向量解题的关键步伐是把所求向量用某个适合的基底表示，适本地树破起空间直角坐标系，把向量用坐标表示，然落伍展向量与向量的坐标运算，最后通过向量在数量上的关系反响出向量的空间位置关系，从而使征询题掉掉落处置在寻求向量间的数量关系时，一个全然的思路是列方程，解方程【模典范题】典范一、使用空间向量求空间角APDCOB【例1】已经清楚四棱锥的底面为菱形，且，与订交于点.求证：底面；求直线与立体所成角的正弦值；假设是上的一点，且，求的值xzyAPDCOB证明：因为为菱形，因而为的中点因为,因而因而底面因为为菱形，因而树破如以下列图空间直角坐标系又得，因而,设立体的法向量有，因而，解得因而，与立体所成角的正弦值为因为点在上,因而因而,因为因而,得解得，因而【总结升华】求空间角异面直线所成的角，直线与立体所成的角，二面角不时是高考的抢手，假设用几多何法求需要作出这些角的立体角，对空间想象才干恳求高。而用向量法求解时，只需使用公式。通过庞杂的向量运算即可处置，表示了向量这一货色宏大年夜的感染。求二面角时，可以使用法向量求。举一反三：【变式】如以下列图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.1点E为BC的中点时，试揣摸EF与立体PAC的位置关系，并说明因由；2求证：不论点E在BC边的那里，都有PEAF；3当BE为何值时，PA与立体PDE所成角的大小为45°.【分析】1当点E为BC的中点时，EF与立体PAC平行.在PBC中，E、F分不为BC、PB的中点，EFPC.又EF立体PAC，而PC立体PAC，EF立体PAC.2以A为坐标原点树破如以下列图的空间直角坐标系那么P0，0，1，B0，1，0，F0，D，0，0.设BE=x，那么Ex，1，0，·=x，1，-1·0，=0，PEAF.3设立体PDE的法向量为=(p,q,1),由2知=，0，-1，=x，1，-1由，得=.而=0，0，1，依题意PA与立体PDE所成角为45°,sin45°=，=,得BE=x=-或BE=x=+舍去.故BE=-时，PA与立体PDE所成角为45°.【例2】ID401043【高清视频空间角、空间距离例3】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA立体ABCD,AP=AB=2，BC=2，E,F分不是AD，PC的中点。（1） 证明：PC立体BEF；（2） 求立体BEF与立体BAP夹角的大小。举一反三：【变式】如图，在三棱锥中，正面为等边三角形，侧棱CABP求证：；求证：立体立体；求二面角的余弦值设中点为，贯串连接，因为，因而.又，因而.因为，因而立体.因为立体，因而.由已经清楚，因而，.又为正三角形，且，因而.因为，因而.因而.由知是二面角的立体角.因而立体立体.方法1：由知立体.过作于，贯串连接，那么.因而是二面角的立体角.在中，易求得.因为，因而.因而.即二面角的余弦值为.方法2：由知，两两垂直.以为原点树破如以下列图的空间直角坐标系.易知，.xCABPDyz因而，.设立体的法向量为，那么即令，那么，.因而立体的一个法向量为.易知立体的一个法向量为.因而.由图可知，二面角为锐角.因而二面角的余弦值为.典范二、使用空间向量求空间距离例3.天津模拟如图，在四棱锥PABCD中，正面PAD底面ABCD，侧棱PA=PD=，PAPD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，AB=BC=1，O为AD中点1求直线PB与立体POC所成角的余弦值2求B点到立体PCD的距离3线段PD上是否存在一点Q，使得二面角QACD的余弦值为？假设存在，求出的值；假设不存在，请说明因由【分析】1在PAD中PA=PD，O为AD中点，因而POAD，又正面PAD底面ABCD，立体PAD立体ABCD=AD，PO立体PAD，因而PO立体ABCD又在直角梯形ABCD中，易得OCAD；因而以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴树破空间直角坐标系那么P0，0，1，A0，1，0，B1，1，0，C1，0，0，D0，1，0；因而，易证：OA立体POC，因而，立体POC的法向量，因而PB与立体POC所成角的余弦值为2，设立体PDC的法向量为，那么，取z=1得B点到立体PCD的距离3假设存在，那么设=01因为=0，1，1，因而Q0，1设立体CAQ的法向量为=a，b，c，那么，因而取=1，1，+1，立体CAD的法向量=0，0，1，因为二面角QACD的余弦值为，因而=，因而3210+3=0因而=或=3舍去，因而=【总结升华】使用向量法求点面距，其步伐如下：1求出该立体的一个法向量；2寻出过该点的立体的任一条歪线段对应的向量；3求出法向量与歪线段所对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点面立体的距离，如图：点P到立体的距离。举一反三：【变式】广东高考如图，三角形PDC所在的立体与长方形ABCD所在的立体垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=31证明：BC立体PDA；2证明：BCPD；3求点C到立体PDA的距离【证明】1因为四边形ABCD是长方形，因而BCAD，因为BC立体PDA，AD立体PDA，因而BC立体PDA；2因为四边形ABCD是长方形，因而BCCD，因为立体PDC立体ABCD，立体PDC立体ABCD=CD，BC面ABCD，因而BC立体PDC，因为PD立体PDC，因而BCPD；3解：取CD的中点E，连接AE跟PE，因为PD=PC，因而PECD，在RtPED中，PE=因为立体PDC立体ABCD，立体PDC立体ABCD=CD，PE立体PDC，因而PE立体ABCD由2知：BC立体PDC，由1知：BCAD，因而AD立体PDC，因为PD立体PDC，因而ADPD设点C到立体PDA的距离为h因为VCPDA=VPACD，因而，因而h=，因而点C到立体PDA的距离是