知识讲解_空间点线面的位置关系(基础).doc
空间点线面的位置关系编稿：孙永钊审稿:张林娟【考大年夜纲求】1理解空间直线、平面位置关系的定义；2理解可以作为推理按照的公理跟定理；3能运用公理、定理跟已经获得的结论证明一些空间图形的位置关系的庞杂命题。【知识搜集】空间点线面位置关系三个公理、三个推论平面平行直线异面直线订交直线公理4及等角定理异面直线所成的角异面直线间的距离直线在平面内直线与平面平行直线与平面订交空间两条直线不雅观点垂直歪交空间直线与平面空间两个平面两个平面平行两个平面订交三垂线定理直线与平面所成的角【考点梳理】考点一、平面的根天分子1、平面的根天分子的运用1公理1：可用来证明点在平面内或直线在平面内；2公理2：可用来判定一个平面，为平面化作准备或用来证明点线共面；3公理3：可用来判定两个平面的交线，或证明三点共线，三线共点。2、平行公理要紧用来证明空间中线线平行。3、公理2的推论：1通过一条直线跟直线外一点，有且只需一个平面；2通过两条订交直线，有且只需一个平面；3通过两条平行直线，有且只需一个平面。4、点共线、线共点、点线共面1点共线征询题证明空间点共线征询题，一般转化为证明这些点是某两个平面的大年夜众点，再按照公理3证明这些点都在这两个平面的交线上。2线共点征询题证明空间三线共点征询题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线通过这点，把征询题转化为证明点在直线上。要点说明：证明点线共面的常用方法纳入平面法：先判定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；辅助平面法：先证明有关的点、线判定平面，再证明其余元素判定平面，最后证明平面、重合。考点二、直线与直线的位置关系1位置关系的分类2异面直线所成的角定义：设a,b是两条异面直线，通过空间中任一点O作直线aa,bb,把a与b所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角或夹角.范围：要点说明：证明两直线为异面直线的方法：1、定义法不易把持2、反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或订交，由假设的条件出发，通过严密的推理，导出冲突，从而否定假设确信两条直线异面。此法在异面直线的判定中经常用到。3、客不雅观题中，也可用下述结论：过平面外一点跟平面内一点的直线，与平面内只是该点的直线是异面直线，如图：考点三、直线跟平面、两个平面的位置关系1、直线跟平面的位置关系位置关系直线a在平面内直线a与平面订交直线a与平面平行大年夜众点有无数个大年夜众点有且只需一个大年夜众点不大年夜众点标志表示图形表示2、两个平面的位置关系位置关系图示表示法大年夜众点个数两平面平行0两平面订交歪交有无数个大年夜众点在一条直线上垂直有无数个大年夜众点在一条直线上考点四、平行公理、等角定理平行于一致条直线的两条直线互相平行。但垂直于一致条直线的两直线的位置关系可以平行，可以订交，也可以异面空间中假设两个角的单方分错误应平行，那么这两个角相当或互补。要点说明：1以空间几多何体为载体，调查逻辑推理才干；2通过揣摸位置关系，调查空间想象才干；3运用公理、定理证明点共线、线共面等征询题；4多以选择、填空的方法调查，偶尔也出现在解答题中。【模典范题】典范一、异面直线的判定例1秋奉新县校级月考如以下列图，三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC=60°，PA=AB=AC=2，E是PC的中点1文求证AE与PB是异面直线理求异面直线AE跟PB所成角的余弦值；2求三棱锥AEBC的体积【分析】1文证明：假设AE与PB共面，设平面为，A，B，E，平面即为平面ABE，P平面ABE，这与P平面ABE冲突，因而AE与PB是异面直线理取BC的中点F，连接EF、AF，那么EFPB，因而AEF或其补角的确是异面直线AE跟PB所成角BAC=60°，PA=AB=AC=2，PA平面ABC，AF=，AE=，EF=；cosAEF=，因而异面直线AE跟PB所成角的余弦值为2因为E是PC中点，因而E到平面ABC的距离为PA=1，VAEBC=VEABC=××2×2××1=举一反三：【变式】秋龙子湖区校级月考已经清楚空间四边形ABCD，E、H分不是AB、AD的中点，F、G分不是边BC、DC的三中分点如图，求证：1对角线AC、BD是异面直线；2直线EF跟HG必交于一点，且交点在AC上【证明】1假设对角线AC、BD在一致平面内，那么A、B、C、D都在平面内，这与ABCD是空间四边形冲突，AC、BD是异面直线2E、H分不是AB、AD的中点，EHBD又F、G分不是BC、DC的三中分点，FGBDEHFG，且EHFGFE与GH订交设交点为O，又O在GH上，GH在平面ADC内，O在平面ADC内同理，O在平面ABC内从而O在平面ADC与平面ABC的交线AC上典范二、平面的根天分子及平行公理的运用例2如图，四边形ABEF跟ABCD根本上直角梯形，BAD=FAB=900，BCAD，BEFA，G、H分不为FA、FD的中点。1证明：四边形BCHG是平行四边形；2C、D、F、E四点是否共面？什么缘故？【分析】12方法一：方法二：如图，延长FE，DC分不与AB交于点M，BEAF，B为MA中点。BCAD，B为中点，M与重合，即FE与DC交于点M，C、D、F、E四点共面。【点评】1G、H为中点GHAD，又BCADGHBC；2方法一：证明D点在EF、GJ判定的平面内。方法二：延长FE、DC分不与AB交于M，可证M与重合，从而FE与DC订交。典范三、异面直线所成的角例3空间四边形ABCD中，AB=CD且AB与CD所成的角为300，E、F分不是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小。【答案】取AC的中点G，连接EG、FG，那么EG/AB，GF/CD，且由AB=CD知EG=FG，GEF或它的补角为EF与AB所成的角，或它的补角为与所成的角。与CD所成的角为300，=300或1500。由EG=FG知EFG为等腰三角形，当=300时，GEF=750；当=1500时，GEF=150。故EF与AB所成的角为150或750。【分析】恳求EF与AB所成的角，可通过某一点作两条直线的平行线，考虑到E、F为中点，故可过E或F作AB的平行线。取AC的中点，平移AB、CD，使已经清楚角跟所求的角在一个三角形中求解。【点评】1求异面直线所成的角，关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线订交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其订交。平移直线的方法有：开门见山平移中位线平移补形平移；2求异面直线所成角的步伐：作：通过作平行线，掉掉落订交直线；证：证明订交直线所成的角为异面直线所成的角；求：通过解三角形，求出该角。典范四、点共线、线共点、线共面征询题例4正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于O，AC、BD交于点M求证：点C1、O、M共线CODABMB1C1D1A1【证明】A1ACC1判定平面A1CA1C面A1CO面A1COA1C面BC1D直线A1COO面BC1DO在面A1C与平面BC1D的交线C1M上C1、O、M共线举一反三：【高清课堂：空间点线面的位置关系例2】【变式】如图，在周围体ABCD中作截面PQR，假设PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K。求证：M、N、K三点共线。【证明】因为MPQ平面PQR，MBC平面BCD，又因为M是平面PQR与平面BCD的一个大年夜众点，即M在平面PQR与平面BCD的交线l上。同理可证：N、K也在l上，因而M、N、K三点共线。
