高考数学(文)一轮复习讲义 第12章12.2第1课时 绝对值不等式.docx

§12.2不等式选讲第1课时绝对值不等式最新考纲考情考向分析1.理解绝对值的几多何意思，并理解以下不等式成破的几多何意思及取等号的条件：|ab|a|b|(a，bR)；|ac|ab|bc|(a，b，cR).2.会运用绝对值的几多何意思求解以下典范的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.本节题目稀有的是解绝对值不等式、运用不等式恒成破求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是调查的抢手.求解的一般方法是去丢掉绝对值，也可以借助数形结合求解.在高考中要紧以解答题的方法调查，难度为中、高级.1.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a0a<0|x|<a(a，a)|x|>a(，a)(a，)(，0)(0，)R(2)|axb|c(c>0)跟|axb|c(c>0)型不等式的解法|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c(c>0)跟|xa|xb|c(c>0)型不等式的解法运用绝对值不等式的几多何意思求解，表达了数形结合的思想；运用“零点分段法求解，表达了分类讨论的思想；通过构造函数，运用函数的图象求解，表达了函数与方程的思想.2.含有绝对值的不等式的性质(1)假设a，b是实数，那么|a|b|a±b|a|b|.(2)假设a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成破.不雅念方法微思索1.绝对值三角不等式的向量方法及几多何意思是什么？提示当a，b不共线时，|a|b|>|ab|，它的几多何意思的确是三角形的单方之跟大年夜于第三边.2.用“零点分段法解含有n个绝对值的不等式时，需把数轴分成几多段？提示一般地，n个绝对值对应n个零点，n个零点应把数轴分成(n1)段.题组一思索辨析1.揣摸以下结论是否精确(请在括号中打“或“×)(1)假设|x|>c的解集为R，那么c0.(×)(2)不等式|x1|x2|<2的解集为.()(3)对|ab|a|b|当且仅当a>b>0时等号成破.(×)(4)对|a|b|ab|当且仅当|a|b|时等号成破.(×)(5)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成破.()题组二讲义改编2.不等式3|52x|<9的解集为()A.2,1)4,7)B.(2,1(4,7C.(2，14,7)D.(2,14,7)答案D分析由题意得即解得不等式的解集为(2,14,7).3.求不等式|x1|x5|<2的解集.解当x1时，原不等式可化为1x(5x)<2，4<2，不等式恒成破，x1；当1<x<5时，原不等式可化为x1(5x)<2，x<4，1<x<4；当x5时，原不等式可化为x1(x5)<2，该不等式不成破.综上，原不等式的解集为(，4).题组三易错自纠4.假设不等式|kx4|2的解集为x|1x3，那么实数k_.答案2分析|kx4|2，2kx42，2kx6.不等式的解集为x|1x3，k2.5.已经清楚a，b，c是正实数，且abc1，那么的最小值为_.答案9分析把abc1代入到中，得332229，当且仅当abc时，等号成破.题型一绝对值不等式的解法例1(1)解不等式x|2x3|2.解原不等式可化为或解得x5或x.综上，原不等式的解集是.(2)(2017·世界)已经清楚函数f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.当a1时，求不等式f(x)g(x)的解集；假设不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求a的取值范围.解当a1时，不等式f(x)g(x)等价于x2x|x1|x1|40.(*)当x<1时，(*)式化为x23x40，无解；当1x1时，(*)式化为x2x20，从而1x1；当x>1时，(*)式化为x2x40，从而1<x.因而f(x)g(x)的解集为.当x1,1时，g(x)2，因而f(x)g(x)的解集包含1,1等价于当x1,1时，f(x)2.又f(x)在1,1上的最小值必为f(1)与f(1)之一，因而f(1)2且f(1)2，得1a1.因而a的取值范围为1,1.思想升华解绝对值不等式的全然方法(1)运用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值标志的一般不等式.(2)当不等式中间均为正号时，可通过单方平方的方法，转化为解不含绝对值标志的一般不等式.(3)运用绝对值的几多何意思，数形结合求解.跟踪训练1已经清楚函数f(x)|x1|2|xa|，a>0.(1)当a1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)假设f(x)的图象与x轴围成的三角形的面历大年夜于6，求a的取值范围.解(1)当a1时，f(x)>1化为|x1|2|x1|1>0.当x1时，不等式化为x4>0，无解；当1<x<1时，不等式化为3x2>0，解得<x<1；当x1时，不等式化为x2>0，解得1x<2.因而f(x)>1的解集为.(2)由题设可得，f(x)因而函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分不为A，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC的面积为(a1)2.由题设得(a1)2>6，故a>2.因而a的取值范围为(2，).题型二运用绝对值不等式求最值例2(1)对任意x，yR，求|x1|x|y1|y1|的最小值；(2)对于实数x，y，假设|x1|1，|y2|1，求|x2y1|的最大年夜值.解(1)x，yR，|x1|x|(x1)x|1，当且仅当0x1时等号成破，|y1|y1|(y1)(y1)|2，当且仅当1y1时等号成破，|x1|x|y1|y1|123，当且仅当0x1，1y1同时成破时等号成破.|x1|x|y1|y1|的最小值为3.(2)|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最大年夜值为5.思想升华求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种(1)运用绝对值的几多何意思.(2)运用绝对值三角不等式，即|a|b|a±b|a|b|.(3)运用零点分区间法.跟踪训练2已经清楚a跟b是任意非零实数.(1)求的最小值；(2)假设不等式|2ab|2ab|a|(|2x|2x|)恒成破，务虚数x的取值范围.解(1)4，当且仅当(2ab)(2ab)0时等号成破，的最小值为4.(2)假设不等式|2ab|2ab|a|(|2x|2x|)恒成破，即|2x|2x|恒成破，故|2x|2x|min.由(1)可知，的最小值为4，x的取值范围即为不等式|2x|2x|4的解集.解不等式得2x2，故实数x的取值范围为2,2.题型三绝对值不等式的综合运用例3(2017·世界)已经清楚函数f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)假设不等式f(x)x2xm的解集非空，求m的取值范围.解(1)f(x)当x<1时，f(x)1无解；当1x2时，由f(x)1，得2x11，解得1x2；当x>2时，由f(x)1，解得x>2，因而f(x)1的解集为x|x1.(2)由f(x)x2xm，得m|x1|x2|x2x.而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|2，当x时，|x1|x2|x2x.故m的取值范围为.思想升华(1)处置与绝对值有关的综合征询题的关键是去丢掉绝对值，化为分段函数来处置.(2)数形结合是处置与绝对值有关的综合征询题的常用方法.跟踪训练3设函数f(x)x|xa|.(1)当a2019时，求函数f(x)的值域；(2)假设g(x)|x1|，求不等式g(x)2>xf(x)恒成破时a的取值范围.解(1)由题意得，当a2019时，f(x)因为f(x)在2019，)上单调递增，因而f(x)的值域为2019，).(2)由g(x)|x1|，不等式g(x)2>xf(x)恒成破，知|x1|xa|>2恒成破，即(|x1|xa|)min>2.而|x1|xa|(x1)(xa)|1a|，因而|1a|>2，解得a>1或a<3.即a的取值范围是(，3)(1，).1.对于任意实数a，b，已经清楚|ab|1，|2a1|1，且恒有|4a3b2|m，务虚数m的取值范围.解因为|ab|1，|2a1|1，因而|3a3b|3，因而|4a3b2|3a3b|36，即|4a3b2|的最大年夜值为6，因而m|4a3b2|max6.即实数m的取值范围为6，).2.已经清楚函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)假设f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围.解(1)当a3时，f(x)|x3|x2|当x2时，由f(x)3，得2x53，解得x1；当2<x<3时，f(x)3无解；当x3时，由f(x)3，得2x53，解得x4，因而f(x)3的解集为x|x1或x4.(2)由f(x)|x4|，得|x4|x2|xa|.当x1,2时，|x4|x2|xa|，得4x(2x)|xa|，即2ax2a.由条件得2a1且2a2，即3a0.故称心条件的a的取值范围为3,0.3.已经清楚函数f(x)|x2m|xm|(m>0).(1)当m2时，求不等式f(x)1的解集；(2)对于任意实数x，t，不等式f(x)|t3|t2|恒成破，求m的取值范围.解(1)f(x)|x2m|xm|当m2时，当2<x<4时，由2x21，得2<x，又当x2时，f(x)61恒成破，不等式f(x)1的解集为.(2)不等式f(x)|t3|t2|对任意的实数t，x恒成破，等价于对任意的实数x，f(x)(|t3|t2|)min恒成破，即f(x)max(|t3|t2|)min，f(x)|x2m|xm|(xm)(x2m)|3m，|t3|t2|(t3)(t2)|5，3m5，又m>0，0<m.4.设函数f(x)|2x1|x2|.(1)解不等式f(x)>0；(2)假设xR，使得f(x)2m2<4m，务虚数m的取值范围.解(1)函数f(x)|2x1|x2|令f(x)0，求得x或x3，故不等式f(x)>0的解集为.(2)假设xR，使得f(x)2m2<4m，即f(x)<4m2m2有解，由(1)可得f(x)的最小值为f3×1，故<4m2m2，解得<m<.故实数m的取值范围为.5.已经清楚函数f(x)|x2|2x1|.(1)解不等式f(x)2；(2)假设bR，不等式|ab|ab|f(x)对xR恒成破，求a的取值范围.解(1)f(x)原不等式等价于或或解得x1或x<2或x2，综上所述，不等式的解集是.(2)bR，|ab|ab|f(x)对xR恒成破等价于(|ab|ab|)maxf(x)max.因为|ab|ab|(ab)(ab)|2|a|，因而|ab|ab|的最大年夜值为2|a|；当x时，f(x)；当<x<2时，5<f(x)<；当x2时，f(x)5，因而f(x)max，因而由原不等式恒成破，得2|a|，解得a或a.即a的取值范围是.6.设f(x)|x1|2x1|.(1)求不等式f(x)x2的解集；(2)假设不等式称心f(x)|x|(|a2|a1|)对任意实数(x0)恒成破，务虚数a的取值范围.解(1)按照题意可知，原不等式为|x1|2x1|x2，等价于或或解得x<1或1x或x>.综上可得不等式f(x)x2的解集为R.(2)不等式f(x)|x|(|a2|a1|)等价于(|a2|a1|)，因为3，当且仅当0时取等号，因为(|a2|a1|)，因而|a2|a1|6，解得a或a，故实数a的取值范围为.