高考数学(文)一轮复习讲义 第6章6.3 等比数列及其前n项和.docx

§6.3等比数列及其前n项跟最新考纲考情考向分析1.理解等比数列的不雅念，把持等比数列的通项公式与前n项跟公式2.能在具体的征询题情境中识不数列的等比关系，并能用有关知识处理呼应的征询题3.理解等比数列与指数函数的关系.要紧调查等比数列的全然运算、根天性质，等比数列的证明也是调查的抢手本节内容在高考中既可以以选择题、填空题的方法停顿调查，也可以以解答题的方法停顿调查解答题屡屡与等差数列、数列求跟、不等式等征询题综合调查属于中高级题.1等比数列的定义一般地，假设一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于一致常数，那么谁人数列叫做等比数列，谁人常数叫做等比数列的公比，素日用字母q表示(q0)2等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，那么它的通项ana1·qn1.3等比中项假设三个数x，G，y形成等比数列，那么G叫做x跟y的等比中项4等比数列的常用性质(1)通项公式的履行：anam·qnm(n，mN)(2)假设an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN)，那么ak·alam·an.(3)假设an，bn(项数一样)是等比数列，那么an(0)，a，an·bn，依然等比数列(4)在等比数列an中，等距离取出假设干项也形成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.5等比数列的前n项跟公式等比数列an的公比为q(q0)，其前n项跟为Sn，当q1时，Snna1；当q1时，Sn.6等比数列前n项跟的性质公比不为1的等比数列an的前n项跟为Sn，那么Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.不雅念方法微思索1将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列仍然一个等比数列吗？假设是，这两个等比数列的公比有何关联？提示仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数2任意两个实数都有等比中项吗？提示不是只需同号的两个非零实数才有等比中项3“b2ac是“a，b，c成等比数列的什么条件？提示需要不充分条件因为b2ac时不用定有a，b，c成等比数列，比如a0，b0，c1.但a，b，c成等比数列肯定有b2ac.题组一思索辨析1揣摸以下结论是否精确(请在括号中打“或“×)(1)称心an1qan(nN，q为常数)的数列an为等比数列(×)(2)假设数列an为等比数列，bna2n1a2n，那么数列bn也是等比数列(×)(3)假设数列an为等比数列，那么数列lnan是等差数列(×)(4)数列an的通项公式是anan，那么其前n项跟为Sn.(×)(5)数列an为等比数列，那么S4，S8S4，S12S8成等比数列(×)题组二讲义改编2已经清楚an是等比数列，a22，a5，那么公比q.答案分析由题意知q3，q.3公比不为1的等比数列an称心a5a6a4a718，假设a1am9，那么m的值为()A8B9C10D11答案C分析由题意得，2a5a618，a5a69，a1ama5a69，m10.题组三易错自纠4假设1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，那么的值为答案分析1，a1，a2，4成等差数列，3(a2a1)41，a2a11.又1，b1，b2，b3，4成等比数列，设其公比为q，那么b1×44，且b21×q2>0，b22，.5设Sn为等比数列an的前n项跟，8a2a50，那么.答案11分析设等比数列an的公比为q，8a2a50，8a1qa1q40.q380，q2，·11.6一种专门占据内存的打算机病毒开机时占据内存1MB，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原本的2倍，那么开机秒，该病毒占据内存8GB.(1GB210MB)答案39分析由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小形成一等比数列an，且a12，q2，an2n，那么2n8×210213，n13.即病毒共复制了13次所需时辰为13×339(秒)题型一等比数列全然量的运算1(2019·沈阳模拟)已经清楚等比数列an称心a1，a3a54(a41)，那么a2等于()A.B.C1D2答案B分析设等比数列an的公比为q，由题意知a3a54(a41)a，那么a4a440，解得a42，又a1，因而q38，即q2，因而a2a1q.2(2018·世界)等比数列an中，a11，a54a3.(1)求an的通项公式；(2)记Sn为an的前n项跟，假设Sm63，求m.解(1)设an的公比为q，由题设得anqn1.由已经清楚得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1(nN+)(2)假设an(2)n1，那么Sn.由Sm63得(2)m188，此方程不正整数解假设an2n1，那么Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.综上，m6.思维升华(1)等比数列的通项公式与前n项跟公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已经清楚其中三个就能求不的两个(简称“知三求二)(2)运用等比数列的前n项跟公式时，留心对q1跟q1的分类讨论题型二等比数列的判定与证明例1已经清楚数列an称心对任意的正整数n，均有an15an2·3n，且a18.(1)证明：数列an3n为等比数列，并求数列an的通项公式；(2)记bn，求数列bn的前n项跟Tn.解(1)因为an15an2·3n，因而an13n15an2·3n3n15(an3n)，又a18，因而a1350，因而数列an3n是首项为5、公比为5的等比数列因而an3n5n，因而an3n5n.(2)由(1)知，bn1n，那么数列bn的前n项跟Tn11121nnn.思维升华判定一个数列为等比数列的稀有方法：(1)定义法：假设q(q是不为零的常数)，那么数列an是等比数列；(2)等比中项法：假设aanan2(nN，an0)，那么数列an是等比数列；(3)通项公式法：假设anAqn(A，q是不为零的常数)，那么数列an是等比数列跟踪训练1(2018·黄山模拟)设数列an的前n项跟为Sn，已经清楚a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明由a11及Sn14an2，有a1a2S24a12.a25，b1a22a13.又，得an14an4an1(n2)，an12an2(an2an1)(n2)bnan12an，bn2bn1(n2)，故bn是首项b13，公比为2的等比数列(2)解由(1)知bnan12an3·2n1，故是首项为，公差为的等差数列(n1)·，故an(3n1)·2n2.题型三等比数列性质的运用例2(1)(2018·包头质检)已经清楚数列an是等比数列，假设a21，a5，那么a1a2a2a3anan1(nN+)的最小值为()A.B1C2D3答案C分析由已经清楚得数列an的公比称心q3，解得q，a12，a3，故数列anan1是以2为首项，公比为的等比数列，a1a2a2a3anan1，应选C.(2)(2018·大年夜连模拟)设等比数列an的前n项跟为Sn，S21，S45，那么S6等于()A9B21C25D63答案B分析因为S210，因而q1，由等比数列性质得S2，S4S2，S6S4成等比数列，即1×(S65)(51)2，因而S621，应选B.思维升华等比数列稀有性质的运用等比数列性质的运用可以分为三类：(1)通项公式的变形(2)等比中项的变形(3)前n项跟公式的变形按照题目条件，细心分析，觉察具体的变卦特色即可寻出处理征询题的攻破口跟踪训练2(1)等比数列an各项均为正数，a3a8a4a718，那么a1a2a10.答案20分析由a3a8a4a718，得a4a79因而a1a2a1055952log331020.(2)已经清楚等比数列an的前n项跟为Sn，且，那么(n2，且nN)答案分析特不清楚等比数列的公比q1，那么由题意可得，解得q，那么.等差数列与等比数列关于等差(比)数列的全然运算在高检验题中频繁出现，其实质的确是解方程或方程组，需要细心打算，敏锐处理已经清楚条件例1已经清楚等差数列an的首项跟公差均不为0，且称心a2，a5，a7成等比数列，那么的值为()A.B.C.D.答案A分析已经清楚等差数列an的首项跟公差均不为0，且称心a2，a5，a7成等比数列，aa2a7，(a14d)2(a1d)(a16d)，10d2a1d，d0，10da1，.例2已经清楚an为等比数列，数列bn称心b12，b25，且an(bn1bn)an1，那么数列bn的前n项跟为()A3n1B3n1C.D.答案C分析b12，b25，且an(bn1bn)an1，a1(b2b1)a2，即a23a1，又数列an为等比数列，数列an的公比为q3，bn1bn3，数列bn是首项为2，公差为3的等差数列，数列bn的前n项跟为Sn2n×3.应选C.1已经清楚等比数列an称心a11，a3a716，那么该数列的公比为()A±B.C±2D2答案A分析按照等比数列的性质可得a3·a7aa·q8q81624，因而q22，即q±，应选A.2已经清楚递增的等比数列an中，a26，a11，a22，a3成等差数列，那么该数列的前6项跟S6等于()A93B189C.D378答案B分析设数列an的公比为q，由题意可知，q>1，且2a11a3，即2×16q，拾掇可得2q25q20，那么q2，那么a13，数列an的前6项跟S6189.3(2018·满洲里质检)等比数列an的前n项跟为Sn32n1r，那么r的值为()A.BC.D答案B分析当n1时，a1S13r，当n2时，anSnSn132n132n332n3(321)8·32n38·32n2·31·9n1，因而3r，即r，应选B.4已经清楚等比数列an的公比为2，且Sn为其前n项跟，那么等于()A5B3C5D3答案C分析由题意可得，1(2)25.5古代数学著作九章算术有如下征询题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，征询日织多少多何？意思是：“一女子善于织布，每天织的布全然上前一天的2倍，已经清楚她5天共织布5尺，征询这女子每天性不织布多少多？按照上题的已经清楚条件，假设要使织布的总尺数非常多于30，该女子所需的天数至少为()A10B9C8D7答案C分析设该女子第一天织布x尺，那么5，解得x，因而前n天织布的尺数为(2n1)，由(2n1)30，得2n187，解得n的最小值为8.6假设正项等比数列an称心anan122n(nN)，那么a6a5的值是()A.B16C2D16答案D分析设正项等比数列an的公比为q>0，anan122n(nN)，4q2，解得q2，a×222n，an>0，解得an，那么a6a516，应选D.7已经清楚等比数列an的前n项跟为Sn，且a12018，a2a42a3，那么S2019.答案2018分析a2a42a3，a2a42a30，a22a2qa2q20，q22q10，解得q1.a12018，S20192018.8.如以下列图，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，如此接着下去掉掉落一个树形图形，称为“勾股树假设某勾股树含有1023个正方形，且其最大年夜的正方形的边长为，那么其最小正方形的边长为答案分析由题意，得正方形的边长形成以为首项，以为公比的等比数列，现已经清楚共掉掉落1023个正方形，那么有122n11023，n10，最小正方形的边长为×9.9已经清楚各项均为正数的等比数列an称心a1，且a2a82a53，那么a9.答案18分析a2a82a53，a2a53，解得a53(舍负)，即a1q43，那么q46，a9a1q8×3618.10设等比数列an的前n项跟为Sn，假设a3a112a，且S4S12S8，那么.答案分析a3a112a，a2a，q42，S4S12S8，1q41q12(1q8)，将q42代入打算可得.11(2018·世界)已经清楚数列an称心a11，nan12(n1)an.设bn.(1)求b1，b2，b3；(2)揣摸数列bn是否为等比数列，并说明因由；(3)求an的通项公式解(1)由条件可得an1an，将n1代入得，a24a1，而a11，因而a24.将n2代入得，a33a2，因而a312.从而b11，b22，b34.(2)bn是首项为1，公比为2的等比数列由条件可得，即bn12bn，又b11，因而bn是首项为1，公比为2的等比数列(3)由(2)可得2n1，因而ann·2n1.12已经清楚数列an称心a11，a22，an2，nN.(1)令bnan1an，证明：bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明b1a2a11.当n2时，bnan1anan(anan1)bn1，bn是以1为首项，为公比的等比数列(2)解由(1)知bnan1ann1，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)11n211n1.当n1时，×111a1，ann1(nN)13(2019·鄂尔多斯模拟)正项等比数列an中的a1，a4037是函数f(x)x34x26x3的极值点，那么等于()A1B2C1D.答案A分析因为f(x)x28x6，因而a1·a40376，因而a2019(舍负)，1.14已经清楚数列an的前n项跟为Sn2n12，bnlog2(a·)，数列bn的前n项跟为Tn，那么称心Tn>1024的最小n的值为答案9分析由数列an的前n项跟为Sn2n12，那么当n2时，anSnSn12n122n22n，a1S12，称心上式，因而bnlog2(a·)log2alog22n2n，因而数列bn的前n跟为Tnn(n1)2n12，当n9时，T99×1021021112>1024，当n8时，T88×9292582<1024，因而称心Tn>1024的最小n的值为9.15已经清楚等比数列an的各项均为正数且公频大年夜于1，前n项积为Tn，且a2a4a3，那么使得Tn>1的n的最小值为()A4B5C6D7答案C分析an是各项均为正数的等比数列，且a2a4a3，aa3，a31.又q>1，a1<a2<1，an>1(n>3)，Tn>Tn1(n4，nN)，T1<1，T2a1·a2<1，T3a1·a2·a3a1a2T2<1，T4a1a2a3a4a1<1，T5a1·a2·a3·a4·a5a1，T6T5·a6a6>1，故n的最小值为6，应选C.16在数列的每相邻两项之间拔出此两项的积，形成新的数列，如此的把持叫做该数列的一次“扩大年夜将数列1，2停顿“扩大年夜，第一次掉掉落数列1，2，2；第二次掉掉落数列1，2，2，4，2；.设第n次“扩大年夜后掉掉落的数列为1，x1，x2，xt，2，并记anlog2(1·x1·x2··xt·2)，其中t2n1，nN+，求数列an的通项公式解anlog2(1·x1·x2··xt·2)，因而an1log21·(1·x1)·x1·(x1·x2)··xt·(xt·2)·2log2(12·x·x·x··x·22)3an1，因而an13，因而数列是一个以为首项，以3为公比的等比数列，因而an×3n1，因而an.