高考数学(理)一轮复习讲义6.2等差数列及其前n项和.docx

§6.2等差数列及其前n项跟最新考纲考情考向分析1.理解等差数列的不雅念.2.操纵等差数列的通项公式与前n项跟公式.3.能在具体的征询题情境中识不数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识处置呼应的征询题.4.理解等差数列与一次函数的关系.要紧调查等差数列的全然运算、根天分质，等差数列的证明也是调查的抢手.本节内容在高考中既可以以选择、填空的方法停顿调查，也可以以解答题的方法停顿调查.解答题屡屡与数列的打算、证明、等比数列、数列求跟、不等式等征询题综合调查.难度中高级.1.等差数列的定义一般地，假设一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于一致个常数，那么谁人数列就叫做等差数列，谁人常数叫做等差数列的公差，素日用字母d表示.2.等差数列的通项公式假设等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是ana1(n1)d.3.等差中项假设三个数x，A，y形成等差数列.那么A叫做x与y的等差中项.4.等差数列的常用性质(1)通项公式的履行：anam(nm)d(n，mN).(2)假设an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN)，那么akalaman.(3)假设an是等差数列，公差为d，那么a2n也是等差数列，公差为2d.(4)假设an，bn是等差数列，那么panqbn也是等差数列.(5)假设an是等差数列，公差为d，那么ak，akm，ak2m，(k，mN)是公差为md的等差数列.(6)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，形成等差数列.(7)假设an是等差数列，那么也是等差数列，其首项与an的首项一样，公差为d.5.等差数列的前n项跟公式设等差数列an的公差为d，其前n项跟Sn或Snna1d.6.等差数列的前n项跟公式与函数的关系Snn2n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数).7.等差数列的前n项跟的最值在等差数列an中，a1>0，d<0，那么Sn存在最大年夜值；假设a1<0，d>0，那么Sn存在最小值.不雅念方法微思索1.“a，A，b是等差数列是“A的什么条件？提示充要条件.2.等差数列的前n项跟Sn是项数n的二次函数吗？提示不用定.当公差d0时，Snna1，不是关于n的二次函数.3.怎么样推导等差数列的前n项跟公式？提示使用倒序相加法.题组一思索辨析1.揣摸以下结论是否精确(请在括号中打“或“×)(1)假设一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差全然上常数，那么谁人数列是等差数列.(×)(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的.()(3)等差数列的前n项跟公式是常数项为0的二次函数.(×)(4)已经清楚等差数列an的通项公式an32n，那么它的公差为2.()(5)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN，都有2an1anan2.()(6)已经清楚数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，那么数列an肯定是等差数列.()题组二讲义改编2.设数列an是等差数列，其前n项跟为Sn，假设a62且S530，那么S8等于()A.31B.32C.33D.34答案B分析由已经清楚可得解得S88a1d32.3.在等差数列an中，假设a3a4a5a6a7450，那么a2a8_.答案180分析由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450，a590，a2a82a5180.题组三易错自纠4.一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大年夜，那么谁人等差数列的公差d的取值范围是()A.d>B.d<C.<d<D.<d答案D分析由题意可得即因此<d.应选D.5.假设等差数列an称心a7a8a9>0，a7a10<0，那么当n_时，an的前n项跟最大年夜.答案8分析由于数列an是等差数列，且a7a8a93a8>0，因此a8>0.又a7a10a8a9<0，因此a9<0.故当n8时，其前n项跟最大年夜.6.一物体从1960m的空中落落，假设第1秒落落4.90m，以后每秒比前一秒多落落9.80m，那么经过_秒落到空中.答案20分析设物体经过t秒落落到空中.物体在落落过程中，每一秒落落的距离形成首项为4.90，公差为9.80的等差数列.因此4.90tt(t1)×9.801960，即4.90t21960，解得t20.题型一等差数列全然量的运算1.(2018·世界)记Sn为等差数列an的前n项跟，假设3S3S2S4，a12，那么a5等于()A.12B.10C.10D.12答案B分析设等差数列an的公差为d，由3S3S2S4，得32a1×d4a1×d，将a12代入上式，解得d3，故a5a1(51)d24×(3)10.应选B.2.(2018·阜新模拟)已经清楚等差数列an的前n项跟为Sn，假设6a32a43a25，那么S7等于()A.28B.21C.14D.7答案D分析由6a32a43a25，得6(a12d)2(a13d)3(a1d)5a115d5(a13d)5，即5a45，因此a41，因此S77a47.应选D.思维升华(1)等差数列的通项公式及前n项跟公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，清楚其中三个就能求出不的两个.(2)判定等差数列的关键是求出两个最全然的量，即首项a1跟公差d.题型二等差数列的判定与证明例1在数列an中，a12，an是1与anan1的等差中项.(1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式；(2)求数列的前n项跟Sn.解(1)an是1与anan1的等差中项，2an1anan1，an1，an111，1，1，数列是首项为1，公差为1的等差数列，1(n1)n，an.(2)由(1)得，Sn1.思维升华等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于一致个常数.(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an1anan2.(3)通项公式法：得出anpnq后，再按照定义判定命列an为等差数列.(4)前n项跟公式法：得出SnAn2Bn后，再应用定义法证明数列an为等差数列.跟踪训练1数列an称心an1，a11.(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列的前n项跟Sn，并证明：>.(1)证明an1，化简得2，即2，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列.(2)解由(1)知2n1，因此Snn2，>.证明：>1.题型三等差数列性质的应用命题点1等差数列项的性质例2(2018·本溪模拟)已经清楚an为等差数列，a2a818，那么an的前9项跟S9等于()A.9B.17C.72D.81答案D分析由等差数列的性质可得，a1a9a2a818，那么an的前9项跟S99×81.应选D.命题点2等差数列前n项跟的性质例3(1)(2019·锦州质检)已经清楚等差数列an的前n项跟为Sn.假设S57，S1021，那么S15等于()A.35B.42C.49D.63答案B分析在等差数列an中，S5，S10S5，S15S10成等差数列，即7,14，S1521成等差数列，因此7(S1521)2×14，解得S1542.(2)已经清楚Sn是等差数列an的前n项跟，假设a12018，6，那么S2020_.答案2020分析由等差数列的性质可得也为等差数列.设其公差为d，那么6d6，d1.故2019d201820191，S20201×20202020.思维升华等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列an中，mnpq(m，n，p，qN)，那么amanapaq.(2)跟的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项跟，那么S2nn(a1a2n)n(anan1)；S2n1(2n1)an.跟踪训练2(1)已经清楚等差数列an，a22，a3a5a715，那么数列an的公差d等于()A.0B.1C.1D.2答案B分析a3a5a73a515，a55，a5a233d，可得d1，应选B.(2)设等差数列an的前n项跟为Sn，假设S13>0，S14<0，那么Sn取最大年夜值时n的值为()A.6B.7C.8D.13答案B分析按照S13>0，S14<0，可以判定a1a132a7>0，a1a14a7a8<0，因此可以掉掉落a7>0，a8<0，因此Sn取最大年夜值时n的值为7，应选B.1.假设an为等差数列，且a72a41，a30，那么公差d等于()A.2B.C.D.2答案B分析由于a72a4a16d2(a13d)a11，那么a11.又由a3a12d12d0，解得d.应选B.2.在等差数列an中，已经清楚a12，a2a3a424，那么a4a5a6等于()A.38B.39C.41D.42答案D分析由a12，a2a3a424，可得，3a16d24，解得d3，a4a5a63a112d42.应选D.3.已经清楚等差数列an中，a10123，S20172017，那么S2020等于()A.2020B.2020C.4040D.4040答案D分析由等差数列前n项跟公式结合等差数列的性质可得，S2017×2017×20172017a10092017，那么a10091，据此可得，S2020×202010101010×44040.4.程大年夜位算法统宗里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘川盘川.次第每人多十七，要将第八数来言.务要清晰依次弟，孝跟休惹外人传.意为：996斤棉花，分不赠送给8个后辈做盘川盘川，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个小孩为止.分配时肯定要等级清晰，使孝顺后辈的美德不传，那么第八个小孩分得斤数为()A.65B.176C.183D.184答案D分析按照题意可得每个小孩所得棉花的斤数形成一个等差数列an，其中d17，n8，S8996.由等差数列前n项跟公式可得8a1×17996，解得a165.由等差数列通项公式得a865(81)×17184.5.已经清楚数列an是等差数列，前n项跟为Sn，称心a15a3S8，给出以下结论：a100；S10最小；S7S12；S200.其中肯定精确的结论是()A.B.C.D.答案C分析a15(a12d)8a128d，因此a19d，a10a19d0，精确；由于d的标志未知，因此S10不用定最大年夜，差错；S77a121d42d，S1212a166d42d，因此S7S12，精确；S2020a1190d10d，差错.因此精确的选项是，应选C.6.在等差数列an中，假设<1，且它的前n项跟Sn有最小值，那么当Sn>0时，n的最小值为()A.14B.15C.16D.17答案C分析数列an是等差数列，它的前n项跟Sn有最小值，公差d>0，首项a1<0，an为递增数列.<1，a8·a9<0，a8a9>0，由等差数列的性质知，2a8a1a15<0，a8a9a1a16>0.Sn，当Sn>0时，n的最小值为16.7.(2018·北京)设an是等差数列，且a13，a2a536，那么an的通项公式为_.答案an6n3(nN)分析方法一设公差为d.a2a536，(a1d)(a14d)36，2a15d36.a13，d6，通项公式ana1(n1)d6n3(nN).方法二设公差为d，a2a5a1a636，a13，a633，d6.a13，通项公式an6n3(nN).8.(2019·包头质检)在等差数列an中，假设a7，那么sin2a1cosa1sin2a13cosa13_.答案0分析按照题意可得a1a132a7，2a12a134a72，因此有sin2a1cosa1sin2a13cosa13sin2a1sin(22a1)cosa1cos(a1)0.9.等差数列an，bn的前n项跟分不为Sn，Tn，且，那么_.答案分析在等差数列中，S1919a10，T1919b10，因此.10.已经清楚数列是公差为2的等差数列，且a11，a39，那么an_.答案(n23n3)2分析数列是公差为2的等差数列，且a11，a39，(1)2(n1)，(1)2，3(1)2，a21.2n2，2(n1)22(n2)22212×2(n1)1n23n3.an(n23n3)2，n1时也成破.an(n23n3)2.11.已经清楚数列an称心(an11)(an1)3(anan1)，a12，令bn.(1)证明：数列bn是等差数列；(2)求数列an的通项公式.(1)证明，bn1bn，bn是等差数列.(2)解由(1)及b11.知bnn，an1，an.12.(2018·世界)记Sn为等差数列an的前n项跟，已经清楚a17，S315.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值.解(1)设an的公差为d，由题意得3a13d15.由a17得d2.因此an的通项公式为ana1(n1)d2n9(nN).(2)由(1)得Sn·nn28n(n4)216.因此当n4时，Sn取得最小值，最小值为16.13.已经清楚等差数列an的前n项跟为Sn，bn且b1b317，b2b468，那么S10等于()A.90B.100C.110D.120答案A分析设an公差为d，2d4，d2，b1b317，1，a10，S1010a1d×290，应选A.14.设等差数列an的公差为，前8项跟为6，记tank，那么数列的前7项跟是()A.B.C.D.答案C分析等差数列an的公差d为，前8项跟为6，可得8a1×8×7×6，解得a1，tanantanan111，那么数列tanantanan1的前7项跟为(tana8tana7tana7tana6tana2tana1)7(tana8tana1)77777.应选C.15.已经清楚数列an与均为等差数列(nN)，且a12，那么a20_.答案40分析设an2(n1)d，因此，由于为等差数列，因此其通项是一个关于n的一次函数，因此(d2)20，d2.因此a202(201)×240.16.记m，假设是等差数列，那么称m为数列an的“dn等差均值；假设是等比数列，那么称m为数列an的“dn等比均值.已经清楚数列an的“2n1等差均值为2，数列bn的“3n1等比均值为3.记cnklog3bn，数列的前n项跟为Sn，假设对任意的正整数n都有SnS6，务虚数k的取值范围.解由题意得2，因此a13a2(2n1)an2n，因此a13a2(2n3)an12n2(n2，nN)，两式相减得an(n2，nN).当n1时，a12，符合上式，因此an(nN).又由题意得3，因此b13b23n1bn3n，因此b13b23n2bn13n3(n2，nN)，两式相减得bn32n(n2，nN).当n1时，b13，符合上式，因此bn32n(nN).因此cn(2k)n2k1.由于对任意的正整数n都有SnS6，因此解得k.