高考数学(文)一轮复习讲义 第2章2.4 幂函数与二次函数.docx

§2.4幂函数与二次函数最新考纲考情考向分析1.理解幂函数的不雅念2.结合函数yx，yx2，yx3，y，y的图象，理解它们的变卦情况3.理解并操纵二次函数的定义、图象及性质4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系处置庞杂征询题.以幂函数的图象与性质的运用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的运用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重调查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度.1幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx(R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数(2)稀有的五种幂函数的图象跟性质比较函数yxyx2yx3yyx1图象性质定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(，0上单调递减；在(0，)上单调递增在R上单调递增在0，)上单调递增在(，0)跟(0，)上单调递减大年夜众点(1,1)2二次函数的图象跟性质分析式f(x)ax2bxc(a>0)f(x)ax2bxc(a<0)图象定义域RR值域单调性在x上单调递减；在x上单调递增在x上单调递增；在x上单调递减对称性函数的图象关于直线x对称不雅念方法微思索1二次函数的分析式有哪些常用方法？提示(1)一般式：yax2bxc(a0)；(2)顶点式：ya(xm)2n(a0)；(3)零点式：ya(xx1)(xx2)(a0)2已经清楚f(x)ax2bxc(a0)，写出f(x)0恒成破的条件提示a>0且0.题组一思索辨析1揣摸以下结论是否精确(请在括号中打“或“×)(1)二次函数yax2bxc(a0)，xa，b的最值肯定是.(×)(2)在yax2bxc(a0)中，a决定了图象的开口倾向跟在同不时角坐标系中的开口大小()(3)函数y是幂函数(×)(4)假设幂函数的图象与坐标轴订交，那么交点肯定是原点()(5)当n<0时，幂函数yxn是定义域上的减函数(×)题组二讲义改编2已经清楚幂函数f(x)k·x的图象过点，那么k等于()A.B1C.D2答案C分析由幂函数的定义，知k1，.k.3已经清楚函数f(x)x24ax在区间(，6)内单调递减，那么a的取值范围是()Aa3Ba3Ca<3Da3答案D分析函数f(x)x24ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x2a，由函数在区间(，6)内单调递减可知，区间(，6)应在直线x2a的左侧，2a6，解得a3，应选D.题组三易错自纠4幂函数f(x)(aZ)为偶函数，且f(x)在区间(0，)上是减函数，那么a等于()A3B4C5D6答案C分析由于a210a23(a5)22，f(x)(aZ)为偶函数，且在区间(0，)上是减函数，因此(a5)22<0，从而a4,5,6，又(a5)22为偶数，因此只能是a5，应选C.5已经清楚函数y2x26x3，x1,1，那么y的最小值是_答案1分析函数y2x26x3的图象的对称轴为x>1，函数y2x26x3在1,1上单调递减，ymin2631.6设二次函数f(x)x2xa(a>0)，假设f(m)<0，那么f(m1)_0.(填“>“<或“)答案>分析f(x)x2xa图象的对称轴为直线x，且f(1)>0，f(0)>0，而f(m)<0，m(0,1)，m1<0，f(m1)>0.题型一幂函数的图象跟性质1假设幂函数的图象经过点，那么它的单调递增区间是()A(0，)B0，)C(，)D(，0)答案D分析设f(x)x，那么2，2，即f(x)x2，它是偶函数，单调递增区间是(，0)应选D.2假设四个幂函数yxa，yxb，yxc，yxd在一致坐标系中的图象如以下列图，那么a，b，c，d的大小关系是()Ad>c>b>aBa>b>c>dCd>c>a>bDa>b>d>c答案B分析由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大年夜，函数图象越濒临x轴，由题图知a>b>c>d，应选B.3已经清楚幂函数f(x)(n22n2)(nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，那么n的值为()A3B1C2D1或2答案B分析由于f(x)为幂函数，因此n22n21，解得n1或n3，经检验只需n1符合题意，应选B.4(2018·阜新模拟)假设(a1)<(32a)，那么实数a的取值范围是_答案(，1)分析不等式(a1)<(32a)等价于a1>32a>0或32a<a1<0或a1<0<32a，解得a<1或<a<.思想升华(1)幂函数的方法是yx(R)，其中只需一个参数，因此只需一个条件即可判定其分析式(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大年夜，函数图象越濒临x轴(简记为“指大年夜图低)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大年夜，函数图象越阔不x轴(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特征，选择适当的函数，借助其单调性停顿比较，精确操纵各个幂函数的图象跟性质是解题的关键题型二求二次函数的分析式例1(1)已经清楚二次函数f(x)x2bxc称心f(0)3，对xR，都有f(1x)f(1x)成破，那么f(x)的分析式为_答案f(x)x22x3分析由f(0)3，得c3，又f(1x)f(1x)，函数f(x)的图象关于直线x1对称，1，b2，f(x)x22x3.(2)已经清楚二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)跟(2,0)且有最小值1，那么f(x)_.答案x22x分析设函数的分析式为f(x)ax(x2)(a0)，因此f(x)ax22ax，由1，得a1，因此f(x)x22x.思想升华求二次函数分析式的方法跟踪训练1(1)已经清楚二次函数f(x)ax2bx1(a，bR，a0)，xR，假设函数f(x)的最小值为f(1)0，那么f(x)_.答案x22x1分析设函数f(x)的分析式为f(x)a(x1)2ax22axa(a0)，又f(x)ax2bx1，因此a1，故f(x)x22x1.(2)已经清楚二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，同时对任意xR，都有f(2x)f(2x)，那么f(x)_.答案x24x3分析由于f(2x)f(2x)对任意xR恒成破，因此f(x)图象的对称轴为直线x2.又由于f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，因此f(x)0的两根为1跟3.设f(x)的分析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)，又f(x)的图象过点(4,3)，因此3a3，即a1，因此f(x)的分析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.题型三二次函数的图象跟性质命题点1二次函数的图象例2(2018·鄂尔多斯模拟)一次函数yaxb(a0)与二次函数yax2bxc在一致坐标系中的图象大年夜抵是()答案C分析假设a>0，那么一次函数yaxb为增函数，二次函数yax2bxc的图象开口向上，故可打扫A；假设a<0，一次函数yaxb为减函数，二次函数yax2bxc的图象开口向下，故可打扫D；关于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应打扫B，选C.命题点2二次函数的单调性例3函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是递减的，那么实数a的取值范围是()A3,0)B(，3C2,0D3,0答案D分析当a0时，f(x)3x1在1，)上单调递减，称心题意当a0时，f(x)的对称轴为x，由f(x)在1，)上单调递减，知解得3a<0.综上，a的取值范围为3,0引申探究假设函数f(x)ax2(a3)x1的单调减区间是1，)，那么a_.答案3分析由题意知f(x)必为二次函数且a<0，又1，a3.命题点3二次函数的最值例4已经清楚函数f(x)ax22ax1在区间1,2上有最大年夜值4，务虚数a的值解f(x)a(x1)21a.(1)当a0时，函数f(x)在区间1,2上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a>0时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，最大年夜值为f(2)8a14，解得a；(3)当a<0时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，最大年夜值为f(1)1a4，解得a3.综上可知，a的值为或3.引申探究将本例改为：求函数f(x)x22ax1在区间1,2上的最大年夜值解f(x)(xa)21a2，f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为xa.(1)当a<即a>时，f(x)maxf(2)4a5，(2)当a即a时，f(x)maxf(1)22a，综上，f(x)max命题点4二次函数中的恒成破征询题例5(1)已经清楚二次函数f(x)称心f(x1)f(x)2x，且f(0)1，假设不等式f(x)>2xm在区间1,1上恒成破，那么实数m的取值范围为_答案(，1)分析设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)1，得c1，又f(x1)f(x)2x，得2axab2x，因此a1，b1，因此f(x)x2x1.f(x)>2xm在区间1,1上恒成破，即x23x1m>0在1,1上恒成破，令g(x)x23x1m2m，x1,1，g(x)在1,1上单调递减，因此g(x)ming(1)131m>0，因此m<1.(2)函数f(x)a2x3ax2(a>1)，假设在区间1,1上f(x)8恒成破，那么a的最大年夜值为_答案2分析令axt，由于a>1，x1,1，因此ta，原函数化为g(t)t23t2，t，显然g(t)在上单调递增，因此f(x)8恒成破，即g(t)maxg(a)8恒成破，因此有a23a28，解得5a2，又a>1，因此a的最大年夜值为2.思想升华处置二次函数图象与性质征询题时要留心：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要留心分类讨论；(2)要留心数形结合思想的运用，尤其是给定区间上的二次函数最值征询题，先“定性(作草图)，再“定量(看图求解)(3)由不等式恒成破求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是不离参数；二是不不离参数两种思路根本大将征询题归结为求函数的最值或值域跟踪训练2(1)函数yx2bxc(x0，)是单调函数的充要条件是()Ab0Bb0Cb>0Db<0答案A分析函数yx2bxc(x0，)是单调函数，图象的对称轴x在区间0，)的左边或0，即0，得b0.(2)已经清楚函数f(x)x22ax2a4的定义域为R，值域为1，)，那么a的值为_答案1或3分析由于函数f(x)的值域为1，)，因此f(x)min1.又f(x)(xa)2a22a4，当xR时，f(x)minf(a)a22a41，即a22a30，解得a3或a1.(3)设函数f(x)ax22x2，关于称心1<x<4的一切x值都有f(x)>0，那么实数a的取值范围为_答案分析由题意得a>对1<x<4恒成破，又22，<<1，max，a>.数形结合思想跟分类讨论思想在二次函数中的运用研究二次函数的性质，可以结合图象停顿；关于含参数的二次函数征询题，要清楚参数对图象的阻碍，停顿分类讨论例设函数f(x)x22x2，xt，t1，tR，求函数f(x)的最小值解f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，函数图象的对称轴为x1.当t11，即t0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间t，t1上为减函数，因此最小值为f(t1)t21；当t<1<t1，即0<t<1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x1处取得最小值，最小值为f(1)1；当t1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间t，t1上为增函数，因此最小值为f(t)t22t2.综上可知，f(x)min1幂函数yf(x)经过点(3，)，那么f(x)是()A偶函数，且在(0，)上是增函数B偶函数，且在(0，)上是减函数C奇函数，且在(0，)上是减函数D非奇非偶函数，且在(0，)上是增函数答案D分析设幂函数的分析式为yx，将(3，)代入分析式得3，解得，y，应选D.2.幂函数y(mZ)的图象如以下列图，那么m的值为()A0B1C2D3答案C分析y(mZ)的图象与坐标轴不交点，m24m<0，即0<m<4.又函数的图象关于y轴对称且mZ，m24m为偶数，m2.3假设幂函数f(x)(m24m4)·xm26m8在(0，)上为增函数，那么m的值为()A1或3B1C3D2答案B分析由题意得m24m41，m26m8>0，解得m1.4假设命题“ax22ax3>0恒成破是假命题，那么实数a的取值范围是()Aa<0或a3Ba0或a3Ca<0或a>3D0<a<3答案A分析假设ax22ax3>0恒成破，那么a0或可得0a<3，故当命题“ax22ax3>0恒成破是假命题时，a<0或a3.5已经清楚a，b，cR，函数f(x)ax2bxc.假设f(0)f(4)>f(1)，那么()Aa>0,4ab0Ba<0,4ab0Ca>0,2ab0Da<0,2ab0答案A分析由f(0)f(4)，得f(x)ax2bxc图象的对称轴为x2，4ab0，又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，f(x)先减后增，因此a>0，应选A.6已经清楚函数f(x)x22ax1a，x0,1有最大年夜值2，那么a等于()A2B0C0或1D2或1答案D分析函数f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，其图象的对称轴方程为xa.当a<0时，f(x)maxf(0)1a，因此1a2，因此a1；当0a1时，f(x)maxf(a)a2a1，因此a2a12，因此a2a10，因此a(舍去)；当a>1时，f(x)maxf(1)a，因此a2.综上可知，a1或a2.7已经清楚f(x)x2，g(x)，h(x)x2，当0<x<1时，f(x)，g(x)，h(x)的大小关系是_答案h(x)>g(x)>f(x)分析分不作出f(x)，g(x)，h(x)的图象如以下列图，可知h(x)>g(x)>f(x)8已经清楚二次函数yf(x)的顶点坐标为，且方程f(x)0的两个实根之差的绝对值等于7，那么此二次函数的分析式是_答案f(x)4x212x40分析设f(x)a249(a0)，方程a2490的两个实根分不为x1，x2，那么|x1x2|27，因此a4，因此f(x)4x212x40.9已经清楚函数f(x)x2(a1)x5在区间上为增函数，那么f(2)的取值范围是_答案7，)分析函数f(x)x2(a1)x5在区间上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，因此其对称轴x或与直线x重合或位于直线x的左侧，即应有，解得a2，因此f(2)4(a1)×257，即f(2)7.10设函数f(x)2x24x在区间m，n上的值域是6，2，那么mn的取值范围是_答案0,4分析令f(x)6，得x1或x3；令f(x)2，得x1.又f(x)在1,1上单调递增，在1,3上单调递减，当m1，n1时，mn取得最小值0；当m1，n3时，mn取得最大年夜值4.11(2018·河南南阳一中月考)已经清楚函数f(x)x2mx1，假设关于任意xm，m1，都有f(x)<0成破，那么实数m的取值范围是_答案分析由于函数图象开口向上，因此按照题意只需称心解得<m<0.12已经清楚函数f(x)x2(2a1)x3.(1)当a2，x2,3时，求函数f(x)的值域；(2)假设函数f(x)在1,3上的最大年夜值为1，务虚数a的值解(1)当a2时，f(x)x23x3，x2,3，函数图象的对称轴为x2,3，f(x)minf3，f(x)maxf(3)15，f(x)的值域为.(2)函数图象的对称轴为直线x.当1，即a时，f(x)maxf(3)6a3，6a31，即a，称心题意；当>1，即a<时，f(x)maxf(1)2a1，2a11，即a1，称心题意综上可知，a或1.13.如图是二次函数yax2bxc(a0)图象的一部分，图象过点A(3,0)，对称轴为x1.给出下面四个结论：b2>4ac；2ab1；abc0；5a<b.其中精确的选项是()ABCD答案B分析由于图象与x轴交于两点，因此b24ac>0，即b2>4ac，精确；对称轴为x1，即1,2ab0，差错；结合图象，当x1时，y>0，即abc>0，差错；由对称轴为x1知，b2a.又函数图象开口向下，因此a<0，因此5a<2a，即5a<b，精确14当x(1,2)时，不等式x2mx4<0恒成破，那么m的取值范围是_答案(，5分析方法一不等式x2mx4<0对x(1,2)恒成破，mx<x24对x(1,2)恒成破，即m<对x(1,2)恒成破，令yx，x(1,2)，那么函数yx在x(1,2)上是减函数4<y<5，5<<4，m5.方法二设f(x)x2mx4，当x(1,2)时，由f(x)<0恒成破，得解得即m5.15假设函数(x)x2m|x1|在0，)上单调递增，那么实数m的取值范围是_答案2,0分析当0x<1时，(x)x2mxm，现在(x)单调递增，那么0，即m0；当x1时，(x)x2mxm，现在(x)单调递增，那么1，即m2.综上，实数m的取值范围是2,016是否存在实数a2,1，使函数f(x)x22axa的定义域为1,1时，值域为2,2？假设存在，求a的值；假设不存在，请说明因由解f(x)(xa)2aa2，当2a<1时，f(x)在1,1上为增函数，由得a1(舍去)；当1a0时，由得a1；当0<a1时，由得a不存在；综上可得，存在实数a称心题目条件，a1.