高考数学(理)一轮复习讲义7.6直接证明与间接证明.docx

§7.6开门见山证明与开门见山证明最新考纲考情考向分析1.了解开门见山证明的两种全然办法分析法跟综合理；了解分析法跟综合理的思索过程跟特征.2.了解反证法的思索过程跟特征.常以立体几多何中的证明及相关选修内容中立体几多何，不等式的证明为载体加以调查，留心提高分析征询题、处置征询题的才干；在高考中要紧以解答题的办法调查，难度为中档.1.开门见山证明内容综合理分析法定义从已经清楚条件出发，通过逐步的推理，最后抵达待证结论的办法，是一种从缘故推导到结果的思想办法从待证结论出发，一步一步地寻求结论成破的充分条件，最后抵达题设的已经清楚条件或已被证明的理想的办法，是一种从结果追溯到发作这一结果的缘故的思想办法特征从“已经清楚看“可知，逐步推向“未知，其逐步推理，理论上是要寻寻它的需要条件从“未知看“需知，逐步靠拢“已经清楚，其逐步推理，理论上是要寻寻它的充分条件步伐的标志表示P0(已经清楚)P1P2P3P4(结论)B(结论)B1B2BnA(已经清楚)2.开门见山证明(1)反证法的定义：一般地，由证明pq转向证明綈qrtt与假定冲突，或与某个真命题冲突，从而判定綈q为假，推出q为的确办法，叫做反证法.(2)应用反证法证明数学命题的一般步伐：分清命题的条件跟结论；做出与命题结论相冲突的假定；由假定出发，应用精确的推理办法，推出冲突的结果；判定发作冲突结果的缘故，在于开始所做的假定不真，因此原结论成破，从而开门见山地证明命题为真.不雅念办法微思索1.开门见山证明中的综合理是归结推理吗？提示是.用综合理证明时常省略大年夜条件.2.综合理与分析法的推理过程有何区不？提示综合理是执因索果，分析法是执果索因，推理办法是互逆的.3.反证法是“要证原命题成破，只需证其逆否命题成破的推理办法吗？提示不是.反证法是命题中“p与綈p关系的应用.题组一思索辨析1.揣摸以下结论是否精确(请在括号中打“或“×)(1)综合理是开门见山证明，分析法是开门见山证明.(×)(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻寻使结论成破的充要条件.(×)(3)用反证法证明结论“a>b时，应假定“a<b.(×)(4)反证法是指将结论跟条件同时否定，推出冲突.(×)(5)在处置征询题时，常常用分析法寻寻解题的思路与办法，再用综合理展现处置征询题的过程.()(6)证明不等式<最适合的办法是分析法.()题组二讲义改编2.假定P，Q(a0)，那么P，Q的大小关系是()A.P>QB.PQC.P<QD.由a的取值判定答案A分析P22a132，Q22a132，P2>Q2，又P>0，Q>0，P>Q.3.设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分不为a与b，b与c的等差中项，那么等于()A.1B.2C.4D.6答案B分析由题意，得x，y，b2ac，xy，2.题组三易错自纠4.假定a，b，c为实数，且a<b<0，那么以下命题精确的选项是()A.ac2<bc2B.a2>ab>b2C.<D.>答案B分析a2aba(ab)，a<b<0，ab<0，a2ab>0，a2>ab.又abb2b(ab)>0，ab>b2，由得a2>ab>b2.5.用反证法证明命题：“设a，b为实数，那么方程x3axb0至多有一个实根时，要作的假定是()A.方程x3axb0不实根B.方程x3axb0至多有一个实根C.方程x3axb0至多有两个实根D.方程x3axb0偏偏有两个实根答案A分析方程x3axb0至多有一个实根的反面是方程x3axb0不实根，应选A.6.在ABC中，三个内角A，B，C的对边分不为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，那么ABC的形状为_.答案等边三角形分析由题意得2BAC，ABC，B，又b2ac，由余弦定理得b2a2c22accosBa2c2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac，AC，ABC，ABC为等边三角形.题型一综合理的应用例1已经清楚a，b，c>0，abc1.求证：(1)；(2).证明(1)()2(abc)222(abc)(ab)(bc)(ca)3，(当且仅当abc时取等号).(2)a>0，3a1>1，(3a1)24，33a，同理得33b，33c，以上三式相加得493(abc)6，(当且仅当abc时取等号).思想升华(1)从已经清楚出发，逐步推理直到得出所证结论的办法为综合理；(2)打算题的打算过程也是按照已经清楚的式子停顿逐步推导的过程，也是应用的综合理.跟踪训练1设Tn是数列an的前n项之积，并称心：Tn1an.(1)证明：数列是等差数列；(2)令bn，证明：bn的前n项跟Sn<.证明(1)an11，1，又T11a1a1，a1，2，数列是以2为首项，公差为1的等差数列.(2)(n1)×1，n1an(nN)，bn<，Snb1b2bn<××<×.题型二分析法的应用例2已经清楚ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分不为a，b，c.求证：.证明要证，即证3，也的确是1，只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证c2a2acb2，又ABC三内角A，B，C成等差数列，故B60°，由余弦定理，得b2c2a22accos60°，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成破.因此原等式成破.思想升华(1)逆向思索是用分析法证题的要紧思想，通过反推，逐步寻寻使结论成破的充分条件.(2)证明较复杂的征询题时，可以采用两头凑的办法.跟踪训练2已经清楚a>0，证明：a2.证明要证a2，只需证(2).由于a>0，因此(2)>0，因此只需证22，即2(2)84，只需证a2.由于a>0，a2显然成破，因此要证的不等式成破.题型三反证法的应用例3设a>0，b>0，且ab.证明：(1)ab2；(2)a2a<2与b2b<2不克不迭够同时成破.证明由ab，a>0，b>0，得ab1.(1)由均值不等式及ab1，有ab22，即ab2，当且仅当ab1时，等号成破.(2)假定a2a<2与b2b<2同时成破，那么由a2a<2及a>0，得0<a<1；同理，0<b<1，从而ab<1，这与ab1冲突.故a2a<2与b2b<2不克不迭够同时成破.思想升华反证法的一般步伐：(1)分清命题的条件与结论；(2)作出与命题的结论相冲突的假定；(3)由假定出发，应用归结推理的办法，推出冲突的结果；(4)判定发作冲突结果的缘故在于开始所作的假定不成破，原结论成破，从而开门见山地证明原命题为真.跟踪训练3等差数列an的前n项跟为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项公式an与前n项跟Sn；(2)设bn(nN)，求证：数列bn中任意差异的三项都不克不迭够成为等比数列.(1)解设等差数列an的公差为d.由已经清楚得因此d2，故an2n1，Snn(n)(nN).(2)证明由(1)得bnn，假定数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，rN，且互不相当)成等比数列，那么bbpbr.即(q)2(p)(r)，因此(q2pr)(2qpr)0，由于p，q，rN，因此因此2pr，(pr)20，因此pr，与pr冲突，因此数列bn中任意差异的三项都不克不迭够成等比数列.1.在ABC中，sinAsinC<cosAcosC，那么ABC肯定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不判定答案C分析由sinAsinC<cosAcosC得cosAcosCsinAsinC>0，即cos(AC)>0，因此AC是锐角，从而B>，故ABC必是钝角三角形.2.分析法又称执果索因法，已经清楚x>0，用分析法证明<1时，索的因是()A.x2>1B.x2>4C.x2>0D.x2>1答案C分析由于x>0，因此要证<1，只需证()2<2，即证0<，即证x2>0，由于x>0，因此x2>0成破，故原不等式成破.3.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，假定x1x2>0，那么f(x1)f(x2)的值()A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法判定正负答案A分析由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1x2>0，可知x1>x2，f(x1)<f(x2)f(x2)，那么f(x1)f(x2)<0.4.(2018·阜新调研)设x，y，z为正实数，ax，by，cz，那么a，b，c三个数()A.至多有一个不大年夜于2B.都小于2C.至多有一个不小于2D.都大年夜于2答案C分析假定a，b，c都小于2，那么abc<6，而abcxyz2226，与abc<6冲突，a，b，c都小于2差错.a，b，c三个数至多有一个不小于2.5.设a，b是两个实数，给出以下条件：ab>1；ab2；ab>2；a2b2>2；ab>1.其中能推出：“a，b中至多有一个大年夜于1的条件是()A.B.C.D.答案C分析假定a，b，那么ab>1，但a<1，b<1，故推不出；假定ab1，那么ab2，故推不出；假定a2，b3，那么a2b2>2，故推不出；假定a2，b3，那么ab>1，故推不出；对于，即ab>2，那么a，b中至多有一个大年夜于1，下面用反证法证明：假定a1且b1，那么ab2与ab>2冲突，因此假定不成破，a，b中至多有一个大年夜于1.6.用反证法证明“假定x210，那么x1或x1时，应假定_.答案x1且x1分析“x1或x1的否定是“x1且x1.7.假定ab>ab成破，那么a，b应称心的条件是_.答案a0，b0且ab分析ab(ab)(ab)(ba)()(ab)()2().当a0，b0且ab时，()2()>0.ab>ab成破的条件是a0，b0且ab.8.已经清楚点An(n，an)为函数y图象上的点，Bn(n，bn)为函数yx图象上的点，其中nN，设cnanbn，那么cn与cn1的大小关系为_.答案cn1<cn分析由条件得cnanbnn，那么cn随n的增大年夜而减小，cn1<cn.9.(2018·包头质检)已经清楚a>0，b>0，假定不等式恒成破，那么m的最大年夜值为_.答案9分析由于a>0，b>0，因此2ab>0.因此不等式可化为m(2ab)52.由于52549，当且仅当ab时，等号成破，即其最小值为9，因此m9，即m的最大年夜值等于9.10.在不等边三角形ABC中，a为最大年夜边，要想掉掉落A为钝角的结论，三边a，b，c应称心_.答案a2>b2c2分析由余弦定理cosA<0，得b2c2a2<0，即a2>b2c2.11.假定a，b，c是不全相当的正数，求证：lglglg>lgalgblgc.证明a，b，c(0，)，>0，>0，>0.由于a，b，c是不全相当的正数，上述三个不等式中等号不克不迭同时成破，··>abc>0成破.上式单方同时取常用对数，得lg>lgabc，lglglg>lgalgblgc.12.假定f(x)的定义域为a，b，值域为a，b(a<b)，那么称函数f(x)是a，b上的“四维光军函数.(1)设g(x)x2x是1，b上的“四维光军函数，求常数b的值；(2)是否存在常数a，b(a>2)，使函数h(x)是区间a，b上的“四维光军函数？假定存在，求出a，b的值；假定不存在，请说明因由.解(1)由题设得g(x)(x1)21，其图象的对称轴为x1，区间1，b在对称轴的右边，因此函数在区间1，b上单调递增.由“四维光军函数的定义可知，g(1)1，g(b)b，即b2bb，解得b1或b3.由于b>1，因此b3.(2)假定存在常数a，b(a>2)，使函数h(x)是区间a，b上的“四维光军函数，由于h(x)在区间(2，)上单调递减，因此有即解得ab，这与已经清楚冲突.故不存在.13.已经清楚函数f(x)x，a，b是正实数，Af ，Bf()，Cf ，那么A，B，C的大小关系为()A.ABCB.ACBC.BCAD.CBA答案A分析，又f(x)x在R上是减函数.f f()f ，即ABC.14.有三张卡片，分不写有1跟2,1跟3,2跟3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上一样的数字不是2，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上一样的数字不是1，丙说：“我的卡片上的数字之跟不是5，那么甲的卡片上的数字是_.答案1跟3分析由丙说：“我的卡片上的数字之跟不是5可知，丙为“1跟2或“1跟3，又乙说“我与丙的卡片上一样的数字不是1，因此乙只可以为“2跟3，又甲说“我与乙的卡片上一样的数字不是2，因此甲只能为“1跟3.15.已经清楚函数f(x)2e2x2axa2e1，其中aR，e为自然对数的底数.假定函数f(x)在区间(0,1)内有两个零点，那么a的取值范围是()A.(2e1,2e22e1)B.(2,2e1)C.(2e22e1,2e2)D.(2,2e2)答案A分析f(x)2e2x2axa2e1，那么f(x)4e2x2a，x(0,1)，4<4e2x<4e2，假定a2e2时，f(x)<0，函数f(x)在(0,1)内单调递减，故在(0,1)内至多有一个零点，故舍去；假定a2时，f(x)>0，函数f(x)在(0,1)内单调递增，故在(0,1)内至多有一个零点，故舍去；假定2<a<2e2时，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，因此f(x)minf 2aaln2e1.令h(x)2xxln2e1(2<x<2e2)，那么h(x)lnx1ln2，当x(2,2e)时，h(x)>0，h(x)为增函数；当x(2e,2e2)时，h(x)<0，h(x)为减函数，因此h(x)maxh(2e)1<0，即f(x)min<0恒成破，因此函数f(x)在区间(0,1)内有两个零点，那么解得a(2e1，2e22e1)，应选A.16.对于给定的正整数k，假定数列an称心ankank1an1an1ank1ank2kan对任意正整数n(n>k)总成破，那么称数列an是“P(k)数列.(1)证明：等差数列an是“P(3)数列；(2)假定数列an既是“P(2)数列，又是“P(3)数列，证明：an是等差数列.证明(1)由于an是等差数列，设其公差为d，那么ana1(n1)d，从而，当n4时，ankanka1(nk1)da1(nk1)d2a12(n1)d2an，k1,2,3，因此an3an2an1an1an2an36an，因此等差数列an是“P(3)数列.(2)数列an既是“P(2)数列，又是“P(3)数列，因此，当n3时，an2an1an1an24an，当n4时，an3an2an1an1an2an36an.由知，an3an24an1(anan1)，an2an34an1(an1an).将代入，得an1an12an，其中n4，因此a3，a4，a5，是等差数列，设其公差为d.在中，取n4，那么a2a3a5a64a4，因此a2a3d，在中，取n3，那么a1a2a4a54a3，因此a1a32d，因此数列an是等差数列.