高考数学(理)一轮复习讲义13.1第1课时 坐标系.docx

§13.1坐标系与参数方程第1课时坐标系最新考纲考情考向分析1.了解坐标系的感染，了解在破体直角坐标系伸缩变卦感染下破体图形的变卦情况.2.了解极坐标的全然不雅念，会在极坐标系中用极坐标描述点的位置，能停顿极坐标跟直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出庞杂图形表示的极坐标方程.会求伸缩变卦，求点的极坐标跟运用直线、圆的极坐标方程是重点，要紧与参数方程相结合停顿调查，以解答题的方法调查，难度中档.1破体直角坐标系设点P(x，y)是破体直角坐标系中的任意一点，在变卦：的感染下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为破体直角坐标系中的坐标伸缩变卦，简称伸缩变卦2极坐标系(1)极坐标与极坐标系的不雅念在破体内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时判定一个长度单位跟打算角度的正倾向(素日取逆时针倾向)，如斯就树破了一个极坐标系点O称为极点，射线Ox称为极轴破体内任一点M的位置可以由线段OM的长度随从射线Ox到射线OM的角度来描述(如以下列图)这两个数形成的有序数对(，)称为点M的极坐标称为点M的极径，称为点M的极角一般认为0.当极角的取值范围是0,2)时，破体上的点(拆除极点)就与极坐标(，)(0)树破逐一对应的关系我们设定，极点的极坐标中，极径0，极角可取任意角(2)极坐标与直角坐标的互化设M为破体内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(，)由图可知下面关系式成破：或，这的确是极坐标与直角坐标的互化公式3稀有曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r(0<2)圆心为(r,0)，半径为r的圆2rcos圆心为，半径为r的圆2rsin(0<)过极点，倾歪角为的直线(R)或(R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线cosa过点，与极轴平行的直线sina(0<<)不雅念方法微思索1破体直角坐标系内的点与坐标能树破逐一对应关系，在极坐标系中点与坐标也能树破逐一对应关系吗？提示不克不迭，极径需跟极角结合才能唯一判定一个点2由极坐标的意思可揣摸破体上点的极坐标唯一吗？提示破体上的点的极坐标不是唯一的，假设限度取正值，0,2)，破体上的点(拆除极点)与极坐标(，)(0)树破逐一对应关系题组一思索辨析1揣摸以下结论是否精确(请在括号中打“或“×)(1)假设点P的直角坐标为(1，)，那么点P的一个极坐标是.()(2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的()(3)极坐标方程(0)表示的曲线是一条直线(×)题组二讲义改编2假设以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴树破极坐标系，那么线段y1x(0x1)的极坐标方程为()A，0B，0Ccossin，0Dcossin，0答案A分析y1x(0x1)，sin1cos(0cos1)；.3在极坐标系中，圆2sin的圆心的极坐标是()A.B.C(1,0)D(1，)答案B分析方法一由2sin，得22sin，化成直角坐标方程为x2y22y，化成标准方程为x2(y1)21，圆心坐标为(0，1)，其对应的极坐标为.方法二由2sin2cos，知圆心的极坐标为，应选B.题组三易错自纠4在极坐标系中，已经清楚点P，那么过点P且平行于极轴的直线方程是()Asin1BsinCcos1Dcos答案A分析先将极坐标化成直角坐标表示，P转化为直角坐标为xcos2cos，ysin2sin1，即(，1)，过点(，1)且平行于x轴的直线为y1，再化为极坐标为sin1.5在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴树破极坐标系假设曲线C的极坐标方程为2sin，那么曲线C的直角坐标方程为答案x2y22y0分析由2sin，得22sin，因此曲线C的直角坐标方程为x2y22y0.6在以O为极点的极坐标系中，圆4sin跟直线sina订交于A，B两点当AOB是等边三角形时，求a的值解由4sin可得圆的直角坐标方程为x2y24y，即x2(y2)24.由sina可得直线的直角坐标方程为ya(a>0)设圆的圆心为O，ya与x2(y2)24的两交点A，B与O形成等边三角形，如以下列图由对称性知OOB30°，ODa.在RtDOB中，易求DBa，B点的坐标为.又B在x2y24y0上，2a24a0，即a24a0，解得a0(舍去)或a3.因此a3.题型一极坐标与直角坐标的互化1(1)化圆的直角坐标方程x2y2r2(r>0)为极坐标方程；(2)化曲线的极坐标方程8sin为直角坐标方程解(1)将xcos，ysin代入x2y2r2(r>0)，得2cos22sin2r2，即r.因此以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程为r(0<2)(2)方法一把，sin代入8sin，得8·，化简得x2y28y0，即x2(y4)216.方法二方程8sin单方同时乘，得28sin，由于2x2y2，siny，因此x2y28y0，即x2(y4)216.2在极坐标系中，已经清楚曲线C1：cossin10，C2：2cos.(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并揣摸两曲线的形状；(2)假设曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离解(1)C1：cossin10，xy10表示一条直线由C2：2cos，得22cos，x2y22x，即(x1)2y21.C2是圆心为(1,0)，半径为1的圆(2)由(1)知，点(1,0)在直线xy10上，直线C1过圆C2的圆心因此两交点A，B的连线是圆C2的直径两交点A，B间的距离|AB|2r2.思维升华(1)极坐标与直角坐标互化的条件早提：极点与原点重合；极轴与x轴的正半轴重合；取一样的单位长度(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较随便，只要运用公式xcos及ysin开门见山代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程那么相对艰辛一些，处置此类征询题常通过变形，构造形如cos，sin，2的方法，停顿全部代换题型二求曲线的极坐标方程例1将圆x2y21上每一点的横坐标保持波动，纵坐标变为原本的2倍，掉掉落曲线C.(1)求曲线C的标准方程；(2)设直线l：2xy20与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴树破极坐标系，求过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程解(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已经清楚变卦下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得由xy1，得x221，即曲线C的标准方程为x21.(2)由解得或不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，那么线段P1P2的中点坐标为，所求直线的歪率为k，因此所求直线的方程为y1，化为极坐标方程，并拾掇得2cos4sin3，故所求直线的极坐标方程为.思维升华求曲线的极坐标方程的步伐(1)树破适当的极坐标系，设P(，)是曲线上任意一点(2)由曲线上的点所适宜的条件，列出曲线上任意一点的极径跟极角之间的关系式(3)将列出的关系式停顿拾掇、化简，得出曲线的极坐标方程跟踪训练1已经清楚极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位一样，圆C的直角坐标方程为x2y22x2y0，直线l的参数方程为(t为参数)，射线OM的极坐标方程为.(1)求圆C跟直线l的极坐标方程；(2)已经清楚射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长解(1)2x2y2，xcos，ysin，圆C的直角坐标方程为x2y22x2y0，22cos2sin0，圆C的极坐标方程为2sin.又直线l的参数方程为(t为参数)，消去t后得yx1，直线l的极坐标方程为sincos.(2)当时，|OP|2sin2，点P的极坐标为，|OQ|，点Q的极坐标为，故线段PQ的长为.题型三极坐标方程的运用例2在破体直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，直线C2的直角坐标方程为yx.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴树破极坐标系(1)求曲线C1跟直线C2的极坐标方程；(2)假设直线C2与曲线C1交于A，B两点，求.解(1)由曲线C1的参数方程为(为参数)，得曲线C1的一般方程为(x2)2(y2)21，那么C1的极坐标方程为24cos4sin70，由于直线C2过原点，且倾歪角为，故其极坐标方程为(R)(2)由得2(22)70，设A，B对应的极径分不为1，2，那么1222，127，.思维升华极坐标运用中的本卷须知(1)极坐标与直角坐标互化的条件早提：极点与原点重合；极轴与x轴正半轴重合；取一样的长度单位(2)假设把直角坐标化为极坐标求极角时，应留心揣摸点P所在的象限(即角的终边的位置)，以便精确地求出角.运用两种坐标的互化，可以把不熟悉的征询题转化为熟悉的征询题(3)由极坐标的意思可知破体上点的极坐标不是唯一的，假设限度取正值，0,2)，破体上的点(拆除极点)与极坐标(，)(0)树破逐一对应关系跟踪训练2(2017·世界)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴树破极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且称心|OM|·|OP|16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大年夜值解(1)设点P的极坐标为(，)(>0)，点M的极坐标为(1，)(1>0)由题意知|OP|，|OM|1.由|OM|·|OP|16，得C2的极坐标方程4cos(>0)因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点B的极坐标为(B，)(B>0)由题设知|OA|2，B4cos，因此OAB的面积S|OA|·B·sinAOB4cos·22.当时，S取得最大年夜值2.因此OAB面积的最大年夜值为2.1在以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已经清楚曲线的极坐标方程为.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，假设|OP|3|OQ|，求直线l的极坐标方程解(1)可化为sin2，siny，曲线的直角坐标方程为x24y4.(2)设直线l的极坐标方程为0(R)，按照题意3·，解得0或0，直线l的极坐标方程为(R)或(R)2已经清楚曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴树破极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4cos.(1)求曲线C1的极坐标方程跟曲线C2的直角坐标方程；(2)假设射线分不与曲线C1，C2交于A，B两点(异于极点)，求|AB|的值解(1)由两式相乘得x2y24.由于因此曲线C1的极坐标方程为2cos22sin24，即2cos24，由于4cos，因此24cos，那么曲线C2的直角坐标方程为x2y24x0.(2)联破得A2，联破得B2，故|AB|BA|22.3极坐标系与直角坐标系xOy有一样的长度单位，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴已经清楚曲线C1的极坐标方程为2sin，曲线C2的极坐标方程为sina(a>0)，射线，与曲线C1分不交异于极点O的四点A，B，C，D.(1)假设曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1跟C2化成直角坐标方程；(2)求|OA|·|OC|OB|·|OD|的值解(1)C1：222sin2cos，化为直角坐标方程为(x1)2(y1)22.把C2的方程化为直角坐标方程为ya，由于曲线C1关于曲线C2对称，故直线ya通过圆心(1,1)，解得a1，故C2的直角坐标方程为y1.(2)由题意可得，|OA|2sin，|OB|2sin2cos，|OC|2sin，|OD|2cos，因此|OA|·|OC|OB|·|OD|8sinsin8coscos8cos8×4.4在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴树破极坐标系，直线的极坐标方程为(sincos).(1)求C的极坐标方程；(2)射线OM：1与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求|OP|·|OQ|的取值范围解(1)圆C的一般方程是(x2)2y24，又xcos，ysin，因此圆C的极坐标方程为4cos.(2)设P(1，1)，那么有14cos1，设Q(2，1)，且直线l的极坐标方程是(sincos)，那么有2，因此|OP|OQ|12，因此2|OP|OQ|3.即|OP|OQ|的取值范围是2,35.如图，在直角坐标系xOy中，曲线C1：(为参数)以O为极点，x轴的正半轴为极轴树破极坐标系，曲线C2的极坐标方程为8cos，直线l的极坐标方程为(R)(1)求曲线C1的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；(2)假设直线l与C1，C2在第一象限分不交于A，B两点，P为C2上的动点，求PAB面积的最大年夜值解(1)依题意得，曲线C1的一般方程为(x2)2y27，曲线C1的极坐标方程为24cos30，直线l的直角坐标方程为yx.(2)曲线C2的直角坐标方程为(x4)2y216，设A，B，那么41cos30，即2130，得13或11(舍)，28cos4，那么|AB|21|1，C2(4,0)到l的距离为d2，以AB为底边的PAB的高的最大年夜值为42，那么PAB的面积的最大年夜值为×1×(42)2.6在破体直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(a>b>0，为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上，且通过极点的圆已经清楚曲线C1上的点M对应的参数，射线与曲线C2交于点D.(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程；(2)假设点A，B为曲线C1上的两个点且OAOB，求的值解(1)将M及对应的参数，代入得即因此曲线C1的方程为为参数，因此曲线C1的直角坐标方程为y21.设圆C2的半径为R，由题意，圆C2的极坐标方程为2Rcos(或(xR)2y2R2)，将点D代入2Rcos，得12Rcos，即R1，因此曲线C2的极坐标方程为2cos，因此曲线C2的直角坐标方程为(x1)2y21.(2)设A(1，)，B在曲线C1上，因此sin21，cos21，因此.