高考数学(理)一轮复习讲义高考专题突破1 第1课时导数与不等式.docx

高考专题攻破一高考中的导数运用征询题第1课时导数与不等式题型一证明不等式例1已经清楚函数f(x)1，g(x)xlnx.(1)证明：g(x)1；(2)证明：(xlnx)f(x)>1.证明(1)由题意得g(x)(x>0)，当0<x<1时，g(x)<0.当x>1时，g(x)>0，即g(x)在(0,1)上为减函数，在(1，)上为增函数因而g(x)g(1)1，得证(2)由f(x)1，得f(x)，因而当0<x<2时，f(x)<0，当x>2时，f(x)>0，即f(x)在(0,2)上为减函数，在(2，)上为增函数，因而f(x)f(2)1(当且仅当x2时取等号)又由(1)知xlnx1(当且仅当x1时取等号)，且等号差异时取得，因而(xlnx)f(x)>1.思想升华(1)证明f(x)>g(x)的一般方法是证明h(x)f(x)g(x)>0(运用单调性)，特不情况是证明f(x)min>g(x)max(最值方法)，但后一种方法不存在普遍性(2)证明二元不等式的全然思想是化为一元不等式，一种方法为变卦不等式使两个变元成为一个全部，另一种方法为转化后运用函数的单调性，如不等式f(x1)g(x1)<f(x2)g(x2)对x1<x2恒成破，即等价于函数h(x)f(x)g(x)为增函数跟踪训练1已经清楚函数f(x)xlnxex1.(1)求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)证明：f(x)<sinx在(0，)上恒成破(1)解依题意得f(x)lnx1ex，又f(1)1e，f(1)1e，故所求切线方程为y1e(1e)(x1)，即y(1e)x.(2)证明依题意，要证f(x)<sinx，即证xlnxex1<sinx，即证xlnx<exsinx1.当0<x1时，exsinx1>0，xlnx0，故xlnx<exsinx1，即f(x)<sinx.当x>1时，令g(x)exsinx1xlnx，故g(x)excosxlnx1.令h(x)g(x)excosxlnx1，那么h(x)exsinx，当x>1时，ex>e1>1，因而h(x)exsinx>0，故h(x)在(1，)上单调递增故h(x)>h(1)ecos11>0，即g(x)>0，因而g(x)在(1，)上单调递增，因而g(x)>g(1)esin11>0，即xlnx<exsinx1，即f(x)<sinx.综上所述，f(x)<sinx在(0，)上恒成破题型二不等式恒成破或有解征询题例2(2018·大年夜连模拟)已经清楚函数f(x).(1)假设函数f(x)在区间上存在极值，求正实数a的取值范围；(2)假设当x1时，不等式f(x)恒成破，务虚数k的取值范围解(1)函数的定义域为(0，)，f(x)，令f(x)0，得x1.当x(0,1)时，f(x)>0，f(x)单调递增；当x(1，)时，f(x)<0，f(x)单调递减因而x1为函数f(x)的极大年夜值点，且是唯一极值点，因而0<a<1<a，故<a<1，即实数a的取值范围为.(2)当x1时，k恒成破，令g(x)(x1)，那么g(x).再令h(x)xlnx(x1)，那么h(x)10，因而h(x)h(1)1，因而g(x)>0，因而g(x)为单调增函数，因而g(x)g(1)2，故k2，即实数k的取值范围是(，2引申探究本例(2)中假设改为：x1，e，使不等式f(x)成破，务虚数k的取值范围解当x1，e时，k有解，令g(x)(x1，e)，由例(2)解题知，g(x)为单调增函数，因而g(x)maxg(e)2，因而k2，即实数k的取值范围是.思想升华运用导数处置不等式的恒成破征询题的策略(1)起重要构造函数，运用导数求出最值，求出参数的取值范围(2)也可不离变量，构造函数，开门见山把征询题转化为函数的最值征询题跟踪训练2(2018·沈阳模拟)已经清楚函数f(x)ex1xax2.(1)当a0时，求证：f(x)0；(2)当x0时，假设不等式f(x)0恒成破，务虚数a的取值范围(1)证明当a0时，f(x)ex1x，f(x)ex1.当x(，0)时，f(x)<0；当x(0，)时，f(x)>0.故f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，f(x)minf(0)0，f(x)0.(2)解f(x)ex12ax，令h(x)ex12ax，那么h(x)ex2a.当2a1，即a时，在0，)上，h(x)0，h(x)单调递增，h(x)h(0)，即f(x)f(0)0，f(x)在0，)上为增函数，f(x)f(0)0，当a时称心条件当2a>1，即a>时，令h(x)0，解得xln(2a)，在0，ln(2a)上，h(x)<0，h(x)单调递减，当x(0，ln(2a)时，有h(x)<h(0)0，即f(x)<f(0)0，f(x)在区间(0，ln(2a)上为减函数，f(x)<f(0)0，不合题意综上，实数a的取值范围为.1已经清楚函数f(x)lnxx，g(x)x·ex1，求证f(x)g(x)证明令F(x)f(x)g(x)lnxxxex1(x>0)，那么F(x)1exxex(x1)ex(x1).令G(x)ex，可知G(x)在(0，)上为减函数，且G2>0，G(1)1e<0，存在x0，使得G(x0)0，即0.当x(0，x0)时，G(x)>0，F(x)>0，F(x)为增函数；当x(x0，)时，G(x)<0，F(x)<0，F(x)为减函数F(x)F(x0)lnx0x01，又0，即lnx0x0，F(x0)0，即F(x)0，f(x)g(x)2(2018·营口模拟)已经清楚函数f(x)ax2bxxlnx的图象在(1，f(1)处的切线方程为3xy20.(1)务虚数a，b的值；(2)设g(x)x2x，假设kZ，且k(x2)<f(x)g(x)对任意的x>2恒成破，求k的最大年夜值解(1)f(x)2axb1lnx，因而2ab13且ab1，解得a1，b0.(2)由(1)与题意知k<对任意的x>2恒成破，设h(x)(x>2)，那么h(x)，令m(x)x42lnx(x>2)，那么m(x)1>0，因而函数m(x)为(2，)上的增函数因为m(8)42ln8<42lne2440，m(10)62ln10>62lne3660，因而函数m(x)在(8,10)上有唯一零点x0，即有x042lnx00成破，故当2<x<x0时，m(x)<0，即h(x)<0；当x>x0时，m(x)>0，即h(x)>0，因而函数h(x)在(2，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，因而h(x)minh(x0)，因而k<，因为x0(8,10)，因而(4,5)，又kZ，因而k的最大年夜值为4.3已经清楚函数f(x)axex(aR)，g(x).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)x(0，)，使不等式f(x)g(x)ex成破，求a的取值范围解(1)因为f(x)aex，xR.当a0时，f(x)<0，f(x)在R上单调递减；当a>0时，令f(x)0，得xlna.由f(x)>0，得f(x)的单调递增区间为(，lna)；由f(x)<0，得f(x)的单调递减区间为(lna，)综上所述，当a0时，f(x)的单调递减区间为(，)，无单调递增区间；当a>0时，f(x)的单调递增区间为(，lna)，单调递减区间为(lna，)(2)因为x(0，)，使不等式f(x)g(x)ex，那么ax，即a.设h(x)，那么征询题转化为amax，由h(x)，令h(x)0，得x.当x在区间(0，)内变卦时，h(x)，h(x)随x变卦的变卦情况如下表：x(0，)(，)h(x)0h(x)极大年夜值由上表可知，当x时，函数h(x)有极大年夜值，即最大年夜值为，因而a.故a的取值范围是.4设函数f(x)ax2xlnx(2a1)xa1(aR)假设对任意的x1，)，f(x)0恒成破，务虚数a的取值范围解f(x)2ax1lnx(2a1)2a(x1)lnx(x>0)，易知当x(0，)时，lnxx1，那么f(x)2a(x1)(x1)(2a1)(x1)当2a10，即a时，由x1，)得f(x)0恒成破，f(x)在1，)上单调递增，f(x)f(1)0，符合题意当a0时，由x1，)得f(x)0恒成破，f(x)在1，)上单调递减，f(x)f(1)0，显然不合题意，a0舍去当0<a<时，由lnxx1，得ln1，即lnx1，那么f(x)2a(x1)(2ax1)，0<a<，>1.当x时，f(x)0恒成破，f(x)在上单调递减，当x时，f(x)f(1)0，显然不合题意，0<a<舍去综上可得，a.5已经清楚函数f(x)lnxax1(aR)设g(x)x22bx4，当a时，假设x1(0,2)，总存在x21,2，使f(x1)g(x2)，务虚数b的取值范围解依题意知f(x)在(0,2)上的最小值不小于g(x)在1,2上的最小值，即f(x)ming(x)min.当a时，f(x)lnxx1，因而f(x)，那么当0<x<1时，f(x)<0，当1<x<2时，f(x)>0，因而当x(0,2)时，f(x)minf(1).又g(x)x22bx4，当b<1时，可求得g(x)ming(1)52b，那么52b，解得b，这与b<1冲突；当1b2时，可求得g(x)ming(b)4b2，那么4b2，得b2，这与1b2冲突；当b>2时，可求得g(x)ming(2)84b，由84b，得b.综合得实数b的取值范围是.6已经清楚函数f(x)为偶函数，当x0时，f(x)2ex，假设存在实数m，对任意的x1，k(k>1)，都有f(xm)2ex，求整数k的最小值解因为f(x)为偶函数，且当x0时，f(x)2ex，因而f(x)2e|x|，对于x1，k，由f(xm)2ex得2e|xm|2ex，单方取以e为底的对数得|xm|lnx1，因而xlnx1mxlnx1在1，k上恒成破，设g(x)xlnx1(x1，k)，那么g(x)10，因而g(x)在1，k上单调递减，因而g(x)ming(k)klnk1，设h(x)xlnx1(x1，k)，易知h(x)在1，k上单调递减，因而h(x)maxh(1)2，故2mklnk1，假设实数m存在，那么必有klnk3，又k>1，且k为整数，因而k2称心恳求，故整数k的最小值为2.