高考数学(理)一轮复习讲义9.4　直线与圆、圆与圆的位置关系.docx

§9.4直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲考情考向分析1.能按照给定直线、圆的方程，揣摸直线与圆的位置关系；能按照给定两个圆的方程揣摸两圆的位置关系2.能用直线跟圆的方程处理一些庞杂的征询题3.末尾了解用代数方法处理几多何征询题的思想.调查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的揣摸；按照位置关系求参数的范围、最值、几多何量的大小等题型要紧以选择、填空题为主，恳求绝对较低，但内容特不要紧，偶尔也会在解答题中出现.1揣摸直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几多何法：使用圆心到直线的距离d跟圆的半径r的大小关系d<r订交；dr相切；d>r相离(2)代数法：2圆与圆的位置关系设圆O1：(xa1)2(yb1)2r(r1>0)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r2>0).方法位置关系几多何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：联破两圆方程形成方程组的解的情况外离d>r1r2无解外切dr1r2一组实数解订交|r1r2|<d<r1r2两组差异的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d<|r1r2|(r1r2)无解不雅观点方法微思索1在求过肯定点的圆的切线方程时，应留心什么？提示应起首揣摸这点与圆的位置关系，假设点在圆上那么该点为切点，切线只需一条；假设点在圆外，切线应有两条；假设点在圆内，切线为零条2用两圆的方程形成的方程组有一解或无解时能否精确判定两圆的位置关系？提示不克不迭，当两圆方程形成的方程组有一解时，两圆有外切跟内切两种可以情况，当方程组无解时，两圆有相离跟内含两种可以情况题组一思索辨析1揣摸以下结论能否精确(请在括号中打“或“×)(1)假设两圆的圆心距小于两圆的半径之跟，那么两圆订交(×)(2)从两圆的方程中消灭落二次项后掉丢掉的二元一次方程是两圆的大年夜众弦所在的直线方程(×)(3)过圆O：x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0xy0yr2.()(4)过圆O：x2y2r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分不为A，B，那么O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0xy0yr2.()(5)假设直线与圆形成的方程组有解，那么直线与圆订交或相切()题组二讲义改编2假设直线xy10与圆(xa)2y22有大年夜众点，那么实数a的取值范围是()A3，1B1,3C3,1D(，31，)答案C分析由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，即|a1|2，解得3a1.3圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()A内切B订交C外切D相离答案B分析两圆圆心分不为(2,0)，(2,1)，半径分不为2跟3，圆心距d.32<d<32，两圆订交4圆x2y240与圆x2y24x4y120的大年夜众弦长为_答案2分析由得两圆大年夜众弦所在直线为xy20.又圆x2y24的圆心到直线xy20的距离为.由勾股定理得弦长的一半为，因此所求弦长为2.题组三易错自纠5假设直线l：xym0与圆C：x2y24x2y10恒有大年夜众点，那么m的取值范围是()A，B2，2C1，1D21,21答案D分析圆C的标准方程为(x2)2(y1)24，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线的距离d，假设直线与圆恒有大年夜众点，那么2，解得21m21，应选D.6(2018·鄂尔多斯模拟)设圆C1，C2都跟两坐标轴相切，且都过点(4,1)，那么两圆心的距离|C1C2|等于()A4B4C8D8答案C分析因为圆C1，C2跟两坐标轴相切，且都过点(4,1)，因此两圆都在第一象限内，设圆心坐标为(a，a)，那么|a|，解得a52或a52，可取C1(52，52)，C2(52，52)，故|C1C2|8，应选C.7过点A(3,5)作圆O：x2y22x4y10的切线，那么切线的方程为_答案5x12y450或x30分析化圆x2y22x4y10为标准方程得(x1)2(y2)24，其圆心为(1,2)，|OA|>2，点A(3,5)在圆外显然，当切线歪率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x30，当切线歪率存在时，可设所求切线方程为y5k(x3)，即kxy53k0.又圆心为(1，2)，半径r2，而圆心到切线的距离d2，即|32k|2，k，故所求切线方程为5x12y450或x30.题型一直线与圆的位置关系命题点1位置关系的揣摸例1(2018·本溪模拟)在ABC中，假设asinAbsinBcsinC0，那么圆C：x2y21与直线l：axbyc0的位置关系是()A相切B订交C相离D不判定答案A分析因为asinAbsinBcsinC0，因此由正弦定理得a2b2c20.故圆心C(0,0)到直线l：axbyc0的距离d1r，故圆C：x2y21与直线l：axbyc0相切，应选A.命题点2弦长征询题例2假设a2b22c2(c0)，那么直线axbyc0被圆x2y21所截得的弦长为()A.B1C.D.答案D分析因为圆心(0,0)到直线axbyc0的距离d，因此按照直角三角形的关系，弦长的一半就等于，因此弦长为.命题点3切线征询题例3已经清楚圆C：(x1)2(y2)210，求称心以下条件的圆的切线方程(1)与直线l1：xy40平行；(2)与直线l2：x2y40垂直；(3)过切点A(4，1)解(1)设切线方程为xyb0，那么，b1±2，切线方程为xy1±20.(2)设切线方程为2xym0，那么，m±5，切线方程为2xy±50.(3)kAC，过切点A(4，1)的切线歪率为3，过切点A(4，1)的切线方程为y13(x4)，即3xy110.思想升华(1)揣摸直线与圆的位置关系的稀有方法几多何法：使用d与r的关系代数法：联破方程之后使用揣摸点与圆的位置关系法：假设直线恒过定点且定点在圆内，可揣摸直线与圆订交上述方法中最常用的是几多何法，点与圆的位置关系法有用于动直线征询题(2)处理直线与圆的弦长征询题时多用几多何法，即弦长的一半、弦心距、半径形成直角三角形(3)圆的切线征询题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而树破关系处理征询题跟踪训练1(1)圆x2y22x4y0与直线2txy22t0(tR)的位置关系为_答案订交分析直线2txy22t0恒过点(1，2)，12(2)22×14×(2)5<0，点(1，2)在圆x2y22x4y0内，直线2txy22t0与圆x2y22x4y0订交(2)过点(3,1)作圆(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的长为_答案2分析设P(3,1)，圆心C(2,2)，那么|PC|，半径r2，由题意知最短的弦过P(3,1)且与PC垂直，因此最短弦长为22.(3)过点P(2,4)引圆(x1)2(y1)21的切线，那么切线方程为_答案x2或4x3y40分析当直线的歪率不存在时，直线方程为x2，现在，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的歪率存在时，设直线方程为y4k(x2)，即kxy42k0，直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即d1，解得k，所求切线方程为xy42×0，即4x3y40.综上，切线方程为x2或4x3y40.题型二圆与圆的位置关系命题点1位置关系的揣摸例4分不求当实数k为何值时，两圆C1：x2y24x6y120，C2：x2y22x14yk0订交跟相切解将两圆的一般方程化为标准方程，得C1：(x2)2(y3)21，C2：(x1)2(y7)250k，那么圆C1的圆心为C1(2,3)，半径r11；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2，k<50.从而|C1C2|5.当|1|<5<1，即4<<6，即14<k<34时，两圆订交当15，即k34时，两圆外切；当|1|5，即k14时，两圆内切因此当k14或k34时，两圆相切命题点2大年夜众弦征询题例5已经清楚圆C1：x2y22x6y10跟C2：x2y210x12y450.(1)求证：圆C1跟圆C2订交；(2)求圆C1跟圆C2的大年夜众弦所在直线的方程跟大年夜众弦长(1)证明由题意得，圆C1跟圆C2一般方程化为标准方程，得(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)216，那么圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1，圆C2的圆心C2(5,6)，半径r24，两圆圆心距d|C1C2|5，r1r24，|r1r2|4，|r1r2|<d<r1r2，圆C1跟C2订交(2)解圆C1跟圆C2的方程相减，得4x3y230，两圆的大年夜众弦所在直线的方程为4x3y230.圆心C2(5,6)到直线4x3y230的距离d3，故大年夜众弦长为22.思想升华(1)揣摸两圆位置关系的方法常用几多何法，即用两圆圆心距与两圆半径跟及差的绝对值的大小关系揣摸，一般不用代数法重视两圆内切的情况，作图不雅观看(2)两圆订交时，大年夜众弦所在直线方程的求法两圆的大年夜众弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项掉丢掉(3)两圆大年夜众弦长的求法求两圆大年夜众弦长，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长，半径r形成直角三角形，使用勾股定理求解跟踪训练2(1)(2016·山东)已经清楚圆M：x2y22ay0(a>0)截直线xy0所得线段的长度是2，那么圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切B订交C外切D相离答案B分析圆M：x2(ya)2a2(a>0)，圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，圆心M到直线xy0的距离d，由几多何知识得2()2a2，解得a2.M(0,2)，r12.又圆N的圆心坐标N(1,1)，半径r21，|MN|，r1r23，r1r21.r1r2<|MN|<r1r2，两圆订交，应选B.(2)圆x2y24x4y10与圆x2y22x130订交于P，Q两点，那么直线PQ的方程为_答案x2y60分析两个圆的方程中间相减，可得2x4y120.即x2y60.1假设两圆x2y2m跟x2y26x8y110有大年夜众点，那么实数m的取值范围是()A(，1)B(121，)C1,121D(1,121)答案C分析x2y26x8y110化成标准方程为(x3)2(y4)236.圆心距为d5，假设两圆有大年夜众点，那么|6|56，因此1m121.应选C.2(2018·沈阳调研)直线x3y30与圆(x1)2(y3)210订交所得弦长为()A.B.C4D3答案A分析圆(x1)2(y3)210的圆心坐标为(1,3)，半径r，圆心(1,3)到直线x3y30的距离d，故弦|AB|2，应选A.3已经清楚点P(a，b)(ab0)是圆x2y2r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，直线l的方程为axbyr2，那么()Aml，且l与圆订交Bml，且l与圆相切Cml，且l与圆相离Dml，且l与圆相离答案C分析点P(a，b)(ab0)在圆内，a2b2<r2.圆x2y2r2的圆心为O(0,0)，故由题意得OPm，又kOP，km，直线l的歪率为klkm，圆心O到直线l的距离d>r，ml，l与圆相离应选C.4(2018·包头模拟)过点P(1，2)作圆C：(x1)2y21的两条切线，切点分不为A，B，那么AB所在直线的方程为()AyByCyDy答案B分析圆(x1)2y21的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC|2为直径的圆的方程为(x1)2(y1)21，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y10，即y.5假设点A(1,0)跟点B(4,0)到直线l的距离依次为1跟2，那么如斯的直线有()A1条B2条C3条D4条答案C分析如图，分不以A，B为圆心，1,2为半径作圆由题意得，直线l是圆A的切线，A到l的距离为1，直线l也是圆B的切线，B到l的距离为2，因此直线l是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)6已经清楚点A，B，C在圆x2y21上运动，且ABBC.假设点P的坐标为(2,0)，那么|的最大年夜值为()A6B7C8D9答案B分析A，B，C在圆x2y21上，且ABBC，AC为圆的直径，故2(4,0)，设B(x，y)，那么x2y21且x1,1，(x2，y)，(x6，y)故|，当x1时有最大年夜值7，应选B.7(2016·世界)已经清楚直线l：xy60与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分不作l的垂线与x轴交于C，D两点，那么|CD|_.答案4分析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y23y60，解得x13，y1；x20，y22，A(3，)，B(0,2)过A，B作l的垂线方程分不为y(x3)，y2x，令y0，那么xC2，xD2，|CD|2(2)4.8过点P(1，)作圆x2y21的两条切线，切点分不为A，B，那么·_.答案分析由题意，得圆心为O(0,0)，半径为1.如以下列图，P(1，)，PBx轴，|PA|PB|.POA为直角三角形，其中|OA|1，|AP|，那么|OP|2，OPA30°，APB60°.·|·cosAPB××cos60°.9(2018·衡阳质检)已经清楚圆E：x2y22x0，假设A为直线l：xym0上的点，过点A可作两条直线与圆E分不切于点B，C，且ABC为等边三角形，那么实数m的取值范围是_答案21,21分析设圆E的圆心为E，半径为r，圆E：x2y22x0，即(x1)2y21，那么圆心E(1,0)，半径r为1，由题意知直线l上存在点A，使得sin30°，即|AE|2r.又因为|AE|d(d为圆心到直线l的距离)，故要使点A存在，只需d2r2，可得2，解得m21,2110已经清楚圆C1：x2y22aya240跟圆C2：x2y22bx1b20外切，假设aR，bR且ab0，那么的最小值为_答案分析x2y22aya240，即x2(ya)24，x2y22bx1b20，即(xb)2y21.依题意可得213，即a2b29，故1.因此，当且仅当a±b时取等号11已经清楚圆C：x2y22x4y10，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.(1)假设点P运动到(1,3)处，求现在切线l的方程；(2)求称心条件|PM|PO|的点P的轨迹方程解把圆C的方程化为标准方程为(x1)2(y2)24，圆心为C(1,2)，半径r2.(1)当l的歪率不存在时，现在l的方程为x1，C到l的距离d2r，称心条件当l的歪率存在时，设歪率为k，得l的方程为y3k(x1)，即kxy3k0，那么2，解得k.l的方程为y3(x1)，即3x4y150.综上，称心条件的切线l的方程为x1或3x4y150.(2)设P(x，y)，那么|PM|2|PC|2|MC|2(x1)2(y2)24，|PO|2x2y2，|PM|PO|，(x1)2(y2)24x2y2，拾掇，得2x4y10，点P的轨迹方程为2x4y10.12.如图，在破体直角坐标系xOy中，已经清楚以M为圆心的圆M：x2y212x14y600及其上一点A(2,4)(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M订交于B，C两点，且|BC|OA|，求直线l的方程；(3)设点T(t,0)称心：存在圆M上的两点P跟Q，使得，务虚数t的取值范围解(1)圆M的方程化为标准方法为(x6)2(y7)225，圆心M(6,7)，半径r5，由题意，设圆N的方程为(x6)2(yb)2b2(b>0)且b5.解得b1，圆N的标准方程为(x6)2(y1)21.(2)kOA2，可设l的方程为y2xm，即2xym0.又|BC|OA|2.由题意，圆M的圆心M(6,7)到直线l的距离为d2.即2，解得m5或m15.直线l的方程为y2x5或y2x15.(3)由，那么四边形AQPT为平行四边形，又P，Q为圆M上的两点，|PQ|2r10.|TA|PQ|10，即10，解得22t22.故所求t的取值范围为22，2213(2018·呼伦贝尔质检)已经清楚直线l：(m2)x(m1)y44m0上总存在点M，使得过M点作的圆C：x2y22x4y30的两条切线互相垂直，那么实数m的取值范围是()Am1或m2B2m8C2m10Dm2或m8答案C分析如图，设切点分不为A，B.连接AC，BC，MC，由AMBMACMBC90°及|MA|MB|知，四边形MACB为正方形，故|MC|2，假设直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心(1,2)到直线l的距离d2，即m28m200，2m10，应选C.14假设O：x2y25与O1：(xm)2y220(mR)订交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，那么线段AB的长是_答案4分析O1与O在A处的切线互相垂直，如图，可知两切线分只是另一圆的圆心，O1AOA.又|OA|，|O1A|2，|OO1|5.又A，B关于OO1所在直线对称，AB长为RtOAO1歪边上的高的2倍，|AB|2×4.15已经清楚圆O：x2y29，点P为直线x2y90上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A，B为切点，那么直线AB过定点()A.B.C(1,2)D(9,0)答案C分析因为P是直线x2y90上的任一点，因此设P(92m，m)，因为PA，PB为圆x2y29的两条切线，切点分不为A，B，因此OAPA，OBPB，那么点A，B在以OP为直径的圆(记为圆C)上，即AB是圆O跟圆C的大年夜众弦，易知圆C的方程是22，又x2y29，得，(2m9)xmy90，即大年夜众弦AB所在直线的方程是(2m9)xmy90，即m(2xy)(9x9)0，由得x1，y2.因此直线AB恒过定点(1,2)，应选C.16已经清楚抛物线C：y24x的中心为F，过点F且歪率为1的直线与抛物线C交于点A，B，以线段AB为直径的圆E上存在点P，Q，使得以PQ为直径的圆过点D，务虚数t的取值范围解由题意可得直线AB的方程为xy1，与y24x联破消去x，可得y24y40，显然1616>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么y1y24，y1y24，设E(xE，yE)，那么yE2，xEyE13，又|AB|x1x22y11y2128，因此圆E是以(3,2)为圆心，4为半径的圆，因此点D恒在圆E外圆E上存在点P，Q，使得以PQ为直径的圆过点D，即圆E上存在点P，Q，使得DPDQ，设过D点的两直线分不切圆E于P，Q点，要称心题意，那么PDQ，因此，拾掇得t24t0，解得2t2，故实数t的取值范围为.