高考数学(理)一轮复习讲义高考专题突破1 第2课时 导数与方程.docx

第2课时导数与方程题型一求函数零点个数例1(2018·乌海模拟)已经清楚函数f(x)2a2lnxx2(a>0)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)讨论函数f(x)在区间(1，e2)上零点的个数(e为自然对数的底数)解(1)f(x)2a2lnxx2，f(x)2x，x>0，a>0，当0<x<a时，f(x)>0，当x>a时，f(x)<0.f(x)的单调递增区间是(0，a)，单调递减区间是(a，)(2)由(1)得f(x)maxf(a)a2(2lna1)讨论函数f(x)的零点情况如下：当a2(2lna1)<0，即0<a<时，函数f(x)无零点，在(1，e2)上无零点；当a2(2lna1)0，即a时，函数f(x)在(0，)内有唯一零点a，而1<a<e2，f(x)在(1，e2)内有一个零点；当a2(2lna1)>0，即a>时，由于f(1)1<0，f(a)a2(2lna1)>0，f(e2)2a2ln(e2)e44a2e4(2ae2)(2ae2)，当2ae2<0，即<a<时，1<<a<<e2，f(e2)<0，由函数f(x)的单调性可知，函数f(x)在(1，a)内有唯一零点x1，在(a，e2)内有唯一零点x2，f(x)在(1，e2)内有两个零点当2ae20，即a>时，f(e2)0，同时f()2a2·ea2e>0，f(1)1<0，由函数的单调性可知，不论ae2，仍然a<e2，f(x)在(1，)内有唯一的零点，在(，e2)内不零点，从而f(x)在(1，e2)内只需一个零点综上所述，当0<a<时，函数f(x)在区间(1，e2)上无零点；当a或a时，函数f(x)在区间(1，e2)上有一个零点；当<a<时，函数f(x)在区间(1，e2)上有两个零点思想升华(1)可以通过构造函数，将两曲线的交点征询题转化为函数零点征询题(2)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大年夜值、最小值、变卦趋势等，并借助函数的大年夜抵图象揣摸方程根的情况跟踪训练1设函数f(x)lnx，mR.(1)当me(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)f(x)的零点的个数解(1)由题设，当me时，f(x)lnx，那么f(x)(x>0)，由f(x)0，得xe.当x(0，e)时，f(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减，当x(e，)时，f(x)>0，f(x)在(e，)上单调递增，当xe时，f(x)取得极小值f(e)lne2，f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)f(x)(x>0)，令g(x)0，得mx3x(x>0)设(x)x3x(x0)，那么(x)x21(x1)(x1)，当x(0,1)时，(x)>0，(x)在(0,1)上单调递增；当x(1，)时，(x)<0，(x)在(1，)上单调递减x1是(x)的唯一极值点，且是极大年夜值点，因此x1也是(x)的最大年夜值点，(x)的最大年夜值为(1).又(0)0，结合y(x)的图象(如图)，可知当m>时，函数g(x)无零点；当m时，函数g(x)有且只需一个零点；当0<m<时，函数g(x)有两个零点；当m0时，函数g(x)有且只需一个零点综上所述，当m>时，函数g(x)无零点；当m或m0时，函数g(x)有且只需一个零点；当0<m<时，函数g(x)有两个零点题型二按照函数零点情况求参数范围例2(2018·世界)已经清楚函数f(x)xalnx.(1)讨论f(x)的单调性；(2)假设f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：<a2.(1)解f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.假设a2，那么f(x)0，当且仅当a2，x1时，f(x)0，因此f(x)在(0，)上单调递减假设a>2，令f(x)0，得x或x.当x时，f(x)<0；当x时，f(x)>0.因此f(x)在，上单调递减，在上单调递增(2)证明由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.由于f(x)的两个极值点x1，x2称心x2ax10，因此x1x21，不妨设x1<x2，那么x2>1.由于1a2a2a，因此<a2等价于x22lnx2<0.设函数g(x)x2lnx，由(1)知，g(x)在(0，)上单调递减又g(1)0，从而当x(1，)时，g(x)<0.因此x22lnx2<0，即<a2.思想升华函数的零点个数可转化为函数图象的交点个数，判定参数范围时要按照函数的性质画出大年夜抵图象，充分使用导数货色跟数形结合思想跟踪训练2已经清楚函数f(x)xlnx，g(x)x2ax3(a为实数)，假设方程g(x)2f(x)在区间上有两个不等实根，务虚数a的取值范围解由g(x)2f(x)，可得2xlnxx2ax3，ax2lnx，设h(x)x2lnx(x>0)，因此h(x)1.因此x在上变卦时，h(x)，h(x)的变卦情况如下：x1(1，e)h(x)0h(x)极小值又h3e2，h(1)4，h(e)e2.且h(e)h42e<0.因此h(x)minh(1)4，h(x)maxh3e2，因此实数a的取值范围为4<ae2，即a的取值范围为.1已经清楚函数f(x)a·lnx(aR)，试求f(x)的零点个数解f(x)()lnx·，令f(x)>0，解得x>e2，令f(x)<0，解得0<x<e2，因此f(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，)上单调递增f(x)minf(e2)a，显然当a>时，f(x)min>0，f(x)无零点，当a时，f(x)min0，f(x)有1个零点，当a<时，f(x)min<0，f(x)有2个零点2已经清楚f(x)3，F(x)lnx3x2.(1)揣摸f(x)在(0，)上的单调性；(2)揣摸函数F(x)在(0，)上零点的个数解(1)f(x)，令f(x)>0，解得x>1，令f(x)<0，解得0<x<1，因此f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增(2)F(x)f(x)3，由(1)得x1，x2，称心0<x1<1<x2，使得f(x)在(0，x1)上大年夜于0，在(x1，x2)上小于0，在(x2，)上大年夜于0，即F(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，)上单调递增，而F(1)0，x0时，F(x)，x时，F(x)，画出函数F(x)的草图，如以下列图故F(x)在(0，)上的零点有3个3已经清楚函数f(x)ax2(aR)，g(x)2lnx，且方程f(x)g(x)在区间，e上有两个不相当的解，求a的取值范围解由已经清楚可得方程a在区间，e上有两个不等解，令(x)，由(x)易知，(x)在(，)上为增函数，在(，e)上为减函数，那么(x)max()，由于(e)，()，(e)()<<0，因此(e)<()因此(x)min(e)，如图可知(x)a有两个不相当的解时，需a<.即f(x)g(x)在，e上有两个不相当的解时，a的取值范围为.4已经清楚函数f(x)x22exm1，g(x)x(x>0)(1)假设g(x)m有零点，求m的取值范围；(2)判定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根解(1)g(x)x22e(x>0)，当且仅当x时取等号，当xe时，g(x)有最小值2e.要使g(x)m有零点，只需m2e.即当m2e，)时，g(x)m有零点(2)假设g(x)f(x)0有两个相异实根，那么函数g(x)与f(x)的图象有两个差异的交点如图，作出函数g(x)x(x>0)的大年夜抵图象f(x)x22exm1(xe)2m1e2，其对称轴为xe，f(x)maxm1e2.假设函数f(x)与g(x)的图象有两个交点，那么m1e2>2e，即当m>e22e1时，g(x)f(x)0有两个相异实根m的取值范围是(e22e1，)5已经清楚函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点(1)求a的取值范围；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1x2<2.(1)解f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a)设a0，那么f(x)(x2)ex，f(x)只需一个零点设a>0，那么当x(，1)时，f(x)<0；当x(1，)时，f(x)>0，因此f(x)在(，1)内单调递减，在(1，)内单调递增又f(1)e，f(2)a，取b称心b<0且b<ln，那么f(b)>(b2)a(b1)2a>0，故f(x)存在两个零点设a<0，由f(x)0得x1或xln(2a)假设a，那么ln(2a)1，故当x(1，)时，f(x)>0，因此f(x)在(1，)内单调递增又当x1时，f(x)<0，因此f(x)不存在两个零点假设a<，那么ln(2a)>1，故当x(1，ln(2a)时，f(x)<0；当x(ln(2a)，)时，f(x)>0.因此f(x)在(1，ln(2a)内单调递减，在(ln(2a)，)内单调递增又当x1时，f(x)<0，因此f(x)不存在两个零点综上，a的取值范围为(0，)(2)证明不妨设x1<x2，由(1)知，x1(，1)，x2(1，)，2x2(，1)，f(x)在(，1)内单调递减，因此x1x2<2等价于f(x1)>f(2x2)，即f(2x2)<0.由于f(2x2)a(x21)2，而f(x2)(x22)a(x21)20，因此f(2x2)设g(x)xe2x(x2)ex，那么g(x)(x1)(e2xex)因此当x>1时，g(x)<0.而g(1)0，故当x>1时，g(x)<0.从而g(x2)f(2x2)<0，故x1x2<2.6已经清楚函数f(x)(3a)x2lnxa3在上无零点，务虚数a的取值范围解当x从0的右侧趋近于0时，f(x)，因此f(x)<0在上恒成破不可以故要使f(x)在上无零点，只需对任意的x，f(x)>0恒成破，即只需当x时，a>3恒成破令h(x)3，x，那么h(x)，再令m(x)2lnx2，x，那么m(x)<0，因此在上，m(x)为减函数，故m(x)>m64ln2>0，因此h(x)>0在上恒成破，因此h(x)在上为增函数，因此h(x)<h在上恒成破又h3ln2，因此a3ln2，故实数a的取值范围是.