2021年初中数学知识点整理表格版.pdf
初 中 数 学 教 材 知 识 梳 理 系 统 复 习第一单元数与式第 1 讲实 数知识点一：实数的概念及分类关键点拨及对应举例1.实数（1）按定义分（2）按正、负性分正有理数有理数 0 有限小数或正实数负有理数无限循环小数实数 0实数正无理数负实数无理 数无限 不循环 小数负无理数（1）0 既不属于正数，也不属于负数.（2）无理数的几种常见形式判断：含的式子；（每两个1 之间多个 0）就是一个无限不循环小数；开方开不尽的数：如，；三角函数型：如sin60，tan25.（3）失分点警示：开得尽方的含根号的数属于有理数，如=2，=-3，它们都属于有理数.知识点二：实数的相关概念2.数轴（1）三要素：原点、正方向、单位长度（2）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大例：数轴上表示的点到原点的距离是.3.相反数（1）概念：只有符号不同的两个数（2）代数意义：a、b 互为相反数?a+b=0（3）几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等a 的相反数为-a，特别的0 的绝对值是0.例：3 的相反数是-3，-1 的相反数是1.4.绝对值（1）几何意义：数轴上表示的点到原点的距离（2）运算性质：|a|=a(a0)；|a-b|=a-b(a b)-a(a 0).b-a(a b)（3）非负性：|a|0，若|a|+b2=0,则 a=b=0.（1）若|x|=a（a0），则 x=a.（2）对绝对值等于它本身的数是非负数.例：5的绝对值是5；|-2|=2；绝对值等于3 的是 3;|1-|=-1.5.倒数（1）概念：乘积为1 的两个数互为倒数.a 的倒数为1/a(a 0)（2）代数意义：ab=1?a,b 互为倒数例：-2 的倒数是-1/2；倒数等于它本身的数有1.知识点三：科学记数法、近似数6.科学记数法（1）形式：a10n,其中 1|a|10，n 为整数（2）确定 n 的方法：对于数位较多的大数，n 等于原数的整数为减去 1；对于小数，写成a 10-n，1|a|10，n 等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）例：21000 用科学记数法表示为104；19 万用科学记数法表示为105；用科学记数法表示为7 10-4.7.近似数（1）定义：一个与实际数值很接近的数.（2）精确度：由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.例：精确到百分位是；精确到是.知识点四：实数的大小比较|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 1 页，共 30 页第 2 讲整式与因式分解知识点一：代数式及相关概念关键点拨及对应举例1.代数式（1）代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式（2）求代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，计算得出的结果，叫做求代数式的值求代数式的值常运用整体代入法计算.例：ab3，则 3b3a9.2.整式（单项式、多项式）（1）单项式：表示数字与字母积的代数式，单独的一个数或一个字母也叫单项式.其中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数.（2）多项式：几个单项式的和.多项式中的每一项叫做多项式的项，次数最高的项的次数叫做多项式的次数.（3）整式：单项式和多项式统称为整式.（4）同类项：所含字母相同并且相同字母的指数 也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项.例：（1）下列式子：-2a2;3a-5b；x/2;2/x;7a2;7x2+8x3y；2017.其中属于单项式的是；多项式是；同类项是 和.（2）多项式 7m5n-11mn2+1 是六 次三项式，常数项是_1 .知识点二：整式的运算3.整式的加减运算(1)合并同类项法则:同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变(2)去括号法则:若括号外是“”，则括号里的各项都不变号；若括号外是“”，则括号里的各项都变号.(3)整式的加减运算法则：先去括号，再合并同类项.失分警示：去括号时，如果括号外面是符号，一定要变号，且与括号内每一项相乘，不要有漏项.例：2(3a 2b1)6a4b2.4.幂运算法则(1)同底数幂的乘法：amanamn；(2)幂的乘方：(am)namn；(3)积的乘方：(ab)nanbn；(4)同底数幂的除法：amanamn(a0).其中 m,n都在整数(1)计算时，注意观察，善于运用它们的逆运算解决问题.例：已知 2m+n=2,则 32m2n=6.（2）在解决幂的运算时，有时需要先化成同底数.例：2m4m=23m.8.实数的大小比较（1）数轴比较法：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大.（2）性质比较法：正数0负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小.（3）作差比较法：a-b 0?ab；a-b=0?a=b；a-b 0?ab.（4）平方法：ab0?a2b2.例：把 1，-2,0，按从大到小的顺序排列结果为 _10-2.知识点五：实数的运算9.常见运算乘 方几个相同因数的积;负数的偶（奇）次方为正（负）例：（1）计算：1-2-6=_-7_;(-2)2=_4_;3-1=_1/3_;0=_1_;(2)64的平方根是 _8_,算术平方根是_8_,立方根是 _4_.失分点警示：类似“的算术平方根”计算错误.例：相互对比填一填：16 的算术平方根是 4_,的算术平方根是_2_.零次幂a0=_1_(a 0)负指数幂a-p=1/ap（a0，p 为整数）平方根、算术平方根若 x2=a（a0）,则 x=a.其中a是算术平方根.立方根若 x3=a,则 x=3a.10.混合运算先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算，从左向右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号一次进行.计算时，可以结合运算律，使问题简单化|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 2 页，共 30 页文档编码:CZ5Y7X9M9L8 HL4S4U4G1X4 ZU3V1B4H2Y4文档编码:CZ5Y7X9M9L8 HL4S4U4G1X4 ZU3V1B4H2Y4文档编码:CZ5Y7X9M9L8 HL4S4U4G1X4 ZU3V1B4H2Y4文档编码:CZ5Y7X9M9L8 HL4S4U4G1X4 ZU3V1B4H2Y4文档编码:CZ5Y7X9M9L8 HL4S4U4G1X4 ZU3V1B4H2Y4文档编码:CZ5Y7X9M9L8 HL4S4U4G1X4 ZU3V1B4H2Y4文档编码:CZ5Y7X9M9L8 HL4S4U4G1X4 ZU3V1B4H2Y4文档编码:CZ5Y7X9M9L8 HL4S4U4G1X4 ZU3V1B4H2Y4文档编码:CZ5Y7X9M9L8 HL4S4U4G1X4 ZU3V1B4H2Y4文档编码:CZ5Y7X9M9L8 HL4S4U4G1X4 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_.知识点五：因式分解7.因式分解(1)定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式(2)常用方法：提公因式法：mambmcm(abc).公式法：a2b2(ab)(ab)；a22abb2(ab)2.(3)一般步骤：若有公因式，必先提公因式；提公因式后，看是否能用公式法分解；检查各因式能否继续分解.(1)因式分解要分解到最后结果不能再分解为止，相同因式写成幂的形式；(2)因式分解与整式的乘法互为逆运算第 3 讲分 式知识点一：分式的相关概念关键点拨及对应举例1.分 式的 概念（1）分式：形如BA(A，B是整式，且B中含有 字母，B0)的式子.（2）最简分式：分子和分母没有公因式的分式.在判断某个式子是否为分式时，应注意：（1）判断化简之间的式子；（2）是常数，不是字母.例：下列分式：;2221xx，其中是分式是 ；最简分式.2.分式的意义(1)无意义的条件：当B0 时，分式BA无意义；(2)有意义的条件：当B0 时，分式BA有意义；(3)值为零的条件：当A0，B0 时，分式BA0.失分点警示：在解决分式的值为0，求值的问题时，一定要注意所求得的值满足分母不为 0.例：当211xx的值为 0 时，则 x-1.3.基本性质(1)基本性质：AA CBB CACBC(C0)（2）由基本性质可推理出变号法则为：AAABBB；AAABBB.由分式的基本性质可将分式进行化简：例：化简：22121xxx=11xx.知识点三：分式的运算|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 3 页，共 30 页文档编码:CG6E9J9U8S8 HN9G10U2H4P8 ZO8O2R3W6H1文档编码:CG6E9J9U8S8 HN9G10U2H4P8 ZO8O2R3W6H1文档编码:CG6E9J9U8S8 HN9G10U2H4P8 ZO8O2R3W6H1文档编码:CG6E9J9U8S8 HN9G10U2H4P8 ZO8O2R3W6H1文档编码:CG6E9J9U8S8 HN9G10U2H4P8 ZO8O2R3W6H1文档编码:CG6E9J9U8S8 HN9G10U2H4P8 ZO8O2R3W6H1文档编码:CG6E9J9U8S8 HN9G10U2H4P8 ZO8O2R3W6H1文档编码:CG6E9J9U8S8 HN9G10U2H4P8 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x.5.分式的加减法(1)同分母：分母不变，分子相加减.即acbcabc；(2)异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减.即abcdadbcbd.例：111xxx1.6.分式的乘除法(1)乘法：abcdacbd；(2)除法：acbdadbc；(3)乘方：nabnnab(n为正整数).例：2abba12；21xxy2y；332x3278x.7.分式的混合运算(1)仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后约分.(2)含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化简到 最简分式或整式的形式，再代入求值.代入数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到整体代入.第 4 讲二次根式知识点一：二次根式关键点拨及对应举例1.有关概念（1）二次根式的概念：形如a(a0)的式子.（2）二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0.（3）最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式失分点警示：当判断分式、二次根式组成的复合代数式有意义的条件时，注意确保各部分都有意义，即分母不为0，被开方数大于等于 0 等.例：若代数式11x有意义，则 x 的取值范围是x1.2.二次根式的性质（1）双重非负性：被开方数是非负数，即a0；二次根式的值是非负数，即a0.注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平方根、二次根式.利用二次根式的双重非负性解题：（1）值非负:当多个非负数的和为0 时，可得各个非负数均为0.如1a+1b=0，则 a=-1，b=1.（2）被开方数非负:当互为相反数的两个数同时出现在二次根式的被开方数下时，可得这一对相反数的数均为0.如已知b=1a+1a,则 a=1,b=0.|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 4 页，共 30 页文档编码:CG6E9J9U8S8 HN9G10U2H4P8 ZO8O2R3W6H1文档编码:CG6E9J9U8S8 HN9G10U2H4P8 ZO8O2R3W6H1文档编码:CG6E9J9U8S8 HN9G10U2H4P8 ZO8O2R3W6H1文档编码:CG6E9J9U8S8 HN9G10U2H4P8 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2.4.二次根式的乘除法（1）乘法：ab=ab(a 0，b 0)；（2）除法：ab =ab(a0，b0)注意：将运算结果化为最简二次根式.例：计算：32231；3232224.5.二次根式的混合运算运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）运算时，注意观察，有时运用乘法公式会使运算简便.例：计算：(2+1)(2-1)=1.第二单元方程(组)与不等式(组)第 5 讲一次方程(组)知识点一：方程及其相关概念关键点拨及对应举例1.等式的基本性质(1)性质 1：等式两边加或减同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.即若ab，则acbc.(2)性质 2：等式两边同乘（或除）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.即若ab，则acbc，abcc(c 0)(3)性质 3：（对称性）若a=b,则 b=a.(4)性质 4：（传递性）若a=b,b=c,则 a=c.失分点警示：在等式的两边同除以一个数时，这个数必须不为0.例：判断正误.(1)若 a=b,则 a/c=b/c.()(2)若 a/c=b/c，则 a=b.()2.关于方程的基本概念(1)一元一次方程：只含有一 个未知数，并且未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程(2)二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1 的整式方程(3)二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程(4)二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解在运用一元一次方程的定义解题时，注意一次项系数不等于0.例：若(a-2)|a 1|0 xa是关于 x 的一元一次方程，则a 的值为 0.|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 5 页，共 30 页文档编码:CG6E9J9U8S8 HN9G10U2H4P8 ZO8O2R3W6H1文档编码:CG6E9J9U8S8 HN9G10U2H4P8 ZO8O2R3W6H1文档编码:CG6E9J9U8S8 HN9G10U2H4P8 ZO8O2R3W6H1文档编码:CG6E9J9U8S8 HN9G10U2H4P8 ZO8O2R3W6H1文档编码:CG6E9J9U8S8 HN9G10U2H4P8 ZO8O2R3W6H1文档编码:CG6E9J9U8S8 HN9G10U2H4P8 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0)；(5)系数化为1：方程两边同除以系数a,得到方程的解x=-b/a.失分点警示：方程去分母时，应该将分子用括号括起来，然后再去括号，防止出现变号错误.4.二元一次方程组的解法思路：消元，将二元一次方程转化为一元一次方程.已知方程组，求相关代数式的值时，需注意观察，有时不需解出方程组，利用整体思想解决解方程组.例：已知2923xyxy则 x-y 的值为 x-y=4.方法：(1)代入消元法:从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把“它”代入另一个方程，进行求解；(2)加减消元法：把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法.知识点三：一次方程(组)的实际应用5.列方程(组)解应用题的一般步骤(1)审题：审清题意，分清题中的已知量、未知量；(2)设未知数；(3)列方程(组)：找出等量关系，列方程（组）；(4)解方程(组)；(5)检验：检验所解答案是否正确或是否满足符合题意；(6)作答：规范作答，注意单位名称（1）设未知数时，一般求什么设什么，但有时为了方便，也可间接设未知数.如题目中涉及到比值，可以设每一份为x.（2）列方程（组）时，注意抓住题目中的关键词语，如共是、等于、大（多）多少、小（少）多少、几倍、几分之几等.6.常见题型及关系式（1）利润问题：售价=标价折扣，销售额=售价销量，利润=售价-进价，利润率=利润/进价 100%.（2）利息问题：利息=本金利率期数，本息和=本金+利息.（3）工程问题：工作量=工作效率工作时间.（4）行程问题：路程=速度时间.相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程；追及问题：a.同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；b.同时不同地出发：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程.第 6 讲一元二次方程知识点一：一元二次方程及其解法关键点拨及对应举例1.一元二次方程的相关概念(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程(2)一般形式：ax2bxc0(a0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项例：方程20aax是关于 x 的一元二次方程，则方程的根为1.2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n0)的方程，可直接开平方求解.(2)因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0 的方程，用因式分解法求解.(3)公式法:一元二次方程 ax2bxc0 的求根公式为x=242bbaca（b2-4ac0）.(4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法解一元二次方程时，注意观察，先特殊后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法解时，再用公式法.例：把方程x2+6x+3=0 变形为(x+h)2=k 的形式后，h=-3,k=6.知识点二：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 6 页，共 30 页文档编码:CG6E9J9U8S8 HN9G10U2H4P8 ZO8O2R3W6H1文档编码:CG6E9J9U8S8 HN9G10U2H4P8 ZO8O2R3W6H1文档编码:CG6E9J9U8S8 HN9G10U2H4P8 ZO8O2R3W6H1文档编码:CG6E9J9U8S8 HN9G10U2H4P8 ZO8O2R3W6H1文档编码:CG6E9J9U8S8 HN9G10U2H4P8 ZO8O2R3W6H1文档编码:CG6E9J9U8S8 HN9G10U2H4P8 ZO8O2R3W6H1文档编码:CG6E9J9U8S8 HN9G10U2H4P8 ZO8O2R3W6H1文档编码:CG6E9J
