2022年必修四平面向量数量积的物理背景及其含义.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 平面对量数量积的物理背景及其含义学习目标 1.明白平面对量数量积的物理背景,即物体在力 F 的作用下产生位移 s 所做的功.2.把握平面对量数量积的定义和运算律,懂得其几何意义 .3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判定两个向量是否垂直学问点一 平面对量数量积的定义1定义：已知两个非零向量a 与 b,我们把数量 |a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积 或内积 ,记作 a·b,即 a·b|a|b|cos ,其中 是 a 与 b 的夹角2规定：零向量与任一向量的数量积为 0.学问点二 向量数量积的几何意义 1投影的概念如下列图： OA a,OB b,过 B 作 BB1 垂直于直线OA,垂足为 B1,就 OB1|b|cos .|b|cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影,|a|cos 叫做向量 a 在 b 方向上的投影2数量积的几何意义：a·b 的几何意义是数量积 a·b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 方向上的投影 |b|cos 的乘积摸索 |a|1, |b|2, a 与 b 的夹角 120° ,就 a 在 b 方向上的投影为 _, b 在 a方向上的投影为 _答案121解析 a 在 b 方向上的投影 |a|cos 1× cos 120 °1 2；b 在 a 方向上的投影 |b|cos 2× cos 120 ° 1.学问点三 平面对量数量积的性质依据向量数量积的定义,补充完整数量积的性质设 a 与 b 都是非零向量, 为 a 与 b 的夹角1当 a, b 0 时, a·b|a|b|；当 a,b 时, a·b |a|b|；名师归纳总结 当 a,b 2时, a·b0；第 1 页,共 11 页2a· a|a| 2 或|a|a· aa2；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3cos a· b |a|b|；4|a· b|a|b|.5ab2a22a·b b2；6ab 2a22a·b b2；7ab · aba2b2.学问点四 向量数量积的运算律1a· bb· a交换律 ；2a ·b a· ba· b结合律 ；3ab ·ca· cb· c安排律 摸索 某同学由实数乘法的三条性质：ab0. a0 或 b0；abbc,b 0. ac；abcabc；类比得到向量数量积的三条结论：a·b0. a0 或 b 0；a·bb·c,b 0. ac；a·bcab·c,这三条结论成立吗？请简要说明答案 不成立,由于任意垂直的两向量 a 与 b 都有 a·b0. 不成立,如下列图 .虽然 a·b b·c,但 a c.不成立, 由于 a· bc 表示一个与c 共线的向量, 而 ab·c表示一个与a 共线的向量, c 与 a 不肯定共线, 所以 a·bcab·c,一般情形下不会成立题型一 求两向量的数量积例 1已知 |a|4, |b|5,当 1a b；2 a b；3a 与 b 的夹角为 30°时,分别求a 与 b 的数量积名师归纳总结 解1a b,如 a 与 b 同向,就 0°,a·b第 2 页,共 11 页|a| · | b| · cos 0 °4× 520；如 a 与 b 反向,就 180°,a·b|a| · | b|cos 180 °4× 5× 1 20.2当 ab 时, 90°, a· b|a| · | b|cos 900.3当 a 与 b 的夹角为 30°时, a·b|a| · | b|cos 30°- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4× 5×3 2103.跟踪训练 1 已知 |a|4,|b|7,且向量 a 与 b 的夹角为 120°,求 2a3b · 3a 2b解 2a3b · 3 a2b6a24a·b9b·a6b26|a|2 5a·b6|b|26× 425× 4× 7· cos 120° 6× 72 268.题型二 求向量的模例 2 已知 |a|b|5,向量 a 与 b 的夹角为 3,求 |ab|,|ab|.解 a· b|a|b|cos 5× 5×1 225 2 .|ab|ab2|a|22a· b|b|2252×25 2255 3.|ab|ab 2|a|22a· b|b|2252×25 2255.跟踪训练 2 已知向量 a 与 b 的夹角为 120°,且 |a|4,|b|2,求：1|a b|；2|ab · a2b|.解 由已知 a·b|a|b|cos 4× 2× cos 120 ° 4,a2|a|216,b2|b|24.1|ab|2ab2a22a·bb2162× 4412,|ab|2 3.2ab · a2ba 2a·b2b21642× 412,|ab · a2b|12.名师归纳总结 题型三求向量的夹角a2mn 与 b2n 3m 的夹角第 3 页,共 11 页例 3设 n 和 m 是两个单位向量,其夹角是60°,求向量解|n|m|1 且 m 与 n 夹角是 60°,m· n|m|n|cos 60 °1× 1×1 2 1 2.|a|2mn|2mn24× 114m· n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4× 114×1 27,|b|2n3m|2n 3m 24× 19× 112m· n4× 19× 1 12×1 27,a· b2mn ·n3mm· n6m 22n21 26× 12× 1 7 2.设 a 与 b 的夹角为 ,就cos a· b |a|b|7 271 2.kab 与 a7×又 0 , ,2 3,故 a 与 b 的夹角为 2 3 .跟踪训练 3已知 |a|5,|b|4,且 a 与 b 的夹角为 60°,就当 k 为何值时,向量2b 垂直？解 要想 ka b a2b,就需 kab · a2b0,即 k|a|22k1a· b2|b|20,52k2k 1× 5× 4× cos 60 °2× 4 2 0,解得 k14 15,即当 k14 15时,向量 kab 与 a2b 垂直平面对量数量积安排律的证明例 4 下面是证明安排律 ab ·ca·cb·c 的过程,请你补充完整证明：当 ab 与向量 c 夹角为直角时,如图 1所示,向量 a b 在向量 c 方向上的投影|ab|cosab,c 0；向量 a 在向量 c 方向上的投影为|a|cosa,c OA1,向量 b 在 c 方向上的投影为 |b|cosb,c OB1,易知 OA1 与 OB1 互为相反数,即 OA1OB10.所以 |a|cosa,c |b|cos b,c |ab|cosab,c名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 两边乘以 |c|得：|a|c|cosa,c |b|c|cosb,c |a b|c|cosab, c,a·cb·c ab ·c,即 ab ·ca·c b·c.当 ab 与向量 c 夹角为锐角时,如图 2所示,向量 a b 在向量 c 方向上的投影为|ab|cosab,c OC 1；向量 a 在向量 c 方向上的投影为 图 2|a|cosa,c OA1,向量 b 在 c 方向上的投影为 |b|cosb,c OB1,OC 1OA1 A1C1,A1C1OB1,OC 1OA1 OB1,|ab|cosa b,c |a|cosa, c |b|cosb,c两边同乘以 |c|得：|ab|c|cosab,c |a|c|cosa,c |b|c|cosb, c,即 ab ·ca·cb·c.当 ab 与向量 c 夹角为钝角时,如图3所示,同理可证得ab ·c图3a·cb·c. 1已知向量a, b 和实数 ,以下选项中错误选项A|a|a·a B|a· b|a|b|Ca· ba·b D|a· b|a|b|2已知 |a|1,|b|2,且 ab与 a 垂直,就 a 与 b 的夹角是 A60° B30° C135° D45°3如向量 a,b 满意 |a|b|1,a 与 b 的夹角为 120°,就 a·aa·b_.4给出以下结论：如 a 0,a· b0,就 b 0；如 a· bb· c,就 ac； a· bc ab· c；a·ba·c ca· b0.如 |a b| |ab|,就 a b.名师归纳总结 其中正确结论的序号是_第 5 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 一、挑选题1|a|2,|b|4,向量 a 与向量 b 的夹角为 120°,就向量 a 在向量 b 方向上的投影等于A 3 B 2 C 2 D 12已知 ab,|a|2,|b|3,且 3a2b 与 a b 垂直,就 等于 A.3B3C±3D12223已知向量a, b 满意 a·b0,|a|1,|b| 2,就 |2ab|等于 A0 B 2 2 C4 D84已知 |a|2|b| 0,且关于 x 的方程 x2|a|xa· b0 有实根,就a 与 b 的夹角的取值范畴是A0, 6 B 3, C3,2 3 D 6, 5如非零向量a,b 满意 |a|b|,2ab ·b0,就 a 与 b 的夹角为 A30° B60° C120° D150°6如向量 a 与 b 的夹角为 60°, |b|4,a 2b · a 3b 72,就向量 a 的模为 A2 B4 C6 D12二、填空题27已知向量 a 在向量 b 方向上的投影是 3,|b|3,就 a· b的值为 _8已知向量 a 与 b 的夹角为 120°,且 |a| |b|4,那么 b·ab的值为 _9设非零向量 a、b、c 满意 |a|b|c|,abc,就 a,b _.10已知 a 是平面内的单位向量,三、解答题如向量 b 满意 b·ab0,就|b|的取值范畴是 _11已知 |a|4,|b|8, a 与 b 的夹角是 60°,运算：名师归纳总结 12 ab ·ab；2|4a2b|.第 6 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 12已知非零向量 a,b,且 a3b 与 7a5b 垂直,a4b 与 7a2b 垂直,求 a 与 b 的夹角13已知 |a|1,|b|1,a,b 的夹角为120°,运算向量2ab 在向量 ab 方向上的投影名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当堂检测答案1答案 B解析 由于 |a· b|a| · | b|cos | 为向量 a 与 b 的夹角 |a| · | b| · |cos |,当且仅当 0 或 时,使 |a·b|a| · | b|,故 B 错2答案 C解析ab ·aa2a·b0,a·b a2 1,cosa,ba·b |a|b|122 2 .1×又 a,b0 °,180° , a,b 135° .3答案 12解析 a·aa·b121× 1× cos 120 °1 2.4答案 解析 由于两个非零向量 a、b 垂直时, a· b0,故 不正确；当 a0,bc 时,a· bb· c0,但不能得出 与 a 共线,故 不正确；正确, a·b a· cca· b a· ba· ca· ca· b0.ac,故不正确； 向量 a· bc 与 c 共线, ab· c正确, |ab|ab|. ab2ab2. a·b 0. ab.课时精练答案一、挑选题1.答案 D解析 a 在 b 方向上的投影是|a|cos 2× cos 120 ° 1.2答案 A解析3a2b · ab3a2 23a· b2b2名师归纳总结 3a2 2b212180.3 2.第 8 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3答案 B解析 |2ab|22ab24|a|24a·b|b|24× 14× 0 48,|2ab| 2 2.4答案 B解析 由于 a24|a| · | b|cos 为向量 a 与 b 的夹角 如方程有实根,就有 0 即 a24|a| · | b|cos 0,又|a| 2|b|,4|b| 28|b|2cos 0,cos 1 2,又 0 , 3 .5答案 C解析 由2ab ·b0,得 2a·bb20,设 a 与 b 的夹角为 ,2|a|b|cos |b|20.2 2cos 2|a|b| |b| 2|b|2 1 2,120° .6答案 C解析a· b|a| · |b | · cos 60 °2|a|,a2b · a3b|a|26|b|2a· b|a|22|a|96 72.|a| 6.二、填空题7答案 2解析 a· b|a| · | b|cosa,b |b|a|cosa,b3×2 32.8答案 0解析 b· 2ab 2a· b |b|22× 4× 4× cos 120 °420.9答案 120°解析a bc,|c|2 |a b|2a22a·bb2.又|a| |b|c|,2a·b b2,即 2|a|b|cosa,b |b|2.名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - cosa,b1 2, a,b 120° .10 答案 0,1 解析 b·aba· b|b|2|a|b|cos |b|20,|b| |a|cos cos 为 a 与 b 的夹角 , 0 , ,0|b|1.三、解答题11解12ab ·ab2a2b24|a|2 |b|24× 42820.2|4a2b|24a2b216a216a·b 4b216× 4216× 4× 8× cos 60 °4× 82256.|4a2b|16.12 解由向量垂直得,a3b · 7a5b 0 a4b · 7a2b 0即7a2 16a·b15b2 7a 2 30a·b 8b2化简得a·b1 2|b|2,|a| |b|cosa,ba·b |a| · | b|1 2|b|2 |b|2 1 2,又 a,b0 , ,a 与 b 的夹角为 3.13 解 2ab · ab2a22a·ba·bb22a2a·b b22× 121× 1× cos 120 °121 2.|ab|ab 2a22a·bb212× 1× 1× cos 120 °11.|2ab|cos2ab,ab名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - |2ab| ·2ab · ab |2ab| · | ab|名师归纳总结 2ab · ab |a b|1 2.1 2.第 11 页,共 11 页向量 2ab 在向量 a b 方向上的投影为- - - - - - -