4.6函数的定义与性质4.7反函数[参.pdf

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4.6函数的定义与性质4.7反函数[参.pdf

山东政法学院教案模版授课时间第九周第2 次课授课章节4.6 函数的定义与性质4.7 函数的复合与反函数任课教师及职称唐新华讲师教学方法与手段板书和电子课件结合课时安排3课时使用教材和主要参考书1、教材：耿素云等，离散数学，清华大学出版社，2008 2.参考书左孝琳、李为槛、刘永才，离散数学（上海科技文献版）2006教学与目的要求：给定 f,A,B,判别 f 是否为从A到 B的函数；判别函数f：AB 的性质（单射、满射、双射）；熟练计算函数的值、像、复合以及反函数；证明函数f：AB的性质（单射、满射、双射）；给定集合A,B，构造双射函数f：AB。教学重点、难点:重点：函数的概念，会判断给定集合是否为函数、是否为从A到 B的函数；计算函数的值、像、完全原像以及BA；单射、满射、双射的性质、构造从A 到 B 的双射函数；复合函数、双射函数的反函数。难点：复合函数、双射函数的反函数教学内容:4.6 函数的定义与性质一、本节主要内容函数的定义函数定义从 A 到 B 的函数函数的像函数的性质函数的单射、满射、双射性构造双射函数二、教学内容函数定义定义设 F 为二元关系,若x?domF 都存在唯一的y?ranF 使 xFy 成立,则称F 为函数.对于函数F,如果有xFy,则记作y=F(x),并称y 为 F 在 x 的函数值.例 1 F1=,F2=,山东政法学院教案模版F1是函数,F2不是函数函数相等定义设 F,G 为函数,则F=G FGGF如果两个函数F 和 G 相等,一定满足下面两个条件：(1)domF=domG(2)x?domF=domG 都有 F(x)=G(x)实例函数F(x)=(x21)/(x+1),G(x)=x 1 不相等,因为 domFdomG.从 A 到 B 的函数定义设 A,B 为集合,如果f 为函数domf=A ranf B,则称f 为从 A 到 B 的函数,记作f：AB.实例f：NN,f(x)=2x 是从N 到 N 的函数g：NN,g(x)=2 也是从N 到 N 的函数B 上 A 定义所有从A 到 B 的函数的集合记作BA,读作“B 上 A”，符号化表示为BA=f|f：AB 计数：|A|=m,|B|=n,且 m,n0,|BA|=nm.A=,则BA=B=.A且 B=,则BA=A=.实例例 2 设 A=1,2,3,B=a,b,求 BA.解BA=f0,f1,f7,其中f0=,f1=,文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 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ZZ2F5V9L6P1山东政法学院教案模版f2=,，f3=,f4=,，f5=,f6=,f7=,函数的像定义设函数f：AB,A1A.A1 在 f 下的像：f(A1)=f(x)|x?A1 函数的像f(A)=ranf 注意：函数值f(x)?B,而像f(A1)B.例 3 设 f：NN,且令 A=0,1,B=2,那么有f(A)=f(0,1)=f(0),f(1)=0,2函数的性质定义设 f：AB,（1）若 ranf=B,则称f：AB 是满射的.（2）若任意x1，x2A 而且不相等，都有f(x1)与f(x2)不相等,则称f：AB 是单射的.（3）若f：AB 既是满射又是单射的,则称f：AB 是双射的（一一到上的）f 满射意味着：y B,都存在x 使得f(x)=y.f 单射意味着：f(x1)=f(x2)x1=x2实例例 4 判断下面函数是否为单射,满射,双射的,为什么?(1)f：RR,f(x)=x2+2x 1(2)f：Z+R,f(x)=lnx,Z+为正整数集(3)f：RZ,f(x)=x文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 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f(x)=(x+1)/4 构造从 A 到 B 的双射函数（续）A 与自然数集合之间构造双射方法：将A 中元素排成有序图形，然后从第一个元素开始文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 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ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1山东政法学院教案模版按照次序与自然数对应例 7 A=Z,B=N，构造双射f：AB 将 Z 中元素以下列顺序排列并与N 中元素对应：Z：011 2233 N：0 1 2 3 4 5 6 则这种对应所表示的函数是：01202)(,ZxxxxfNf：常函数、恒等函数、单调函数1.设 f：AB,若存在c?B 使得x?A 都有f(x)=c,则称f：AB 是常函数.2.称 A 上的恒等关系IA为 A 上的恒等函数,对所有的 x?A 都有IA(x)=x.3.设 f：RR，如果对任意的x1,x2?R，x1x2,就有 f(x1)f(x2),则称f 为单调递增的；如果对任意的 x1,x2?A,x1 x2,就有f(x1)f(x2),则称f 为严格单调递增的.类似可以定义单调递减和严格单调递减的函数.集合的特征函数4.设 A 为集合,A A,A 的特征函数A：A0,1 定义为1,()0,AaAaaAA实例集合：X=A,B,C,D,E,F,G,H,子集：T=A,C,F,G,H T 的特征函数T：x A B C D E F G H T(x)1 0 1 0 0 1 1 1 自然映射5.设 R 是 A 上的等价关系,令01202)(,ZxxxxfNf：文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 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g(x)=f(g(x).函数复合运算的性质文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 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ZZ2F5V9L6P1山东政法学院教案模版定理设 g：AB,f：BC.(1)如果g：AB,f：BC 都是满射的,则f g：AC 也是满射的.(2)如果g：AB,f：BC 都是单射的,则f g：AC 也是单射的.(3)如果g：AB,f：BC 都是双射的,则f g：AC 也是双射的.证(1)c?C,由 f：BC 的满射性,b?B 使得f(b)=c.对这个 b,由 g：AB 的满射性，a?A 使得 f(a)=b.由合成定理f g(a)=f(g(a)=f(b)=c 从而证明了f g：AC 是满射的.函数复合运算的性质(2)假设存在x1,x2?A 使得f g(x1)=f g(x2)由合成定理有f(g(x1)=f(g(x2).因为 f：BC 是单射的,故 g(x1)=g(x2).又由于 g：AB 也是单射的,所以x1=x2.从而证明f g：AC 是单射的.(3)由(1)和(2)得证.定理设 f:AB，则f=f IB=IA f 反函数存在的条件任给函数F,它的逆 F 1 不一定是函数,是二元关系.实例：F=,，F 1=,任给单射函数f：AB,则 f 1 是函数,且是从ranf 到 A 的双射函数,但不一定是从B 到 A 的双射函数.实例：f:N N,f(x)=2x,f 1:ranf N,f 1(x)=x/2 反函数定理设 f：AB 是双射的,则 f 1：BA 也是双射函数.证因为 f 是函数,所以f 1 是关系,且dom f 1=ranf=B,ran f 1=domf=A,对于任意的y?B=dom f 1,假设有 x1,x2?A 使得?f 1?f 1 成立,则由逆的定义有?f?f 根据f 的单射性可得x1=x2,从而证明了f 1 是函数，且是满射的.下面证明f 1 的单射性.y1,y2?B 使得f 1(y1)=f 1(y2)=x,从而有?f 1?f 1 文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 ZZ2F5V9L6P1文档编码:CS1W8D7R7Y3 HS2H1Z4W7J10 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