2022年1999考研数二真题及解析 .pdf

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1999 年全国硕士研究生入学统一考试数二试题一、填空题(本题共 5小题，每小题3分，满分 15分。把答案填在题中横线上。)(1)曲线sin 2costtxetyet，在点0,1处的法线方程为(2)设函数yy x由方程23lnsinxyx yx确定，则0 xdydx(3)25613xdxxx(4)函数22xyx在区间13,22上的平均值为(5)微分方程24xyye的通解为二、选择题(本题共 5小题，每小题3分，满分 15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。)(1)设21cos,0(),0 xxxf xx g xx，其中g x是有界函数，则()f x在0 x处()(A)极限不存在.(B)极限存在，但不连续.(C)连续，但不可导.(D)可导.(2)设15sin00sin,1xxttxdtxtdtt，则当0 x时x是x的()(A)高阶无穷小(B)低阶无穷小(C)同阶但不等价的无穷小(D)等价无穷小(3)设()f x是连续函数，F x是()f x的原函数，则()(A)当()f x是奇函数时，F x必是偶函数.(B)当()f x是偶函数时，F x必是奇函数.(C)当()f x是周期函数时，F x必是周期函数.(D)当()f x是单调增函数时，F x必是单调增函数.(4)“对任意给定的0,1，总存在正整数N，当nN时，恒有2nxa”是数列nx收敛于a的()(A)充分条件但非必要条件.(B)必要条件但非充分条件.(C)充分必要条件.(D)既非充分条件又非必要条件.(5)记行列式212322 21 22 2333 3245 35443 5743xxxxxxxxxxxxxxxx为fx，则方程0fx的根的个数为()(A)1.(B)2.(C)3.(D)4.三、(本题满分 5分)求201t an1si nl i ml n 1xxxxxx.四、(本题满分 6分)计算21ar c t anxdxx.五、(本题满分 7分)求初值问题2210(0)0 xyxydxxdyxy的解.六、(本题满分 7分)为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口见图，已知井深30m30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度为3/m s,在提升过程中，污泥以20/Ns的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？(说明：111;NmJ其中,m N s J分别表示米，牛顿，秒，焦耳；抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)七、(本题满分8 分)已知函数321xyx，求(1)函数的增减区间及极值；(2)函数图形的凹凸区间及拐点(3)函数图形的渐近线.八、(本题满分8 分)设函数fx在闭区间1,1上具有三阶连续导数，且10f，11f，00f，证明：在开区间1,1内至少存在一点，使3f.文档编码:CC2C4U4W6D1 HR7M7Q3P7S2 ZP9W9E3R3L5文档编码:CC2C4U4W6D1 HR7M7Q3P7S2 ZP9W9E3R3L5文档编码:CC2C4U4W6D1 HR7M7Q3P7S2 ZP9W9E3R3L5文档编码:CC2C4U4W6D1 HR7M7Q3P7S2 ZP9W9E3R3L5文档编码:CC2C4U4W6D1 HR7M7Q3P7S2 ZP9W9E3R3L5文档编码:CC2C4U4W6D1 HR7M7Q3P7S2 ZP9W9E3R3L5文档编码:CC2C4U4W6D1 HR7M7Q3P7S2 ZP9W9E3R3L5文档编码:CC2C4U4W6D1 HR7M7Q3P7S2 ZP9W9E3R3L5文档编码:CC2C4U4W6D1 HR7M7Q3P7S2 ZP9W9E3R3L5文档编码:CC2C4U4W6D1 HR7M7Q3P7S2 ZP9W9E3R3L5文档编码:CC2C4U4W6D1 HR7M7Q3P7S2 ZP9W9E3R3L5文档编码:CC2C4U4W6D1 HR7M7Q3P7S2 ZP9W9E3R3L5文档编码:CC2C4U4W6D1 HR7M7Q3P7S2 ZP9W9E3R3L5文档编码:CC2C4U4W6D1 HR7M7Q3P7S2 ZP9W9E3R3L5文档编码:CC2C4U4W6D1 HR7M7Q3P7S2 ZP9W9E3R3L5文档编码:CC2C4U4W6D1 HR7M7Q3P7S2 ZP9W9E3R3L5文档编码:CC2C4U4W6D1 HR7M7Q3P7S2 ZP9W9E3R3L5文档编码:CC2C4U4W6D1 HR7M7Q3P7S2 ZP9W9E3R3L5文档编码:CC2C4U4W6D1 HR7M7Q3P7S2 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ZR2S9O3S2K8322122131122xydxx，作变换令sinxt，则cosdxtdt，所以23261sincos311sin22ttydtt2362sin31tdt3366111131(31)(cos2)(31)sin2222212t dttt(5)【答案】22121,4xxyC eCx e其中12,C C为任意常数.【分析】先求出对应齐次方程的通解，再求出原方程的一个特解.【详解】原方程对应齐次方程40yy的特征方程为：240,解得122,2，故40yy的通解为22112,xxyC eC e由于非齐次项为2(),xf xe因此原方程的特解可设为*2,xyAxe代入原方程可求得14A，故所求通解为*2211214xxyyyC eCx e二、选择题(1)【答案】(D)【详解】由于可导必连续，连续则极限必存在，可以从函数可导性入手.因为20001()(0)1cos2(0)limlimlim0,0 xxxxf xfxfxxxxx2000()(0)()(0)limlimlim()0,0 xxxf xfx g xfxg xxx从而，(0)f存在，且(0)0f，故正确选项为(D).(2)【答案】(C)【详解】当0 x有，文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 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1】“必要性”：数列极限的定义“对于任意给定的10，存在10N，使得当1nN时恒有1|nxa”.由该定义可以直接推出题中所述，即必要性；“充分性”：对于任意给定的10，取11min,33，这时(0,1)，由已知，对于此存在0N，使得当nN时，恒有|2nxa，现取11NN，于是有当1nNN时，恒文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 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ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8有112|3nxa.这证明了数列nx收敛于a.故(C)是正确的.【方法 2】数列极限的精确定义是：对于任意给定的0，总存在0N，使得当nN时|nxa，则称数列nx收敛于a.这里要抓住的关键是要能够任意小，才能使|nxa任意小.将本题的说法改成：对任意12(0,2)0，总存在10N，使得当1nNN时，有1|2nxa，则称数列nx收敛于a.由于1(0,2)可以任意小，所以|nxa能够任意小.故两个说法是等价的.(5)【答案】(B)【详解】利用行列式性质，计算出行列式是几次多项式，即可作出判别.212322212223()333245354435743xxxxxxxxf xxxxxxxxx210121221013133122414373xxxxxx列列列列列列21002210042331214376xxxxxx列列212122176xxxx(若,A B C均为n阶方阵，则ABA COC)(2)1(22)1 6(2)(1)(7)xxxx()(55)xx5(1)xx故()(55)0fxxx有两个根120,1xx，故应选(B).三【详解】进行等价变化，然后应用洛必达法则，【方法 1】201tan1 sinlimln 1xxxxxx20(1tan1sin)(1tan1 sin)lim(ln 1)(1tan1 sin)xxxxxxxxxx0tansinlim(ln 1)2xxxxxx01cos1 sincoslim2ln 1xxxxxxx文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 ZR2S9O3S2K8文档编码:CU1J4P4Q9Q9 HF4Q4B9H8Z9 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