多元一次不定方程的完整讲义和练习.pdf

精品资料欢迎下载二元 一次不定方程知识要点和基本方法1当一个方程中未知数的个数多于一个时，称这个方程为不定方程只讨论有二个未知数的一次不定方程2一个不定方程总有无穷多组解，但更多的情况是讨论一个整系数的不定方程的整数解或正整数解，此时，它可能仍有无穷多组解，也可能只有有限组解，甚至可能无解例1解方程83yx解：由原方程，易得yx38因此，对y的任意一个值，都有一个x与之对应，此时x与y的值必定满足原方程，故这样的x与y是原方程的一组解，即原方程的解可表为kykx38其中k为任意数整数解问题：例2求方程863yx的整数解解：因为)2(363yxyx，所以，不论x与y取何整数，总有,633yx但3不能整除 8，因此，不论x与y取何整数，yx63都不可能等于8，即原方程无整数解定理 1：整系数方程cbyax有整数解的充分而且必要条件是a与b的最大公约数d能整除c例3求方程34104yx的整数解解：因为 4 与 10 的最大公约数为2，而 34 是 2 的倍数，由定理得，原方程有整数解。两边约去 2 后，得,1752yx故5217xy，因此，要使y取得整数，1x27=15，3y，即我们找到方程的一组解,3,100yx设原方程的所有解的表达式为：nymx31代入原方程，得05217)3(5)1(2nmnm（nm,为整数）2 与 5 互质，所以kknkm(2,5为整数）由此得到原方程的所有解为kykx2351（k为任意整数）定理 2。若a与b的最大公约数为1（即a与b互质），00,yx为二元一次整系数不定方程cbyax的一组整数解（也称为特解），则cbyax的所有解（也称通解）为akyybkxx00其中k为任意整数但不定方程11051999yx很难直接找到一组整数解例4求方程1253yx的整数解。解：由yxyx3541253，所以当且仅当y是 3 的倍数时，取,3y得,13354x即3,1 yx是原方程的一组解，因此，原方程的所有整数解为kykx3351（k为任意整数）-第 1 页，共 12 页精品p d f 资料 可编辑资料-精品资料欢迎下载例5求方程3153yx的整数解解：由原方程得：312103531yyxyx要使方程有整数解，31y必须为整数，取,2y得7141031210yyx，故2,7 yx是原方程的一组解，因此，原方程的所有整数解为kykx3257（k为任意整数）例 6：若干只6 脚蟋蟀和8 脚蜘蛛，共有46 只脚，则蟋蟀和蜘蛛各有多少只？解：设有 x 只蟋蟀只，蜘蛛y 只，则方程6x+8y=46，即 3x+4y=23，3423yx，变形为327yyx，,61y又y为正整数，且24y能被 3整除，2y或5y，把2y，5y代入得方程的正整数解为51,25yxyx例 7：用 16 元钱买面值为20 分、60分、1 元的三种邮票共18 枚，每枚邮票至少买1 枚，共有多少种不同的买法？解：设买面值为20 分的邮票x 枚，面值为60分的邮票y 枚，则买面值为1 元的邮票为)18(yx枚，根据题意得1600)18(1006020yxyx，即52yx，由,2125xxy又212,12,1)25(18xxxx，因此x可取的正整数值为1，2；当1x时，3y,1418yx当2x时，1518,1yxy，均符合正整数解问题例1 求方程3153yx的正整数解。解：我们知道3153yx的所有整数解为kkykx(3257为任意整数）故要求原方程的正整数解，只要使0,0 yx即可，所以032057kk3257k，注意到k为整数，所以1,0k得所有正整数解52;27yxyx例2 求方程735yx的正整数解。解：原方程可化为573yx，即5)1(32yx其中4,1 yx为原方程的一组整数解，因此，原方程的所有整数解为kykx5431（k为任意整数）令0,yx得：31054031kkk（k为整数）3,2,1,0k原方程可得无穷多组正整数解kykx5431（3,2,1,0k）-第 2 页，共 12 页精品p d f 资料 可编辑资料-文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 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ba，得不等式组32111403201114kkk整数1;0k。因此方程有两组正整数解53;214baba，4a与6b为既约真分数，所以5,3 ba是它的唯一解，因此所求的积为165654332例5 今有 36 块砖，36 人搬，男搬4 块，女搬3 块，两个小孩抬一块，问男、女、小孩各有多少人？解：设男、女、小孩分别为zyx,人，又题意列方程组：36213436zyxzyx；消去z得75153657yxyx；观察得3,300yx是方程的一个解；所以方程的通解为tytx7353（t为整数）。又依题意得120,90yx；7353127309530ttt，又t为整数，故只有3,3,0yxt则30z答：有男 3 人，女 3 人，小孩 30 人。例6 一批游人分乘若干辆汽车，要求每车人数相同（最多每车32人）。起初每车乘22 人，这时有一人坐不上车，开走一辆空车，那么所有游人刚好平均分乘余下的汽车，问原来有多少辆汽车？这批游人有多少？解：设原有汽车x辆，总人数为)1(xn，由已知条件：322122)1(nxxxnnxxxn123221122是人数，应为正整数，231x，11x或 23，45,2 nx或23,24 nx共有汽车24 辆，游人共529 人。例7 求方程1985)52)(12(yx的正整数解-第 3 页，共 12 页精品p d f 资料 可编辑资料-文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 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的倍数，求满足条件的最小正整数是多少？解：由题意得21613513kxkx（21,kk是正整数），可得515,652622121kkkkk，要使x最小，则2k取最小值，当42k时，101k，此时37x例：若ba,都是正整数，且,2001500143ba求ba的值。解：由已知可得143711423131435002001bbba，观察可得7,2 ab，于是不定方程的解为ttbta(1432,5007为整数），ba,是正整数，01432,05007tt，得14325007t，知9,2,7,0babat例：设m和n大于 0 的整数，且,22523nm若m和n最大公约数为15，则_nm；若m和n的最小公倍数为45，则_nm解：nm,的最大公约数为15，可令212121,.(15,15kkkkknkm为正整数），由已知得1523,2253045232121kkkknm的解为tktk36,2121，而21kk且21,kk为正整数，有036,021tt，知1,0t；当1t时3,21kk（舍去），当0t时，6,121kk，此时mnmknkm,90,9015,151521和n的最小公倍数为45，可令ddnndmm(,11为正整数），由已知得5334511ndm，由22523nm得225)23(11nmd，于是有52311mn，则只有11n，,45,11dm此时90,45nmnm例：一个布袋中有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字1，黄球上标有数字 2，蓝球上标有数字3，小明摸出的球中，红球的个数最多不超过多少个？解：设小明摸出的10个球中有红球x个，黄球y个，则蓝球)10(yx个，由题意得-第 4 页，共 12 页精品p d f 资料 可编辑资料-文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 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页精品p d f 资料 可编辑资料-文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 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ZZ7G4G7X5Z10精品资料欢迎下载三求下列二元一次方程的解1762yx 2 6433yx四求下列二元一次方程的整数解120105yx 2743yx3874yx 4 43013yx五求下列方程的正整数解1201511yx 22152yx3325yx 43285yx六试将100分成两个正整数之和，其中一个为11的倍数，另一个为17 的倍数。七求不定方程1635yx的最小整数解解：将1635yx变为5163yx，当2,1y时均不合题意，当3y时，5x原不定方程的最小正整数解为35yx八用 16 元钱买面值为20 分，60 分，1 元的三种邮票共18 枚，每枚邮票至少买1 枚，共有多少中不同的买法？九一分、二分、五分的硬币共十枚，付一角八分钱，有几种不同的取法？解：设取 x 枚 1 分，y 枚 2 分，则取)10(yx枚 5 分硬币，由题意得323418)10(52yxyxyx，,438yxyx,均为非负数，由-第 6 页，共 12 页精品p d f 资料 可编辑资料-文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 HP2S8D6M9N6 ZZ7G4G7X5Z10文档编码:CX3N9E4S8P3 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的倍数，15,10,5,0 x，当0 x时，40100,60yxy；当5x时，53100,42yxy；当10 x时，66100,24yxy；当15x时，6y，79100yx答：买猪 0 头，山羊60 头，绵羊40头；买猪5 头，山羊42头，绵羊53 头；买猪10 头，山羊 24 头，绵羊66 头；买猪15 头，山羊 6 头，绵羊79 头。-第 7 页，共 12 页精品p