2022年数的开方知识点与例题.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载平方根与立方根一、学问点和方法概述 1、平方根：（ 1）平方根的定义：（ 2）开平方：（ 3）平方根的意义：（ 4）平方根的表示：（ 5）求一个数的平方根的方法：（ 6）算术平方根：注：1）算术平方根是非负数,具有非负数的性质；2）如两数的平方根相等或互为相反数时,这两数相等；反之,如两非负数相等时,它们的平方根相等或互为相反数；3 平方根等于本 0,算术平方根等于本身的数有 0、1. 身的数只有 2、立方根：（1）立方根的定义：（2）开立方：（3）立方根的意义：（4）立方根的表示：（5）求一个数的立方根的方法：注： 1）如两数的立方根相等,就这两数相等；反之,如两数相等,就这两数的立方根相等；2）立方根等于本身的数有 0、1、-1. 3、 n 次方根：（1） n 次方根的定义：（2）开 n 次方：（3） n 次方根的意义：（4） n 次方根的表示：（5）求一个数的 n 次方根的方法：二、二次根式： 1 、二次根式的定义：式子a0叫做二次根式；2. 最简二次根式：满意以下两个条件的二次根式,叫做最简二次根式；（ 1）被开方数的因数是整数,因式是整式；名师归纳总结 （ 2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；如不是最简二次根式,因被开方数第 1 页,共 6 页中含有 4 是可开得尽方的因数,又如, .都不是最简二次根式,而,5 ,都是最简二次根式；3. 同类二次根式： 几个二次根式化成最简二次根式以后,假如被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式；如 , , 就是同类二次根式,由于 =2 ,=3 ,它们与的被开方数均为2；4. 有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘,假如它们的积不含有二次根式,就说这两- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 个代数式互为有理化因式；如学习必备,a+ 欢迎下载, - 与 + 与与 a- ,互为有理化因式； 2 、二次根式的性质： 1. a 0是一个非负数, 即0; 2=aa0；2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数,即：3. 某数的平方的算术平方根等于某数的肯定值,即 =|a|= 4. 非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积,即 = ·（a 0,b0）；5. 非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根,即 = （a 0,b>0）；（3）二次根式的运算法就：（4）化简二次根式的常用方法：因式分解法、公式法、换元法、平方法、倒数法、利 用非负数的性质等 . 实数 一、学问结构实际问题引入无理数 算术平方根实数的应用无理数的表示平方根立方根概念分类实数的有关 概念及应用肯定值、相反数实数与数轴上点的对应实数的运算和大小比较名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二、基础学问回忆学习必备欢迎下载1无理数的定义（）叫做无理数 2 有理数与无理数的区有理数总可以用（）或（）表示；反过来,任何（）或（）也都是有理数； 而无理数是 （）小数,有理数和无理数区分之根本是有限及无限循环和无限不循环；有理数可以化成 （）,无理数不能化成（）；3. 常见的无理数类型1 一般的无限不循环小数,如：1.41421356¨ · · ·2 看似循环而实际不循环的小数,如 0.1010010001 · · · 相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1 ；3 有特定意义的数,如： =3.14159265 · · ·4. 开方开不尽的数；如：3 , 3 5；4算术平方根；（1）定义：（2）我们规定：（3）性质：算术平方根 a 具有双重非负性： 被开方数 a 是非负数,即 a0. 算术平方根 a 本身是非负数,即 a 0；也就是说,（）的算术平方根是一个正数,0 的算术平方根是（）,（）没有算术平方根；5平方根（1）定义：（2）非负数 a 的平方根的表示方法 : （3）性质：一个（）有两个平方根,这两个平方根 ； 只有一个平方根,它是 ； 没有平方根；说明：平方根有三种表示形式：±a,a,a ,它们的意义分别是：非负数 a 的平方根, 非负数 a 的算术平方根, 非负数 a 的负平方根； 要特殊留意：a ±a ；6. 平方根与算术平方根的区分与联系：区分：定义不同 个数不同： 表示方法不同：联系：具有包含关系：存在条件相同： 0 的平方根和算术平方根都是 0；7开方运算：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）定义：学习必备欢迎下载 开平方运算： 开立方运算：（2）平方与开平方式（）关系,故在运算结果中可以相互检验；8a2的算术平方根的性质）当 a 0 时,a2=（） 当 a<0 时,a2=（一般的,当a<0 时,a2=-a. 我们仍知道,当a0 时, a =a；当 a<0 时, a =a. 综上所述,有2 a a a0 = a = -a a<0 从算术平方根的定义可得：a2=a a 0 9立方根（1）（2）（3）（4）定义： _. 数 a 的立方根的表示方法:_ 互为相反数的两个数的立方根之间的关：_ 两个重要的公式333aaa为任何数）3a3a为任何数）10实数 1、概念 ：_和_统称为实数；2、分类 按定义 _ _ _ _ _ _ 实数 _ _ _ _ 无限不循环小数 _ 正实数 按大小 0 负实数 3 、实数的有关性质 a 与 b 互为相反数 =a+b=0 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 a 与 b 互为倒数 =ab=1 任何实数的肯定值都是非负数,即 a 0 互为相反数的两个数的肯定值相等 , 即 a = a正数的倒数是正数 ; 负数的倒数是负数 ; 零没有倒数 . 实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点是一一对应的关系实数的大小比较1 在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大；2 正数大于零, 零大于负数, 正数大于一切负数,实数中的非负数及其性质两个负数比较, 肯定值大的反而小；4、在实数范畴内,正数和零统称为非负数,我们已经学过的非负数有如下三种形式任何一个实数a 的肯定值是非负数,即a 0 a 0 任何一个实数的平方是非负数,即2 a 0；任何一个非负数a 的算术平方根是非负数,即5、非负数有以下性质非负数有最小值零有限个非负数之和仍旧是非负数几个非负数之和等于0,就每个非负数都等于0；二次根式的两条运算法就abaaba0,b0 a（a0 ,bbb二、典型例题一、填空题：名师归纳总结 1、31的倒数是的负的平方根；25 的算术平方根是 . ；立方根第 5 页,共 6 页2等于 3 的数是；3 27的平方根是；81 的四次方根是；如一个数的五次方为-32 ,就这个数为 . 2、如2m4与3m1是同一个数的平方根,就m . 3、设 x 为正整数,如x1是完全平方数,就它前面的一个完全平方数是4、4 的算术平方根的立方根的相反数是 . b23的算5、已知a,b为实数,a52102ab4,求 a = ； b = . 6、如Aa2b3a3 b为a3 b的算术平方根,B2ab2a2b23为a2术平方根,就A+B的平方根为 . . 7、如x4y3,4x3y 38,就xy2n（n 为正整数）的值为8、如x2y9与xy3互为相反数,就x, y . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 9、已知xy0,就二次根式学习必备欢迎下载xy化简后为 . x210、把x5 51x的根号外面的因式移到根号内得 . . 11、已知ab32,bc32,就2a2b2c2abbcca的值为 . 12、设a10,b7,1c32,就a ,b ,c的大小关系是 . 13、已知M101100,N9998,就 M与 N的大小关系是 . 14、如 a 为自然数, b 为整数,且满意a3b2743,就 a, b二、解答题：15、已知xy21,求x11x2x4yyxy2xyxy的值 . 1的值 . x16、已知：x1x8,求代数式x2xxyxy2217、已知a213,求a222a1的值 . aa18、已知m213,n213,求 1m2 n22 12 nn的值 . b,其中,a3 b4. n2ma4abababa19、先化简,再求值：bbaab名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页
