复合函数的零点问题.pdf

精品资料欢迎下载复合函数的零点问题I 题源探究黄金母题【例 1】设函数1,0,()11,11xxaafxxaxa（a为常数且0,1a）若0 x是ffxx的零点但不是fxx的零点，则称0 x为()f x的二阶周期点，求函数()f x的二阶周期点【答案】函数()f x有且仅有两个二阶周期点，121axaa，2211xaa【解析】2222221,0,1(),(1)()1(),1,(1)1(1),11.(1)xxaaaxaxaaaff xxa axaaax aaxaa当20 xa时，由21xxa解得0 x，由于00f，故0 x不是fx的二阶周期点；当2axa时，由1()(1)axxaa解得21axaa2(,),aa因222211()1111aaafaaaaaaaaa，故21axaa是()f x的二阶周期点；当21axaa时，由21()(1)xaxa解得12xa2(,1)a aa，因精彩解读【试题来源】2013 年高考江西卷改编【母题评析】本题以新定义的形式考查复合函数、分段函数的零点，难度较大新定义（信息题）是近几年来高考的一个热点【思路方法】理解定义，写出复合函数的解析式，再利用函数与方程思想、分类分类讨论思想、数形结合思想解题第 1 页，共 25 页精品资料欢迎下载111112122faaaa故12xa不是()f x的二阶周期点；当211aax时，1(1)(1)xxaa解得211xaa2(1,1)aa，因22221111()(1)11111afaaaaaaaaa，故211xaa是()f x的二阶周期点综上：函数()f x有且仅有两个二阶周期点，121axaa，2211xaaII 考场精彩真题回放【例 2】【2017 年高考江苏卷】设()f x 是定义在R且周期为1的函数，在区间0,1)上，2,(),xxDf xxxD其中集合1,*nDx xnnN，则方程()lg0f xx的解的个数是 【答案】8【解析】由于()0,1)f x，则需考虑110 x的情况在此范围内，xQ且xZ时，设*,2qxp qppN，且,p q互质若lg xQ，则由lg(0,1)x，可设*lg,2nxm nmmN，且,m n互质因此10nmqp，则10()nmqp，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lg xQ因此lg x不可能与每个周期内xD对应的部分相等，只需考虑lg x与每个周期xD的部分的交点，画出函数图象，【命题意图】本题主要考查复合函数的零点本题能较好的考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力等【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，综合性强，难度大【难点中心】解答此类问题，关键在于“抽茧剥丝”，把复合函数问题转化为单函数问题，准确作出函数图象，利用图象解决问题第 2 页，共 25 页文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 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x的根，则需要先将fx视为整体，先求出fx的值，再求对应x的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义4函数的零点：设fx的定义域为D，若存在0 xD，使得00fx，则称0 xx为fx的一个零点5复合函数零点问题的特点：考虑关于x的方程0gfx根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于fx的方程，观察有几个fx的值使得等式成立；第二层是结合着第一层fx的值求出每一个fx被几个x对应，将x的个数汇总后即为0gf x的根的个数IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，一般综合性强，难度大【技能方法】求解复合函数ygfx零点问题的技巧：第 4 页，共 25 页文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 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上存在零点的充分条件，而不是必要条件注意以下几点：满足零点存在性定理的条件的零点可能不唯一；不满足零点存在性定理条件时，也可能有零点由函数)(xfy在闭区间,a b上有零点不一定能推出)(af)(bf0，如图所示所以)(af)(bf0是)(xfy在闭区间,a b上有零点的充分不必要条件注意：如果函数在区间,a b上的图象是连续不断的曲线，并且函数在区间,a b上是一个单调函数，那么当)(af)(bf0时，函数在区间),(ba内有唯一的零点，即存在唯一的(,)ca b，使0)(cf如果函数在区间,a b上的图象是连续不断的曲线，并且有)(af)(bf0，那么，函数在区间),(ba内不一定没有零点如果函数在区间,a b上的图象是连续不断的曲线，那么当函数在区间),(ba内有零点时不fxfxfxfxfxfxfx第 5 页，共 25 页文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 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个，实数的取值范围是，选 D【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等【例 4】【2018 广西桂林柳州高三综合模拟】已知函数3log,034,3xxfxxx，若函数2h xfxmx有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A1,12 B1,1,2 C1,1,2 D1,12【答案】A A（0，2），B（3，1），C（4，0），则g（x）的图象介于直线AB和AC之间，介于kABm kAC，可得12第 7 页，共 25 页文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B4N4N10Z4 ZS2F2M6J8Q3文档编码:CD7C5S7E10N9 HO7B