多元函数的极值及其求法(000001).pdf

第十一讲二元函数的极值要求：理解多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。问题提出：在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有密切的关系，因此以二元函数为例，来讨论多元函数的极值问题一二元函数的极值定义设函数),(yxfz在点),(00yx的某个邻域内有定义，对于该邻域内的所有),(),(00yxyx，如果总有),(),(00yxfyxf，则称函数),(yxfz在点),(00yx处有极大值；如果总有),(),(00yxfyxf，则称函数),(yxfz在点),(00yx有极小值函数的极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点例 1 函数xyz在点)0,0(处不取得极值，因为在点)0,0(处的函数值为零，而在点)0,0(的任一邻域内总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点例 2函数2243yxz在点)0,0(处有极小值因为对任何),(yx有0)0,0(),(fyxf从几何上看，点)0,0,0(是开口朝上的椭圆抛物面2243yxz的顶点，曲面在点)0,0,0(处有切平面0z，从而得到函数取得极值的必要条件定理 1（必要条件）设函数),(yxfz在点),(00yx具有偏导数，且在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必然为零，即0),(00yxfx，0),(00yxfy几何解释若函数),(yxfz在点),(00yx取得极值0z，那么函数所表示的曲面在点),(000zyx处的切平面方程为是平行于xoy坐标面的平面0zz类似地有三元及三元以上函数的极值概念，对三元函数也有取得极值的必要条件为0),(000zyxfx，0),(000zyxfy，0),(000zyxfz说明上面的定理虽然没有完全解决求极值的问题，但它明确指出找极值点的途径，即只要解方程组0),(0),(0000yxfyxfyx，求得解),(),(),(2211nnyxyxyx，那么极值点必包含在其中，这些点称为函数),(yxfz的驻点注意 1驻点不一定是极值点，如xyz在)0,0(点怎样判别驻点是否是极值点呢下面定理回答了这个问题定理 2（充分条件）设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内连续，且有一阶及二阶连续偏导数，又0),(00yxfx，0),(00yxfy，令Ayxfxx),(00，Byxfxy),(00，Cyxfyy),(00，则（1）当02BAC时，函数),(yxfz在点),(00yx取得极值，且当0A时，有极大值00(,)f xy，当0A时，有极小值00(,)fxy；（2）当02BAC时，函数),(yxfz在点),(00yx没有极值；（3）当02BAC时，函数),(yxfz在点),(00yx可能有极值，也可能没有极值，还要另作讨论求函数),(yxfz极值的步骤：（1）解方程组0),(00yxfx，0),(00yxfy，求得一切实数解，即可求得一切驻点),(),(),(2211nnyxyxyx；（2）对于每一个驻点),(iiyx(1,2,)in，求出二阶偏导数的值CBA,；（3）确定2BAC的符号，按定理 2 的结论判定),(iiyxf是否是极值，是极大值还是极小值；（4）考察函数),(yxf是否有导数不存在的点，若有加以判别是否为极值点例 3考察22yxz是否有极值文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 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xx的最值；将这些点的函数值求出，并且互相比较，定出函数的最值实际问题求最值根据问题的性质，知道函数),(yxf的最值一定在区域D的内部取得，而函数在D内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数),(yxf在D上的最值例 4求把一个正数a分成三个正数之和，并使它们的乘积为最大解设yx,分别为前两个正数，第三个正数为yxa，问题为求函数)(yxaxyu在区域D：0 x，0y，ayx内的最大值因为)2()(yxayxyyxayxu，)2(xyaxyu，文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 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xyxxxxdzdyfxyfxydxdx，而方程0),(yx所确定的隐函数的导数为00000(,)(,)xxxyxydydxxy将上式代入00000(,)(,)0 xyxxdyfxyfxydx中，得00000000(,)(,)(,)0(,)xxyyxyfxyfxyxy，因此函数),(yxfz在条件0),(yx下取得极值的必要条件为0000000000(,)(,)(,)0(,)(,)0 xxyyxyfxyfxyxyxy为了计算方便起见，我们令0000(,)(,)yyfxyxy，则上述必要条件变为0000000000(,)(,)0(,)(,)0(,)0 xxyyfxyxyfxyxyxy，容易看出，上式中的前两式的左端正是函数的两个一阶偏导数在00(,)xy的值，其中是一个待定常数拉格朗日乘数法求函数),(yxfz在条件0),(yx下的可能的极值点文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 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ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 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ZZ9Y9O10X8N4可能的极值点处取得，即在表面积为2a的长方体中，以棱长为a66的正方体的体积为最大，最大体积为3366av例 7试在球面2224xyz上求出与点(3,1,1)距离最近和最远的点解设(,)Mx y z为球面上任意一点，则到点(3,1,1)距离为但是，如果考虑2d，则应与d有相同的最大值点和最小值点，为了简化运算，故取2222(,)(3)(1)(1)f x y zdxyz，又因为点(,)Mx y z在球面上，附加条件为222(,)40 x y zxyz构成辅助函数(,)F x y z222(3)(1)(1)xyz222(4)xyz求函数F对zyx,偏导数，使其为0，得到方程组从前三个方程中可以看出,x y z均不等于零（否则方程两端不等），以作为过渡，把这三个方程联系起来，有311xyzxyz或311xyz，故3,xz yz，将其代入2224xyz中，得222(3)()4zzz，求出211z，再代入到3,xz yz中，即可得611x，211y，从而得两点622(,)111111，622(,)111111，对照表达式看出第一个点对应的值较大，第二个点对应的值较小，所以最近点为622(,)111111，最远点为622(,)111111文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8N4文档编码:CO4X3X2R9A2 HL4M3J3K8D4 ZZ9Y9O10X8